湖南省长沙市雨花区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷

这是一份湖南省长沙市雨花区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省长沙市雨花区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．若正比例函数的图象经过点（﹣1，2），则这个图象必经过点（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）
3．如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（　　）

A．30° B．25° C．20° D．15°
4．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝﹣kx+k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，把直线y＝3x向左平移2个单位长度，平移后的直线解析式是（　　）
A．y＝3x+2 B．y＝3x﹣2 C．y＝3x+6 D．y＝3x﹣6
6．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这支铅笔的长度可能是（　　）

A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
7．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则正确的是（　　）

A．若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形
B．若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形
C．若EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分
D．若EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等
8．若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或1
9．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（　　）
A．82+x2＝（x﹣3）2 B．82+（x+3）2＝x2
C．82+（x﹣3）2＝x2 D．x2+（x﹣3）2＝82
10．某班级共有41人，在一次体质测试中，有1人未参加集体测试，老师对集体测试的成绩按40人进行了统计，得到测试成绩分数的平均数是88，中位数是85．缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为88分，关于该班级41人的体质测试成绩，下列说法正确的是（　　）
A．平均数不变，中位数变大
B．平均数不变，中位数无法确定
C．平均数变大，中位数变大
D．平均数不变，中位数变小
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝　 　．
12．在某校举办的队列比赛中，A班的成绩如下：
项目
着装
队形
精神风貌
成绩/分
90
95
95
若按着装占10%、队形占60%、精神风貌占30%计算参赛班级的综合成绩，则A班的最后得分是 　 　分．
13．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为　 　．

14．已知一次函数y＝kx+b的图象经过一，二，四象限，且当2≤x≤4时，4≤y≤6，则的值是　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是　 　．

16．如图，一次函数y＝x+b的图象过点A（1，2），且与x轴相交于点B，若点P是x轴上的一点，且满足△APB是等腰三角形，则点P的坐标可以是　 　．

三、解答题（共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：（2x﹣1）2＝3（2x﹣1）．
18．（6分）已知直角三角形的三边长是三个连续自然数，求三边长．
19．（6分）已知y是x的一次函数，表中给出了部分对应值．
x
﹣1
2
4
n
y
5
﹣1
m
﹣7
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求m、n的值．
20．（8分）为了加强对青少年防溺水安全教育，4月初某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛．下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩（单位：分）：
87，99，86，89，91，91，95，96，87，97；
91，97，96，86，96，89，100，91，99，97；
整理数据：
成绩（分）
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数（人）
2
2
2
4
1
3
3
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
a
b
解决问题：
（1）直接写出：上面表格中的a＝　 　，b＝　 　；
（2）若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率为 　 　；
（3）请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
21．（8分）据统计，目前某市5G基站的数量约1.5万座，计划到2023年底，全市5G基站数是目前的4倍，到2025年底，全市5G基站数最将达到17.34万座．
（1）计划到2023年底，全市5G基站的数量是多少万座？
（2）求2023年底到2025年底，全市5G基站数量的年平均增长率．
22．如图，直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标．

23．如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）求证：AD＝CF；
（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．

24．请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以．把代入已知方程，得；
化简，得y2+2y﹣4＝0；故所求方程为y2+2y﹣4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；
（1）已知方程x2+3x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
25．已知：四边形ABCD是正方形，AB＝20，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上．
（1）如图1，若∠EDF＝45°，AE＝CF，求∠DFC的度数；
（2）如图2，若∠EDF＝45°，点E，F分别是AB，BC上的动点，求证：△EBF的周长是定值；
（3）如图3，若GD＝BF＝5，GF和EH交于点O，且∠EOF＝45°，求EH的长度．


参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】把x＝1代入方程x2+mx＝0，得出一个关于m的方程，解方程即可．
解：把x＝1代入方程x2+mx＝0得：1+m＝0，
解得：m＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．
2．若正比例函数的图象经过点（﹣1，2），则这个图象必经过点（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）
【分析】求出函数解析式，然后根据正比例函数的定义用代入法计算．
解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
因为正比例函数y＝kx的图象经过点（﹣1，2），
所以2＝﹣k，
解得：k＝﹣2，
所以y＝﹣2x，
把这四个选项中的点的坐标分别代入y＝﹣2x中，等号成立的点就在正比例函数y＝﹣2x的图象上，
所以这个图象必经过点（1，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查正比例函数的知识．关键是先求出函数的解析式，然后代值验证答案．
3．如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（　　）

A．30° B．25° C．20° D．15°
【分析】由菱形的性质得出AB∥CD，∠BAD＝2∠1，求出∠BAD＝30°，即可得出∠1＝15°．
解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°，
∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠1＝15°；
故选：D．
【点评】此题考查了菱形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．
4．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝﹣kx+k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先根据正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+k的图象经过一、二、四象限．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时函数的图象在一、二、四象限．
5．在平面直角坐标系中，把直线y＝3x向左平移2个单位长度，平移后的直线解析式是（　　）
A．y＝3x+2 B．y＝3x﹣2 C．y＝3x+6 D．y＝3x﹣6
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
解：由“左加右减”的原则可知，把直线y＝3x向左平移2个单位长度所得的直线的解析式是y＝3（x+2）＝3x+6．即y＝3x+6，
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．
6．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这支铅笔的长度可能是（　　）

A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长
解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，
在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），
则这支铅笔的长度大于15cm．
故选：D．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．
7．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则正确的是（　　）

A．若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形
B．若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形
C．若EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分
D．若EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等
【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形，再根据矩形、菱形、正方形的判定和性质定理判断即可．
解：∵点 E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，EH∥BD，EH＝BD，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
但AC与BD不一定互相平分，故选项C不符合题意；
A．∵AC＝BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH为菱形，故本选项不符合题意；
B．∵AC⊥BD时，EF⊥EH，
则四边形EFGH为矩形，故本选项不符合题意；
D．当四边形EFGH是正方形时，AC与BD互相垂直且相等，故本选项不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是矩形、菱形、正方形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
8．若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或1
【分析】将原方程变形为一般式，根据根的判别式Δ＝0即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：原方程可变形为x2+（a+1）x＝0．
∵该方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（a+1）2﹣4×1×0＝0，
解得：a＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
9．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（　　）
A．82+x2＝（x﹣3）2 B．82+（x+3）2＝x2
C．82+（x﹣3）2＝x2 D．x2+（x﹣3）2＝82
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
解：设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+82＝x2，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．某班级共有41人，在一次体质测试中，有1人未参加集体测试，老师对集体测试的成绩按40人进行了统计，得到测试成绩分数的平均数是88，中位数是85．缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为88分，关于该班级41人的体质测试成绩，下列说法正确的是（　　）
A．平均数不变，中位数变大
B．平均数不变，中位数无法确定
C．平均数变大，中位数变大
D．平均数不变，中位数变小
【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，依此计算即可求解．
解：∵缺席集体测试的同学的成绩和其他40人的平均数相同，都是88分，
∴该班41人的测试成绩的平均分为88分不变，中位数是从小到大第21个人的成绩，原来是第20个和第21个人成绩的平均数，中位数可能不变，可能变大，故
中位数无法确定．
故选：B．
【点评】本题考查中位数，总体，个体，样本，抽样调查等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝　0　．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，
∴x1+x2+x1x2＝1﹣1＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
12．在某校举办的队列比赛中，A班的成绩如下：
项目
着装
队形
精神风貌
成绩/分
90
95
95
若按着装占10%、队形占60%、精神风貌占30%计算参赛班级的综合成绩，则A班的最后得分是 　94.5　分．
【分析】将各项分数乘以权重即可得出答案．
解：根据题意得：
90×10%+95×60%+95×30%＝94.5（分），
答：A班的最后得分是94.5分．
故答案为：94.5．
【点评】本题主要考查加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
13．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为　24　．

【分析】根据菱形的对角线互相平分可得BO＝DO，然后求出OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出CD，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，
∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴CD＝2OE＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24；
故答案为：24．
【点评】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键．
14．已知一次函数y＝kx+b的图象经过一，二，四象限，且当2≤x≤4时，4≤y≤6，则的值是　﹣8　．
【分析】利用一次函数的性质得到k＜0，则判断x＝2时，y＝6；x＝4时，y＝4，然后根据待定系数法求得k、b的值，即可求得的值．
解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，
∴函数y随x的增大而减小，
∵当2≤x≤4时，4≤y≤6，
∴当x＝2时，y＝6；
当x＝4时，y＝4，
∴，解得，
∴＝﹣8，
故答案为﹣8．
【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数的解析式，根据题意得出当x＝2时，y＝6；当x＝4时，y＝4是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是　　．

【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，

∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，
∴AB＝，
∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，
∴CM＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
16．如图，一次函数y＝x+b的图象过点A（1，2），且与x轴相交于点B，若点P是x轴上的一点，且满足△APB是等腰三角形，则点P的坐标可以是　（3，0），（2﹣1，0），（﹣2﹣1，0），（1，0）　．

【分析】先把点A（1，2）代入一次函数y＝x+b求出b的值，故可得出B点坐标，再分AB＝AP，AB＝BP及AP＝BP三种情况进行分类讨论．
解：∵一次函数y＝x+b的图象过点A（1，2），
∴2＝1+b，解得b＝1，
∴一次函数的解析式为：y＝x+1，
∴B（﹣1，0）．
当AB＝AP时，
∵B（﹣1，0），
∴P1（3，0）；
当AB＝BP时，
∵AB＝＝2，
∴P2（2﹣1，0），P3（﹣2﹣1，0）；
当AP＝BP时，点P在线段AB的垂直平分线上，线段AB的中点坐标为（0，1），
设点P所在的直线解析式为y＝﹣x+c，则c＝1，
∴直线解析式为y＝﹣x+1，
∴当y＝0时，x＝1，
∴P4（1，0）．
综上所述，P点坐标为：（3，0），（2﹣1，0），（﹣2﹣1，0），（1，0）．
故答案为：（3，0），（2﹣1，0），（﹣2﹣1，0），（1，0）．

【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
三、解答题（共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：（2x﹣1）2＝3（2x﹣1）．
【分析】移项后分解因式得出（2x﹣1）（2x﹣4）＝0，推出方程2x﹣1＝0，2x﹣4＝0，求出方程的解即可．
解：移项得：（2x﹣1）2﹣3（2x﹣1）＝0，
（2x﹣1）（2x﹣4）＝0，
即2x﹣1＝0，2x﹣4＝0，
解得：x1＝，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
18．（6分）已知直角三角形的三边长是三个连续自然数，求三边长．
【分析】设最短的边长为x，则另外两边长分别为（x+1），（x+2），利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设最短的边长为x，则另外两边长分别为（x+1），（x+2），
依题意，得：x2+（x+1）2＝（x+2）2，
整理，得：x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1（不合题意，舍去），x2＝3，
∴x+1＝4，x+2＝5．
答：直角三角形的三边长分别为3，4，5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（6分）已知y是x的一次函数，表中给出了部分对应值．
x
﹣1
2
4
n
y
5
﹣1
m
﹣7
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求m、n的值．
【分析】（1）由所给数据，利用待定系数法可求得一次函数解析式；
（2）利用（1）中所求的函数解析式进行求解即可．
解：
（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，
由题意可得，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x+3；
（2）当x＝4时，代入可得m＝﹣2×4+3＝﹣5，
当y＝﹣7时，代入可得﹣7＝﹣2n+3，解得n＝5，
∴m＝﹣5，n＝5．
【点评】本题主要考查一次函数解析式，掌握待定系数法的应用步骤是解题的关键．
20．（8分）为了加强对青少年防溺水安全教育，4月初某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛．下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩（单位：分）：
87，99，86，89，91，91，95，96，87，97；
91，97，96，86，96，89，100，91，99，97；
整理数据：
成绩（分）
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数（人）
2
2
2
4
1
3
3
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
a
b
解决问题：
（1）直接写出：上面表格中的a＝　91　，b＝　93　；
（2）若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率为 　50%　；
（3）请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
【分析】（1）根据众数的定义求出a，根据中位数的定义求出b；
（2）根据“优秀”等级人数求出“优秀”等级所占的百分率；
（3）根据“优秀”等级所占的百分率估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
解：（1）∵91分的人数最多，
∴众数为91，即a＝91，
中位数；
（2）成绩达到95分及以上有10人，
则“优秀”等级所占的百分率为：；
（3）估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为：1500×50%＝750（人）．
【点评】本题考查的是众数、中位数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是解题的关键．
21．（8分）据统计，目前某市5G基站的数量约1.5万座，计划到2023年底，全市5G基站数是目前的4倍，到2025年底，全市5G基站数最将达到17.34万座．
（1）计划到2023年底，全市5G基站的数量是多少万座？
（2）求2023年底到2025年底，全市5G基站数量的年平均增长率．
【分析】（1）根据“到2021年底，全省5G基站数是目前的4倍“，即可求得结果；
（2）设2021年底到2023年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，可得到2023年底基站数量为6（1+x）2万座，再根据2023年底基站数量将达到17.34万座，列方程得：6（1+x）2＝17.34，根据不能为负数，即可求得结果．
解：（1）1.5×4＝6（万座）．
所以计划到2021年底，全省5G基站的数量是6万座；
（2）设2021年底到2023年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x．
则到2022年底基站数量为6（1+x ）万座；
到2023年底基站数量为6（1+x）（1+x）万座，即6（1+x）2万座，
根据2023年底基站数量将达到17.34万座，列方程，
得：6（1+x）2＝17.34，
（1+x）2＝2.89，
1+x＝±1.7．
∴1+x＝1.7或1+x＝﹣1.7，
解得：x＝0.7，x＝﹣2.7，
由题意可知，不能为负数，故取 x＝0.7＝70%．
所以2021年底到2023年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确根据题意列出方程是解题关键．
22．如图，直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标．

【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）将两函数联立求出交点即可．
解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（5，0）、B（1，4），
∴，
解方程得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5；

（2）∵直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，
∴解方程组：，
解得：，
∴点C的坐标为（3，2）．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及两函数交点求法，正确得出解析式是解题关键．
23．如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）求证：AD＝CF；
（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．

【分析】（1）由CF∥AB，得∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，又AE＝CE，可证△ADE≌△CFE（AAS），即得AD＝CF；
（2）由AD＝CF，AD∥CF，知四边形ADCF是平行四边形，若AC⊥BC，点D是AB的中点，可得CD＝AB＝AD，即得四边形ADCF是菱形．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF；
（2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：
由（1）知，AD＝CF，
∵AD∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D是AB的中点，
∴CD＝AB＝AD，
∴四边形ADCF是菱形．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理．
24．请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以．把代入已知方程，得；
化简，得y2+2y﹣4＝0；故所求方程为y2+2y﹣4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；
（1）已知方程x2+3x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【分析】（1）设所求方程的根为y，则x＝﹣y，然后把x＝﹣y代入方程x2+3x﹣2＝0得到新方程；
（2）设所求方程的根为y，则y＝，然后把x＝代入方程ax2﹣bx+c＝0得到关于y的一元二次方程即可．
解：（1）设所求方程的根为y，则x＝﹣y，
把x＝﹣y代入方程x2+3x﹣2＝0得y2﹣3y﹣2＝0，
即所求方程为y2﹣3y﹣2＝0；
（2）设所求方程的根为y，则y＝，
把x＝代入方程ax2﹣bx+c＝0得a•﹣b•+c＝0，
整理得cy2﹣by+a＝0，
即所求方程为cy2﹣by+a＝0，
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了阅读理解能力．
25．已知：四边形ABCD是正方形，AB＝20，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上．
（1）如图1，若∠EDF＝45°，AE＝CF，求∠DFC的度数；
（2）如图2，若∠EDF＝45°，点E，F分别是AB，BC上的动点，求证：△EBF的周长是定值；
（3）如图3，若GD＝BF＝5，GF和EH交于点O，且∠EOF＝45°，求EH的长度．

【分析】（1）证明△ADE≌△CDF，得∠ADE＝∠CDF＝×45°＝22.5°，在Rt△DCF中可求出∠DFC的度数；
（2）将△DAE绕点D逆时针旋转90°，通过证明三角形全等，证明EF＝AE+CF，即可证明△EBF的周长是定值；
（3）过点D作DL∥EH，交AB于点L，作DM∥FG，交BC于点M，连接LM，运用（2）中的结论和勾股定理求出BL的长，再用勾股定理求出DL的长即可．
解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C＝∠ADC＝90°，
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠EDF＝45°，
∴∠ADE+∠CDF＝90﹣45°＝45°，
∴∠CDF+∠CDF＝45°，
∴∠CDF＝22.5°，
∴∠DFC＝90°﹣22.5°＝67.5°．
（2）如图2，延长BC到点K，使CK＝AE，连接DK，
∵∠DCK＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DCK＝∠A，
∴△DCK≌△DAE（SAS），
∴DK＝DE，∠CDK＝∠ADE，
∴∠KDF＝∠CDK+∠CDF＝∠ADE+∠CDF＝45°，
∴∠KDF＝∠EDF，
∵DF＝DF，
∴△KDF≌△EDF（SAS），
∴KF＝EF，
∵KF＝CK+CF＝AE+CF，
∴EF＝AE+CF，
∴BE+EF+BF＝BE+AE+CF+BF＝AB+BC，
∵AB＝BC＝20，
∴BE+EF+BF＝40，
∴△EBF的周长是定值．
（3）如图3，作DL∥EH，交AB于点L，交FG于点P，作DM∥FG，交BC于点M，交EH于点Q，连接LM，
∵DH∥LE，DG∥FM，
∴四边形DLEH、四边形DGFM、四边形OPDQ都是平行四边形，
∴GD＝BF＝FM＝5，EH＝DL，∠LDM＝∠POQ＝∠EOF＝45°，
∴BM＝5+5＝10；
由（2）得，BL+LM+BM＝40，
∴BL+LM＝30，
∴LM＝30﹣BL，
∵∠B＝90°，
∴BL2+BM2＝LM2，
∴BL2+102＝（30﹣BL）2，
解得BL＝，
∴AL＝20﹣＝，
∵AD＝AB＝20，
∴DL＝＝，
∴EH＝．



【点评】此时重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线构造全等三角形，此题难度较大，属于考试压轴题．