适用于新高考新教材备战2024届高考数学一轮总复习第9章平面解析几何课时规范练65抛物线课件新人教A版

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1.(2024·广东中山模拟)抛物线y=4x2的焦点坐标是(　　)A.(1,0) B.(0,1)
2.(2024·山东济南模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+y2=4上,则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　)A.1B.2C.4D.8
解析 由于抛物线y2=2px(p>0)的焦点在x轴正半轴上,圆x2+y2=4与x轴正半轴的交点为(2,0),故抛物线的焦点为(2,0),所以 =2,即p=4,所以抛物线的焦点到准线的距离为p=4.
3.(2020·全国Ⅰ,理4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=(　　)A.2B.3C.6D.9
解析 设点A的坐标为(x,y).由点A到y轴的距离为9可得x=9,由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+ =12,解得p=6.
4.(2024·陕西商洛模拟)设O为坐标原点,直线y=6与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,B两点,若△OAB为正三角形,则点A到抛物线C的焦点的距离为(　　)
5.(2024·广东梅州模拟)已知M是抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线的焦点,点N(0,-4),若|MF|=|NF|,则△MFN的面积为(　　)
解析 由抛物线C:x2=8y,知其焦点坐标为F(0,2),准线方程为y=-2.设点M(x0,y0),由抛物线的定义可知,|MF|等于点M到准线的距离,即
6.(2024·河北张家口模拟)探照灯、汽车前灯的反光镜面、手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置,通过抛物线反射就变成了平行于抛物线对称轴的光束,这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,灯口直径是80 cm,灯深40 cm,则光源到反射镜顶点的距离为(　　)A.20 cmB.10 cmC.30 cmD.40 cm
解析 在纵断面内,以反射镜的顶点(即抛物线的顶点)为坐标原点,过顶点垂直于灯口直径的直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示.由题意可得A(40,40).
设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),于是402=2p·40,解得p=20.所以抛物线的焦点到顶点的距离为 =10,即光源到反射镜顶点的距离为10 cm.
7.(2024·浙江金丽衢十二校模拟)已知直线l1:3x-4y-6=0和直线l2:y=-2,抛物线x2=4y上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)A.2 B.3
解析 由题意可得,抛物线x2=4y的焦点F(0,1),准线l:y=-1.设动点P与直线l,l1,l2的距离分别为d,d1,d2,点F到直线l1的距离为d3= =2,则d2=d+1=|PF|+1,可得d1+d2=d1+|PF|+1≥d3+1=3,当且仅当点P在点F到直线l1的垂线上且点P在F与l1之间时,等号成立,动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是3.
8.(2024·北京人大附中模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点A(3,2),点P为该抛物线上一动点,则△PAF周长的最小值是(　　)
9.(多选题)(2024·河北模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(4,0),点A,B在C上,且弦AB的中点到直线x=-2的距离为5,则下列说法正确的是(　　)A.p=16B.线段AB的长为定值C.A,B两点到C的准线的距离之和为14D.|AF|·|BF|的最大值为49
大值为49,D正确.故选CD.
10.(2024·山东潍坊模拟)已知抛物线C经过第二象限,且其焦点到准线的距离大于4,请写出一个满足条件的C的标准方程　　　　　　. 
解析 设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0).由已知可得,焦点到准线的距离p>4.可取p=8,则抛物线的标准方程为x2=16y.
11.(2024·江西南昌模拟)用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆,把平面渐渐倾斜,得到椭圆,当平面倾斜到与且仅与圆锥的一条母线平行时,得到抛物线.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形OAB(O为圆锥的顶点),过OA的中点M作截面α与圆锥相交得到抛物线C,将C放置在合适的平面直角坐标系中可得到标准方程y2=2px(p>0),则p=　　　　　. 
解析 由题意,过点M且平行于母线OB的截面α截圆锥得到抛物线,其标准方程为y2=2px(p>0).因为圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形OAB,则MC=1,CD=1,故抛物线必过点(1,1),代入抛物线的方程y2=2px,得2p=1,则
12.已知抛物线C:y2=2px过点A(-2,-4).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;(2)过该抛物线的焦点,作倾斜角为60°的直线,交抛物线于A,B两点,求线段AB的长度.
解 (1)因为抛物线C:y2=2px过点A(-2,-4),所以(-4)2=-4p,解得p=-4,故抛物线C的方程为y2=-8x,其准线方程为x=2.
13.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两个点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|且△AOB的垂心恰是抛物线的焦点,则直线AB的方程是(　　)A.x=pB.x=3p
解析 由A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,且|OA|=|OB|,根据抛物线的对称性,可得点A,B关于x轴对称.
15.(2024·浙江名校协作体联考)写出两个与直线x+1=0相切且与圆x2+y2-4x+3=0外切的圆的圆心坐标　　 　　　. 
(0,0),(2,4)
解析 设所求圆心坐标为(a,b),圆x2+y2-4x+3=0化为(x-2)2+y2=1,其圆心为(2,0),半径为1.
的距离和到直线x=-2的距离相等,所以所求圆心的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线,故b2=8a,只要满足该式即可.
16.(2021·新高考Ⅰ,14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为　　　　　　　　. 
如图,由条件得,△PFO∽△QFP,
17.(2024·江苏南通模拟)已知点P在抛物线C:y2=2px(p>0)上,过P作C的准线的垂线,垂足为H,点F为C的焦点.若∠HPF=60°,点P的横坐标为1,则p=　　　　. 
18.(2024·上海大同中学模拟)如图,一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分,杯口宽 cm,杯深8 cm,称为抛物线酒杯.在杯内放入一个小的玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径的取值范围为　　　　　　. 
19.(2024·云南保山模拟)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,Q为上底面A1B1C1D1所在平面内的动点,当直线DQ与DA1所成的角为45°时,点Q的轨迹为(　　)A.圆B.直线C.抛物线D.椭圆