2022-2023学年山东省济南市市中区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济南市市中区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省济南市市中区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是(    )
A. 3cm，5cm，7cm B. 3cm，3cm，7cm
C. 4cm，4cm，8cm D. 4cm，5cm，9cm
2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录.下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“立夏”、“小满”，其中是轴对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米=0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为(    )
A. 1.4×10−7 B. 14×10−7 C. 1.4×10−8 D. 1.4×10−9
4. 下列事件中是必然事件的是(    )
A. 投掷一次骰子，向上一面的点数是6 B. 清明时节雨纷纷
C. 任意画一个三角形，其内角和是180° D. 经过有红绿灯的路口，遇到红灯
5. 某天，小王去朋友家借书，在朋友家停留一段时间后，返回家中，如图是他离家的路程y(千米)与时间x(分)关系的图象，根据图象信息，下列说法正确的是(    )


A. 小王去时的速度大于回家的速度 B. 小王去时走上坡路，回家时走下坡路
C. 小王去时所花时间少于回家所花时间 D. 小王在朋友家停留了10分钟
6. 如图，AB//CD，∠A=30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为(    )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 80°
7. 下列运算正确的是(    )
A. a2⋅a4=a8 B. a5÷a3=a2 C. (a2)3=a5 D. (ab)2=ab2
8. 下列命题中是真命题的是(    )
A. 相等的角是对顶角
B. 若a2=b2，则a=b
C. 内错角相等
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
9. 如图，在△ABC中，∠C=84°，图中所作直线MN与射线BD交于点D，点D在AC边上，根据图中尺规作图痕迹，判断以下结论正确的是(    )
A. BC=BG
B. ∠ABD=30°
C. CD=GD
D. ∠ABD=32°
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是(    )


A. 2.4 B. 4.8 C. 4 D. 5
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 填空：(a3)4= ______ ．
12. 正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，一粒米随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色区域的概率是______ ．


13. 如图，公园里有一座假山，要测量假山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，分别延长AC、BC，到D、E，使CE=CB，CA=CD，连接DE，这样就可以利用三角形全等，通过测量DE的长得到假山两端A、B的距离，则这两个三角形全等的依据是______．
14. 地表以下岩层的温度y(℃)随着所处深度x(km)的变化而变化，在某地点y与x之间有如下关系：
x/km
1
2
3
4
y/°C
55
90
125
160
那么y与x之间的关系式为______ ．
15. 若2a=5，8b=11，则2a+3b的值为______ ．
16. 如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连接CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD分别交CD，BD于点P，H，则下列结论正确的是
______ ．
①∠BAC=4∠ADC；
②DF=AH；
③BH=PF；
④∠DAP=∠CGB；
⑤BC=CG；
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)(12)2−2−2−(2−π)0+(−1)2023；
(2)化简：(−a)6+(−2a2)3−a8÷a2．
18. (本小题6.0分)
计算：先化简，再求值：[(x−2y)2−x(x−2y)]÷2y，其中x=−1，y=2．
19. (本小题6.0分)
如图，点A，D，B，E在同一直线上，AD=BE，∠C=∠F，BC//EF.求证：AC=DF．

20. (本小题6.0分)
如图所示，在正方形网格上有一个△ABC．
(1)作△ABC关于直线MN的对称图形；(不写作法)
(2)在MN上找到一点P，使得PA+PC最小；
(3)若网格上的最小正方形边长为1，求△ABC的面积．


21. (本小题8.0分)
如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1=∠B，∠A+∠2=90°，求证：AB//CD．
证明：∵AF⊥CE(已知)，
∴∠AOE= ______ °.
又∵∠1=∠B(已知)，
∴ ______ (同位角相等，两直线平行)，
∴∠AFB=∠AOE(______ )，
∴∠AFB= ______ °
又∵∠AFC+∠AFB+∠2= ______ °.(平角的定义)
∴∠AFC+∠2= ______ °，
又∵∠A+∠2=90°(已知)，
∴∠A=∠AFC(______ )，
∴AB//CD(______ )

22. (本小题8.0分)
在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球.其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是13．
(1)求盒子中球的个数；
(2)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(3)能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为14，若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由．
23. (本小题10.0分)
充满未来感、时代感、速度感的2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”火遍全球，为了满足广大需求，某冰墩墩生产厂家引进新设备，让新旧设备同时生产，提高冰墩墩的产量如图所示，甲表示新设备的产量y(万个)与时间x(天)的关系，乙表示旧设备的产量y(万个)与时间x(天)的关系．

(1)由图象可知，新设备因故停止生产了____天；
(2)在正常生产的情况下，分别求新、旧设备每天生产冰墩墩的个数；
(3)试问：第几天新、旧设备所生产的冰墩墩的数量相同？

24. (本小题10.0分)
小明遇到这样一个问题

如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且BD=BC，求证：∠ABC=2∠ACD．
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E．
方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F．
根据阅读材料，从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC=2∠ACD．
25. (本小题12.0分)
对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：acbd=a2+b2−cd．
(1)12−13= ______ ；
(2)对于有理数x、y，若xkyxy是一个完全平方式，则k ______ ；
(3)对于有理数x、y，若x+y=10，xy=22．
①求2x−y3x−yyx−y的值；
②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边CD上，连接BD、BF.若AD=x，AB=nx，FG=y，EF=ny，图中阴影部分的面积为45，求n的值．

26. (本小题12.0分)
(1)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD.请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：______；
(2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
(3)在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF=12∠BAD.请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：______．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两条边的和是否大于第三条边．
直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案．
解：根据三角形两边之和大于第三边，
A.∵3+5=8>7，
∴能组成三角形，符合题意；
B.∵3+3<7，
∴不能组成三角形，不符合题意；
C.∵4+4=8，
∴不能组成三角形，不符合题意；
D.∵4+5=9，
∴不能组成三角形，不符合题意．
故选：A．

2.【答案】C 
【解析】解：由题意可得，
A选项图形不是轴对称图形，不符合题意，
B选项图形不是轴对称图形，不符合题意，
C选项图形是轴对称图形，符合题意，
D选项图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：C．
根据轴对称的定义：沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案．
本题考查了轴对称图形，掌握轴找到对称轴是解题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：0.000000014=1.4×10−8．
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

4.【答案】C 
【解析】解：A、投掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件，不符合题意；
B、清明时节雨纷纷，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意；
D、经过有红绿灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意．
故选：C．
根据随机事件的定义进行解答即可．
本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：A、小王去时的速度为2000÷20=100(米/分)，
小王回家的速度为2000÷(40−30)=200(米/分)，
∵100<200，
∴小王去时的速度小于回家的速度，A不正确；
B、∵题干中未给出小王去朋友家的路有坡度，
∴B不正确；
C、40−30=10(分)，
∵20>10，
∴小王去时所花时间多于回家所花时间，C不正确；
D、∵30−20=10(分)，
∴小王在朋友家停留了10分，D正确．
故选：D．
A、根据速度=路程÷时间，可求出小王去时的速度和回家的速度，比较后可得出A不正确；B、题干中未给出路况如何，故B不正确；C、先求出小王回家所用时间，比较后可得出C不正确；D、观察函数图象，求出小王在朋友家停留的时间，故D正确．综上即可得出结论．
本题考查了函数图象，观察函数图象逐一分析四条结论的正误是解题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：∵AB//CD，∠A=30°，
∴∠ADC=∠A=30°，∠CDE=∠DEB，
∵DA平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠ADC=60°，
∴∠DEB=60°．
故选：B．
由平行线的性质得∠ADC=∠A=30°，再由角平分线得∠CDE=60°，再次利用平行线的性质可得∠DEB=∠CDE=60°．
本题主要考查平行线的性质，角的平分线，解答的关键是熟记并运用平行线的性质：两直线平行，内错角相等．

7.【答案】B 
【解析】解：A、a2⋅a4=a6，故A不符合题意；
B、运算正确，故B符合题意；
C、(a2)3=a6，故C不符合题意；
D、(ab)2=a2b2，故D不符合题意．
故选：B．
由同底数幂的乘法、除法，幂的乘方与积的乘方的运算法则，即可判断．
本题考查同底数幂的乘法、除法，幂的乘方与积的乘方，关键是掌握以上运算的法则．

8.【答案】D 
【解析】解：“相等的角是对顶角”是假命题，例如等腰三角形的两个底角相等，而这两个底角却不是对顶角；故选项A不是真命题；
“若a2=b2，则a=b”是假命题，例如a=−2，b=2，所以a2=b2=4，然而a≠b，故选项B不是真命题；
“内错角相等”是假命题，因为两直线平行，内错角相等，故选项C不是真命题；
根据垂线的性质可知“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”是真命题．
综上所述：选项A，B，C均为假命题，选项A为真命题．
故选：D．
举反例：等腰三角形的两个底角相等，而这两个底角却不是对顶角，可对选项A进行判断；举反例：a=−2，b=2，所以a2=b2=4，然而a≠b，可对选项B进行判断；根据平行线的性质：两直线平行内错角相等可对选项C进行判断；根据垂线的性质可对选项D进行判断．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题是假命题的方法是例证法，即举反例，判断真命题的方法是证明法，即证明这个命题是正确的．

9.【答案】D 
【解析】解：过D点作DH⊥BC于H点，如图，则DC>DH，
由作图痕迹得DG垂直平分AB，BD平分∠ABC，
∴DA=DB，DG⊥AB，∠ABD=∠CBD，
∴DG=DH，
∴CD>DG，所以C选项不符合题意；
∵BD=BD，DG=DH，
∴Rt△BDG≌Rt△BDH(HL)，
∴BG=BH，
而BC>BH，
∴BC>BG，所以A选项不符合题意，
设∠A=α，则∠ADB=∠CBD=α，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
即α+α+α+84°=180°，
∴α=32°，
∴∠ABD=32°，所以B选项不符合题意，D选项符合题意．
故选：D．
过D点作DH⊥BC于H点，如图，利用垂线段最短得DC>DH，由作图痕迹得DG垂直平分AB，BD平分∠ABC，根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质得到DA=DB，DG⊥AB，∠ABD=∠CBD，DG=DH，则CD>DG，于是可对C选项进行判断；再证明Rt△BDG≌Rt△BDH得到BG=BH，所以BC>BG，则可对A选项进行判断，设∠A=α，则∠ADB=∠CBD=α，利用三角形内角和求出α，从而可对B选项和D选项进行判断．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和角平分线的性质．

10.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
【解答】
解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，
∴CM=AC⋅BCAB=245=4.8，
即PC+PQ的最小值为4.8．
故选：B．  
11.【答案】a12 
【解析】解：(a3)4=a12．
故答案为：a12．
直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．

12.【答案】29 
【解析】解：由图知，正方形的总面积为9，黑色区域的面积为2，
∴米粒最终停留在黑色区域的概率是29，
故答案为：29．
由图知，正方形的总面积为9，黑色区域的面积为2，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．

13.【答案】SAS 
【解析】解：在△ABC和△DEC中，
CE=CB∠ECD=∠ACBCD=CA，
∴△ABC≌△DCE(SAS)，
∴AB=DE，
∴依据是SAS，
故答案为：SAS．
图形中隐含对顶角的条件，利用两边且夹角相等容易得到两个三角形全等．
此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等解决实际问题．

14.【答案】y=35x+20 
【解析】解：由表中数据可以发现，x的值每增加1，对应的y值恒增加35．
设当x=0时，y=b，则x与y的关系可表述为y−b=35(x−0)，即y=35x+b．
将x=2，y=90代入y=35x+b，解得b=20．
∴y与x之间的关系式为y=35x+20．
故答案为：y=35x+20．
根据表中数据发现，x的值每增加1，对应的y值恒增加35.可以设当x=0时，y=b，则x与y的关系可表述为y−b=35(x−0)，即y=35x+b.将表中任意一组x与对y值代入y=35x+b，求出b，进而求得y与x之间的关系式．
本题考查函数的表示方法及函数关系式，主要是通过所给数据找到变量之间的关系，即找到数据变化的规律．

15.【答案】55 
【解析】解：∵8b=11，
∴(23)b=11，
∴23b=11，
∴2a+3b=2a⋅23b=5×11=55，
故答案为：55．
先由8b=11得到23b=11，再根据2a+3b=2a⋅23b进行求解即可．
本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方和幂的乘方的逆运算，正确得到2a+3b=2a⋅23b是解题的关键．

16.【答案】①②④ 
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAC=60°，∠BAD=90°，AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，
∴△CAD是等腰三角形，∠CAD=150°，
∴∠ADC=15°，
∴∠BAC=4∠ADC，故①正确；
∵∠ADB=∠ABD=45°，∠ADC=15°，
∴∠EDF=30°，
又∵AH⊥CD，AE⊥BD，∠AFG=60°，
∴∠FAP=30°，∠DAE=45°，
∴∠BAH=∠ADC=15°，
在△ADF和△BAH中，
∠ADF=∠BAHDA=AB∠DAF=∠ABH=45°，
∴△ADF≌△BAH(ASA)，
∴DF=AH，AF=BH，故②正确；
∵∠FAP=30°，AH⊥CD，
∴AF=2PF，
∴BH=2PF，故③错误；
∵∠DAP=12∠CAD=75°，∠CGB=∠ACD+∠CAB=15°+60°=75°，
∴∠DAP=∠CGB，故④正确；
∵∠CBG=60°，∠CGB=75°，
∴∠CBG≠∠CGB，
∴BC≠CG，故⑤不正确，
综上所述：结论正确的是①②④，
故答案为：①②④．
由等边三角形和等腰三角形的性质可得△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，根据三角形内角和定理先求得∠AFP、∠FAP的度数，再证明△BAH≌△ADF(ASA)，根据全等三角形的性质和直角三角形的性质逐一进行判断即可．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．

17.【答案】解：(1)原式=14−14−1−1
=−2；
(2)原式=a6−8a6−a6
=−8a6． 
【解析】由同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，零指数幂，负指数幂的运算法则即可计算．
本题考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，零指数幂，负指数幂，关键是掌握以上运算的法则．

18.【答案】解：原式=[(x2−4xy+4y2)−(x2−2xy)]÷2y
=(x2−4xy+4y2−x2+2xy)÷2y
=(−2xy+4y2)÷2y
=−x+2y，
当x=−1，y=2时，
原式=1+2×2
=1+4
=5． 
【解析】根据完全平方公式、单项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
本题考查的是整式的混合运算−化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．

19.【答案】证明：∵AD=BE，
∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE，
∵BC//EF，
∴∠ABC=∠E，
在△ABC和△DEF中，
∵∠ABC=∠E，∠C=∠F，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，
∴AC=DF． 
【解析】根据等式的性质可得AB=DE，再利用平行线的性质可得∠ABC=∠E，从而利用AAS证明△ABC≌△DEF，然后利用全等三角形的性质即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

20.【答案】解：(1)△A′B′C′即为所求；
(2)连接CA′交MN于P，点P即为所求；
(3)S△ABC=6−12×1×2−12×1×2−12×1×3
=52．
 
【解析】本题考查作图−轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短问题等知识，解题关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
(1)作出A、B、C关于直线MN的对称点A′、B′、C′即可；
(2)连接CA′交MN于P，点P即为所求；
(3)利用割补法求面积即可．

21.【答案】90  CE//BF  两直线平行，同位角相等  90  180  90  同角的余角相等  内错角相等，两直线平行 
【解析】证明：∵AF⊥CE(已知)，
∴∠AOE=90°．
又∵∠1=∠B(已知)，
∴CE//BF(同位角相等，两直线平行)，
∴∠AFB=∠AOE(两直线平行，同位角相等)，
∴∠AFB=90°
又∵∠AFC+∠AFB+∠2=180°.(平角的定义)
∴∠AFC+∠2=90°，
又∵∠A+∠2=90°(已知)，
∴∠A=∠AFC(同角的余角相等)，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)
故答案为：90；CE//BF；两直线平行，同位角相等；90；180；90；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
根据题目中的证明过程，结合图形进行填写即可．
此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行⇔同位角相等，两直线平行⇔内错角相等，两直线平行⇔同旁内角互补．

22.【答案】解：(1)∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是13，
∴盒子中球的总数为：5÷13=15(个)，
故盒子中黑球的个数为：15−3−5=7(个)；
(2)任意摸出一个球是黑球的概率为：715；
(3)∵任意摸出一个球是红球的概率为14，
∴盒子中球的总量为：3÷14=12，
∴可以将盒子中的白球拿出3个． 
【解析】(1)直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数；
(2)直接利用概率公式的意义分析得出答案；
(3)利用概率公式计算得出符合题意的方法．
本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=mn且0≤P(A)≤1．

23.【答案】2 
【解析】解：(1)由图象知，新设备因工人操作不当停止生产了2天，
故答案为：2；
(2)新设备：0.4÷1=0.4(万个/天)，旧设备：1.4÷7=0.2(万个/天)，
答：新设备每天生产0.4万个冰墩墩，旧设备每天生产0.2万个冰墩墩；
(3)①0.2x=0.4，解得x=2；
②0.2x=0.4(x−2)，解得x=4；
答：第2天和第4天新、旧设备所生产的冰墩墩的数量相同．
(1)图象中甲对应的函数图象在1≤x≤3时，其产量y保持不变，据此可得答案；
(2)结合图象，用产量除以所用时间求解可得答案；
(3)分停产前和停产后分别列出方程求解可得．
本题主要考查函数图象，解题的关键是能根据图象得出解题所需数据及每段图象所对应的实际意义．

24.【答案】解：方法1：如图1，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°−∠BCD，
又∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
∴△BCD中，∠ABC=180°−2∠BCD=180°−2(90°−∠ACD)=2∠ACD；
(答案不唯一) 
【解析】答案不唯一
方法1：见答案。
方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
又∵BC=BD，BE⊥CD，
∴∠ABC=2∠CBE，
∴∠ABC=2∠ACD；
方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F．
∵∠ACB=90°，∠BFC=90°，
∴∠A+∠B=∠BCF+∠B=90°，
∴∠A=∠BCF，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，即∠BCF+∠DCF=∠A+∠ACD，
∴∠DCF=∠ACD，
∴∠ACF=2∠ACD，
又∵∠B+∠BCF=∠ACF+∠BCF=90°，
∴∠B=∠ACF，
∴∠B=2∠ACD．
方法1，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠ABC=2∠ACD．
方法2，作BE⊥CD，垂足为点E.利用等腰三角形的性质以及同角的余角相等，即可得出∠ABC=2∠ACD．
方法3，作CF⊥AB，垂足为点F.利用等腰三角形的性质以及三角形外角性质，即可得到∠ACF=2∠ACD，再根据同角的余角相等，即可得到∠B=∠ACF，进而得出∠B=2∠ACD．
本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的综合运用，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等．

25.【答案】−4  2或−2 
【解析】解：(1)原式=12+(−1)2−2×3=−4．
故答案为：−4；
(2)原式=x2+y2−kxy，
∵是完全平方公式，
∴k=2或−2．
故答案为：2或−2；
(3)①原式=(2x−y)2+y2−(3x−y)(x−y)
=4x2−4xy+y2+y2−(3x2−3xy−xy+y2)
=x2+y2，
∵x+y=10，xy=22，
∴(x+y)2=100，2xy=44，
∴x2+y2=(x+y)2−2xy=100−44=56；
②由图知：S阴影=S△DBC+S长方形ECGF−S△BGF，
∴45=12x⋅nx+ny⋅y−12y(x+ny)，
化简得nx2+ny2−xy=90，
∴n(x2+y2)−xy=90，
由①得，x2+y2=56，xy=22，
∴56n−22=90，
∴n=2．
(1)直接根据acbd=a2+b2−cd计算即可；
(2)根据新定义得出x2+y2−kxy，再根据结果是一个完全平方式，利用完全平方式的概念即可求出k；
(3)①先根据化简，再利用完全平方公式变形求解即可；
②根据图形用含x，y的式子表示出阴影部分的面积，再根据①中的结果代入即可求出n．
本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键．

26.【答案】EF=BE+FD  EF=BE−FD或EF=FD−BE 
【解析】解：(1)如图1，延长EB到G，使BG=DF，连接AG．
∵在△ABG与△ADF中，
AB=AD∠ABG=∠ADF=90°BG=DF，
∴△ABG≌△ADF(SAS)．
∴AG=AF，∠1=∠2，
∴∠1+∠3=∠2+∠3=12∠BAD=∠EAF．
∴∠GAE=∠EAF．
又AE=AE，
易证△AEG≌△AEF．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD
(2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立．
理由是：如图2，延长EB到G，使BG=DF，连接AG．
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABG+∠ABC=180°，
∴∠ABG=∠D，
∵在△ABG与△ADF中，
AB=AD∠ABG=∠DBG=DF，
∴△ABG≌△ADF(SAS)．
∴AG=AF，∠1=∠2，
∴∠1+∠3=∠2+∠3=12∠BAD=∠EAF．
∴∠GAE=∠EAF．
又AE=AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD
(3)结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE−FD．
证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
∵在△ABG与△ADF中，
AB=AD∠ABG=∠ADFBG=DF，
∴△ABG≌△ADF(SAS)．
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF(SAS)．
∴EG=EF
∵EG=BE−BG
∴EF=BE−FD．
故答案为：(1)EF=BE+FD；(2)成立；(3)EF=BE−FD或EF=FD−BE．
(1)如图1，延长EB到G，使BG=DF，连接AG，即可证明△ABG≌△ADF，可得AF=AG，再证明△AEF≌△AEG，可得EF=EG，即可解题；
(2)如图2，同理可得：EF=BE+DF；
(3)如图3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF.可得新的结论：EF=BE−DF．
本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出AF=AG是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出EF=EG，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题．