第9章 平面解析几何 第7节 第1课时　抛物线的定义、方程与性质 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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研考点 精准突破
强基础 固本增分
1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离__________的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的__________.(2)数学表达式:P={M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离).
微思考抛物线的定义中,为什么要强调l不经过点F?
提示 若直线l过点F,则到点F与到直线l距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直的直线.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
取决于一次项变量(x或y)的取值范围
微点拨1.求抛物线方程时,要依据题设条件,弄清抛物线的对称轴和开口方向,正确选择抛物线的标准方程.2.由y2=mx或x2=my(m≠0)求焦点坐标时,只需将x或y的系数除以4,再确定焦点位置即可.
3.抛物线的通径过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通径,它的长等于2p,通径是过焦点最短的弦.p越大,通径越大,抛物线的开口就越大;p越小,通径越小,抛物线的开口就越小.
常用结论设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,α为弦AB所在直线的倾斜角,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　　)2.直线与抛物线有一个交点,说明直线与抛物线相切.(　　)3.抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是4.(　　)4.“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.(　　)
题组二 回源教材5.(人教A版选择性必修第一册3.3.1节练习第1题改编)已知抛物线的准线方程为x=1,则该抛物线的标准方程为(　　)A.x2=-4yB.x2=4yC.y2=4xD.y2=-4x
6.(人教B版选择性必修第一册习题2-7A第5题改编)石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图,这是一座石拱桥,桥洞弧线可近似看成是顶点在坐标原点,焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部分,当水距离拱顶4米时,水面的宽度是8米,则抛物线C的焦点到准线的距离是(　　) A.1米B.2米C.4米D.8米
解析 设抛物线C:x2=-2py(p>0),由题意可知点(4,-4)在抛物线C上,则-2p×(-4)=42,解得p=2,故抛物线C的焦点到准线的距离是2米.
7.(人教B版选择性必修第一册2.7.1节练习B第5题改编)已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,则点M的轨迹方程是__________. 
题组三 连线高考8.(2023·北京,6)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=(　　)A.7B.6C.5D.4
解析 因为抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,点M在C上,所以M到准线x=-2的距离为|MF|.又M到直线x=-3的距离为5,所以|MF|+1=5,故|MF|=4.
第1课时　抛物线的定义、方程与性质
GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
考点一 抛物线的定义及应用
例1(1)(2024·浙江绍兴模拟)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,若点P(1,m)在抛物线上,且|PF|=3,则p=(　　)A.1B.2C.4D.8
解析 如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.
变式探究1 (变条件)将本例(2)中的点B的坐标改为(3,4),则|PB|+|PF|的最小值为__________. 
解析 由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部.∵|PB|+|PF|的最小值即为B,F两点间的距离,F(1,0),
变式探究2(变条件变结论)已知抛物线y2=4x,P是抛物线上任意一点,则P到直线l:x=-1的距离与点P到直线3x+4y+7=0的距离之和的最小值是__________. 
解析 易知直线l:x=-1为抛物线的准线,抛物线y2=4x与直线3x+4y+7=0不相交.由抛物线的定义可知,点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离,∴点P到直线l的距离与点P到直线3x+4y+7=0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x+4y+7=0的距离,
[对点训练1](2024·北京房山模拟)已知圆C的圆心在抛物线y2=4x上,且此圆C过定点(1,0),则圆C与直线x+1=0的位置关系为(　　)A.相切B.相交C.相离D.不能确定
解析 抛物线y2=4x的焦点为(1,0),准线方程为x=-1,根据抛物线的定义可知,圆心C到焦点的距离等于到准线的距离,所以圆C与直线x+1=0相切.
考点二 抛物线的标准方程
(2)在平面直角坐标系Oxy中,已知F(1,0),点M到直线x=-3的距离比到点F的距离大2,记M的轨迹为C,则C的方程是____________________. 
(3)在水平地面竖直定向爆破时,在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分.这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示),称该条抛物线为安全抛物线.若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米,碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米,则在这次爆破中,安全抛物线的标准方程是____________________. 
解析 以抛物线最高点为坐标原点,过该点且平行于地面的直线(该直线与抛物线共面)为x轴,建立平面直角坐标系,如图.设抛物线方程为x2=-2py,p>0,由题意得抛物线过点(80,-40),将其代入抛物线方程得6 400=80p,解得p=80,故安全抛物线的标准方程为x2=-160y.
[对点训练2]已知抛物线C同时满足以下三个条件:①C的顶点在坐标原点;②C的对称轴为坐标轴;③C的焦点F在圆(x-2)2+y2=9上.则C的方程可以为__________.(写出一个满足题意的即可) 
考点三 抛物线的几何性质
例3(1)(2024·福建安溪一中模拟)抛物线y2=2px绕其顶点逆时针旋转90°之后,得到的图象正好对应抛物线y=2x2,则p=(　　)
(2)(2024·山东青岛模拟)已知O为坐标原点,在抛物线y2=2px(p>0)上存在两点E,F,使得△OEF是边长为4的正三角形,则p=__________. 
规律方法应用抛物线的几何性质解题时,常结合图形思 考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称 轴、开口方向等几何性质,体现了数形结合思想解 题的直观性.