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2022-2023学年湖南省长沙市雨花区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雨花区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市雨花区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知x=1是关于x的一元二次方程x2+mx=0的一个根，则m的值是( )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 若正比例函数的图象经过点(−1,2)，则这个图象必经过点( )
A. (1,2) B. (−1,−2) C. (2,−1) D. (1,−2)
3. 如图，菱形ABCD中，∠D=150°，则∠1=( )
A. 30° B. 25° C. 20° D. 15°
4. 已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=−kx+k的图象大致是( )
A. B. C. D.
5. 在平面直角坐标系中，把直线y=3x向左平移2个单位长度，平移后的直线解析式是( )
A. y=3x+2 B. y=3x−2 C. y=3x+6 D. y=3x−6
6. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这支铅笔的长度可能是( )
A. 9cm
B. 12cm
C. 15cm
D. 18cm
7. 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则正确的是( )
A. 若AC=BD，则四边形EFGH为矩形
B. 若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形
C. 若EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分
D. 若EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等
8. 若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为( )
A. −1 B. 1 C. −2或2 D. −3或1
9. 《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行(绳索头与地面接触)，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为( )
A. 82+x2=(x−3)2 B. 82+(x+3)2=x2
C. 82+(x−3)2=x2 D. x2+(x−3)2=82
10. 某班级共有41人，在一次体质测试中，有1人未参加集体测试，老师对集体测试的成绩按40人进行了统计，得到测试成绩分数的平均数是88，中位数是85.缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为88分，关于该班级41人的体质测试成绩，下列说法正确的是( )
A. 平均数不变，中位数变大 B. 平均数不变，中位数无法确定
C. 平均数变大，中位数变大 D. 平均数不变，中位数变小
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 设x1，x2是一元二次方程x2−x−1=0的两根，则x1+x2+x1x2= ．
12. 在某校举办的队列比赛中，A班的成绩如下：
项目
着装
队形
精神风貌
成绩/分
90
95
95
若按着装占10%、队形占60%、精神风貌占30%计算参赛班级的综合成绩，则A班的最后得分是______ 分.
13. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE=3，则菱形的周长为______．
14. 已知一次函数y=kx+b的图象经过一，二，四象限，且当2≤x≤4时，4≤y≤6，则bk的值是______．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是______．
16. 如图，一次函数y=x+b的图象过点A1,2，且与x轴相交于点B，若点P是x轴上的一点，且满足△APB是等腰三角形，则点P的坐标可以是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 解方程：(2x−1)2=3(2x−1)．
四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
已知直角三角形的三边长是三个连续自然数，求三边长．
19. (本小题6.0分)
已知y是x的一次函数，表中给出了部分对应值．
x
−1
2
4
n
y
5
−1
m
−7
(1)求该一次函数的表达式；
(2)求m、n的值．
20. (本小题8.0分)
为了加强对青少年防溺水安全教育，4月初某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛.下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩(单位：分)：
87，99，86，89，91，91，95，96，87，97；
91，97，96，86，96，89，100，91，99，97；
整理数据：
成绩(分)
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数(人)
2
2
2
4
1
3
3
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
a
b
解决问题：
(1)直接写出：上面表格中的a= ______ ，b= ______ ；
(2)若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率为______ ；
(3)请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
21. (本小题8.0分)
据统计，目前某市5G基站的数量约1.5万座，计划到2023年底，全市5G基站数是目前的4倍，到2025年底，全市5G基站数最将达到17.34万座．
(1)计划到2023年底，全市5G基站的数量是多少万座？
(2)求2023年底到2025年底，全市5G基站数量的年平均增长率．
22. (本小题9.0分)
如图，直线y=kx+b经过点A(5,0)，B(1,4)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若直线y=2x−4与直线AB相交于点C，求点C的坐标．
23. (本小题9.0分)
如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F．
(1)求证：AD=CF；
(2)连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．
24. (本小题10.0分)
请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x−1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以，把x=y2代入已知方程，得(y2)2+y2−1=0；
化简，得y2+2y−4=0；故所求方程为y2+2y−4=0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)；
(1)已知方程x2+3x−2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
(2)已知关于x的一元二次方程ax2−bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
25. (本小题10.0分)
已知：四边形ABCD是正方形，AB=20，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上．
(1)如图1，若∠EDF=45°，AE=CF，求∠DFC的度数；
(2)如图2，若∠EDF=45°，点E，F分别是AB，BC上的动点，求证：△EBF的周长是定值；
(3)如图3，若GD=BF=5，GF和EH交于点O，且∠EOF=45°，求EH的长度．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．
把x=1代入方程x2+mx=0，得出一个关于m的方程，解方程即可．
【解答】
解：把x=1代入方程x2+mx=0得：1+m=0，
解得：m=−1．
故选：A．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查正比例函数的知识．关键是先求出函数的解析式，然后代值验证答案．求出函数解析式，然后根据正比例函数的定义用代入法计算．
【解答】
解：设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，
因为正比例函数y=kx的图象经过点(−1,2)，
所以2=−k，
解得：k=−2，
所以y=−2x，
把这四个选项中的点的坐标分别代入y=−2x中，等号成立的点就在正比例函数y=−2x的图象上，
所以这个图象必经过点(1,−2)．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=150°，
∴AB//CD，∠BAD=2∠1，
∴∠BAD+∠D=180°，
∴∠BAD=180°−150°=30°，
∴∠1=15°；
故选：D．
由菱形的性质得出AB//CD，∠BAD=2∠1，求出∠BAD=30°，即可得出∠1=15°．
此题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k>0，
∴一次函数y=−kx+k的图象经过一、二、四象限．
故选：C．
先根据正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k<0，b>0时函数的图象在一、二、四象限．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：由“左加右减”的原则可知，把直线y=3x向左平移2个单位长度所得的直线的解析式是y=3(x+2)=3x+6．
即y=3x+6，
故选：C．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．
首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长即可．
【解答】
解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，
在Rt△ABC中：AC2=AB2+BC2=122+92=152，
∴AC=15cm．
则这支铅笔的长度大于15cm．
故选：D．
7.【答案】D
【解析】解：∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF//AC，EF=12AC，GH//AC，GH=12AC，EH//BD，EH=12BD，
∴EF//GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
但AC与BD不一定互相平分，故选项C不符合题意；
A.∵AC=BD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH为菱形，故本选项不符合题意；
B.∵AC⊥BD时，EF⊥EH，
则四边形EFGH为矩形，故本选项不符合题意；
D.当四边形EFGH是正方形时，AC与BD互相垂直且相等，故本选项不符合题意；
故选：D．
根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形，再根据矩形、菱形、正方形的判定和性质定理判断即可．
本题考查的是矩形、菱形、正方形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
将原方程变形为一般式，根据根的判别式Δ=0即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：原方程可变形为x2+(a+1)x=0．
∵该方程有两个相等的实数根，
∴Δ=(a+1)2−4×1×0=0，
解得：a=−1．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解答】
解：设绳索长为x尺，可列方程为(x−3)2+82=x2，
故选C．
10.【答案】B
【解析】解：∵缺席集体测试的同学的成绩和其他40人的平均数相同，都是88分，
∴该班41人的测试成绩的平均分为88分不变，中位数是从小到大第21个人的成绩，原来是第20个和第21个人成绩的平均数，中位数可能不变，可能变大，故
中位数无法确定．
故选：B．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，依此计算即可求解．
本题考查中位数，总体，个体，样本，抽样调查等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．
11.【答案】0
【解析】解：∵x1,x2是方程x2−x−1=0的两根，
∴x1+x2=1，x1⋅x2=−1，
∴x1+x2+x1x2=1−1=0．
故答案为0．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
直接根据根与系数的关系求解．
12.【答案】94.5
【解析】解：根据题意得：
90×10%+95×60%+95×30%=94.5(分)，
答：A班的最后得分是94.5分．
故答案为：94.5．
将各项分数乘以权重即可得出答案．
本题主要考查加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
13.【答案】24
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，BO=DO，
∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴CD=2OE=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长=4×6=24；
故答案为：24．
根据菱形的对角线互相平分可得BO=DO，然后求出OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出CD，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．
本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键．
14.【答案】−8
【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k<0，
∴函数y随x的增大而减小，
∵当2≤x≤4时，4≤y≤6，
∴当x=2时，y=6；
当x=4时，y=4，
∴2k+b=64k+b=4，解得k=−1b=8，
∴bk=−8，
故答案为−8．
利用一次函数的性质得到k<0，则判断x=2时，y=6；x=4时，y=4，然后根据待定系数法求得k、b的值，即可求得bk的值．
本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数的解析式，根据题意得出当x=2时，y=6；当x=4时，y=4是解题的关键．
15.【答案】245
【解析】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2= 62+82=10，
∵S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，
∴CM=AC⋅BCAB=6×810=245．
故答案为：245．
过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC=12AB⋅CM=
12AC⋅BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
本题解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
16.【答案】3,0，2 2−1,0，(−2 2−1,0)，1,0
【解析】
【分析】
先把点A1,2代入一次函数y=x+b求出b的值，故可得出B点坐标，再分AB=AP，AB=BP及AP=BP三种情况进行分类讨论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
【解答】
解：∵一次函数y=x+b图象过点A1,2，
∴2=1+b，解得b=1，
∴一次函数的解析式为：y=x+1，
∴B−1,0．
当AB=AP时，
∵B−1,0，
∴P13,0；
当AB=BP时，
∵AB= (1+1)2+(2−0)2=2 2，
∴P 1(2 2 −1,0)，P 3(−2 2 −1,0)；
当AP=BP时，点P在线段AB的垂直平分线上，线段AB的中点坐标为(0,1)，
设点P所在的直线解析式为y=−x+c，则c=1，
∴直线解析式为y=−x+1，
∴当y=0时，x=1，
∴P 4(1,0)．
综上所述，P点坐标为：3,0，2 2−1,0，(−2 2−1,0)，1,0．
故答案为：3,0，2 2−1,0，(−2 2−1,0)，1,0．
17.【答案】解：移项得：(2x−1)2−3(2x−1)=0，
(2x−1)(2x−4)=0，
即2x−1=0，2x−4=0，
解得：x1=12，x2=2．
【解析】本题考查了解一元二次方程，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
移项后分解因式得出(2x−1)(2x−4)=0，推出方程2x−1=0，2x−4=0，求出方程的解即可．
18.【答案】解：设最短的边长为x，则另外两边长分别为(x+1)，(x+2)，
依题意，得：x2+(x+1)2=(x+2)2，
整理，得：x2−2x−3=0，
解得：x1=−1(不合题意，舍去)，x2=3，
∴x+1=4，x+2=5．
答：直角三角形的三边长分别为3，4，5．
【解析】设最短的边长为x，则另外两边长分别为(x+1)，(x+2)，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设一次函数的解析式为y=kx+b，
由题意可得−k+b=52k+b=−1，解得k=−2b=3，
∴一次函数解析式为y=−2x+3；
(2)当x=4时，代入可得m=−2×4+3=−5，
当y=−7时，代入可得−7=−2n+3，解得n=5，
∴m=−5，n=5．
【解析】本题主要考查一次函数解析式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
(1)由所给数据，利用待定系数法可求得一次函数解析式；
(2)利用(1)中所求的函数解析式进行求解即可．
20.【答案】解：(1)91；93．
(2)50%．
(3)估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为：1500×50%=750(人)．
【解析】(1)根据众数的定义求出a，根据中位数的定义求出b；
(2)根据“优秀”等级人数求出“优秀”等级所占的百分率；
(3)根据“优秀”等级所占的百分率估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
本题考查的是众数、中位数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是解题的关键．
解：(1)∵91分的人数最多，
∴众数为91，即a=91，
中位数b=91+952=93．
(2)成绩达到95分及以上有10人，
则“优秀”等级所占的百分率为：1020×100%=50%．
(3)见答案．
21.【答案】解：(1)1.5×4=6(万座)．
所以计划到2021年底，全省5G基站的数量是6万座；
(2)设2021年底到2023年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x．
则到2022年底基站数量为6(1+x )万座；
到2023年底基站数量为6(1+x)(1+x)万座，即6(1+x)2万座，
根据2023年底基站数量将达到17.34万座，列方程，
得：6(1+x)2=17.34，
(1+x)2=2.89，
1+x=±1.7．
∴1+x=1.7或1+x=−1.7，
解得：x=0.7，x=−2.7，
由题意可知，不能为负数，故取x=0.7=70%．
所以2021年底到2023年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【解析】(1)根据“到2021年底，全省5G基站数是目前的4倍“，即可求得结果；
(2)设2021年底到2023年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，可得到2023年底基站数量为6(1+x)2万座，再根据2023年底基站数量将达到17.34万座，列方程得：6(1+x)2=17.34，根据不能为负数，即可求得结果．
本题考查一元二次方程的应用，正确根据题意列出方程是解题关键．
22.【答案】解：(1)∵直线y=kx+b经过点A(5,0)、B(1,4)，
∴5k+b=0k+b=4，
解方程得：k=−1b=5，
∴直线AB的解析式为y=−x+5；
(2)∵直线y=2x−4与直线AB相交于点C，
∴解方程组：y=−x+5y=2x−4，
解得：x=3y=2.，
∴点C的坐标为(3,2)．
【解析】(1)直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
(2)将两函数联立求出交点即可．
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及两函数交点求法，正确得出解析式是解题关键．
23.【答案】(1)证明：∵CF//AB，
∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE，
在△ADE和△CFE中，∠ADE=∠CFE∠DAE=∠FCEAE=CE,
∴△ADE≌△CFE(AAS)，
∴AD=CF．
(2)解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：
由(1)知，AD=CF．
∵AD//CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D是AB的中点，
∴CD=12AB=AD，
∴四边形ADCF是菱形．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理．
(1)由CF//AB，得∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，又AE=CE，可证△ADE≌△CFE(AAS)，即得AD=CF；
(2)由AD=CF，AD//CF，知四边形ADCF是平行四边形，若AC⊥BC，点D是AB的中点，可得CD=12AB=AD，即得四边形ADCF是菱形．
24.【答案】解：(1)设所求方程的根为y，则x=−y，
把x=−y代入方程x2+3x−2=0得y2−3y−2=0，
即所求方程为y2−3y−2=0；
(2)设所求方程的根为y，则y=1x，
把x=1y代入方程ax2−bx+c=0得a⋅1y2−b⋅1y+c=0，
整理得cy2−by+a=0，
即所求方程为cy2−by+a=0，
【解析】本题主要考查了一元二次方程的根．本题是一道材料题，是一种新型问题，解题时，要提取材料中的关键性信息．
(1)设所求方程的根为y，则x=−y，然后把x=−y代入方程x2+3x−2=0得到新方程；
(2)设所求方程的根为y，则y=1x，然后把x=1y代入方程ax2−bx+c=0得到关于y的一元二次方程即可．
25.【答案】解：(1)如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°，
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠EDF=45°，
∴∠ADE+∠CDF=90−45°=45°，
∴∠CDF+∠CDF=45°，
∴∠CDF=22.5°，
∴∠DFC=90°−22.5°=67.5°．
(2)如图2，延长BC到点K，使CK=AE，连接DK，
∵∠DCK=180°−90°=90°，
∴∠DCK=∠A，
∴△DCK≌△DAE(SAS)，
∴DK=DE，∠CDK=∠ADE，
∴∠KDF=∠CDK+∠CDF=∠ADE+∠CDF=45°，
∴∠KDF=∠EDF，
∵DF=DF，
∴△KDF≌△EDF(SAS)，
∴KF=EF，
∵KF=CK+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF，
∴BE+EF+BF=BE+AE+CF+BF=AB+BC，
∵AB=BC=20，
∴BE+EF+BF=40，
∴△EBF的周长是定值．
(3)如图3，作DL//EH，交AB于点L，交FG于点P，作DM//FG，交BC于点M，交EH于点Q，连接LM，
∵DH//LE，DG//FM，
∴四边形DLEH、四边形DGFM、四边形OPDQ都是平行四边形，
∴GD=BF=FM=5，EH=DL，∠LDM=∠POQ=∠EOF=45°，
∴BM=5+5=10；
由(2)得，BL+LM+BM=40，
∴BL+LM=30，
∴LM=30−BL，
∵∠B=90°，
∴BL2+BM2=LM2，
∴BL2+102=(30−BL)2，
解得BL=403，
∴AL=20−403=203，
∵AD=AB=20，
∴DL= 202+(203)2=20 103，
∴EH=20 103．
【解析】
【分析】
(1)证明△ADE≌△CDF，得∠ADE=∠CDF=12×45°=22.5°，在Rt△DCF中可求出∠DFC的度数；
(2)延长BC到点K，使CK=AE，连接DK，通过证明三角形全等，证明EF=AE+CF，即可证明△EBF的周长是定值；
(3)过点D作DL//EH，交AB于点L，作DM//FG，交BC于点M，连接LM，运用(2)中的结论和勾股定理求出BL的长，再用勾股定理求出DL的长即可．
此时考查正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线构造全等三角形．
2022-2023学年湖南省长沙市雨花区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知x=1是关于x的一元二次方程x2+mx=0的一个根，则m的值是( )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 若正比例函数的图象经过点(−1,2)，则这个图象必经过点( )
A. (1,2) B. (−1,−2) C. (2,−1) D. (1,−2)
3. 如图，菱形ABCD中，∠D=150°，则∠1=( )
A. 30° B. 25° C. 20° D. 15°
4. 已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=−kx+k的图象大致是( )
A. B. C. D.
5. 在平面直角坐标系中，把直线y=3x向左平移2个单位长度，平移后的直线解析式是( )
A. y=3x+2 B. y=3x−2 C. y=3x+6 D. y=3x−6
6. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这支铅笔的长度可能是( )
A. 9cm
B. 12cm
C. 15cm
D. 18cm
7. 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则正确的是( )
A. 若AC=BD，则四边形EFGH为矩形
B. 若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形
C. 若EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分
D. 若EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等
8. 若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为( )
A. −1 B. 1 C. −2或2 D. −3或1
9. 《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行(绳索头与地面接触)，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为( )
A. 82+x2=(x−3)2 B. 82+(x+3)2=x2
C. 82+(x−3)2=x2 D. x2+(x−3)2=82
10. 某班级共有41人，在一次体质测试中，有1人未参加集体测试，老师对集体测试的成绩按40人进行了统计，得到测试成绩分数的平均数是88，中位数是85.缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为88分，关于该班级41人的体质测试成绩，下列说法正确的是( )
A. 平均数不变，中位数变大 B. 平均数不变，中位数无法确定
C. 平均数变大，中位数变大 D. 平均数不变，中位数变小
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 设x1，x2是一元二次方程x2−x−1=0的两根，则x1+x2+x1x2= ．
12. 在某校举办的队列比赛中，A班的成绩如下：
项目
着装
队形
精神风貌
成绩/分
90
95
95
若按着装占10%、队形占60%、精神风貌占30%计算参赛班级的综合成绩，则A班的最后得分是______ 分.
13. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE=3，则菱形的周长为______．
14. 已知一次函数y=kx+b的图象经过一，二，四象限，且当2≤x≤4时，4≤y≤6，则bk的值是______．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是______．
16. 如图，一次函数y=x+b的图象过点A1,2，且与x轴相交于点B，若点P是x轴上的一点，且满足△APB是等腰三角形，则点P的坐标可以是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 解方程：(2x−1)2=3(2x−1)．
四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
已知直角三角形的三边长是三个连续自然数，求三边长．
19. (本小题6.0分)
已知y是x的一次函数，表中给出了部分对应值．
x
−1
2
4
n
y
5
−1
m
−7
(1)求该一次函数的表达式；
(2)求m、n的值．
20. (本小题8.0分)
为了加强对青少年防溺水安全教育，4月初某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛.下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩(单位：分)：
87，99，86，89，91，91，95，96，87，97；
91，97，96，86，96，89，100，91，99，97；
整理数据：
成绩(分)
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数(人)
2
2
2
4
1
3
3
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
a
b
解决问题：
(1)直接写出：上面表格中的a= ______ ，b= ______ ；
(2)若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率为______ ；
(3)请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
21. (本小题8.0分)
据统计，目前某市5G基站的数量约1.5万座，计划到2023年底，全市5G基站数是目前的4倍，到2025年底，全市5G基站数最将达到17.34万座．
(1)计划到2023年底，全市5G基站的数量是多少万座？
(2)求2023年底到2025年底，全市5G基站数量的年平均增长率．
22. (本小题9.0分)
如图，直线y=kx+b经过点A(5,0)，B(1,4)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若直线y=2x−4与直线AB相交于点C，求点C的坐标．
23. (本小题9.0分)
如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F．
(1)求证：AD=CF；
(2)连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．
24. (本小题10.0分)
请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x−1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以，把x=y2代入已知方程，得(y2)2+y2−1=0；
化简，得y2+2y−4=0；故所求方程为y2+2y−4=0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)；
(1)已知方程x2+3x−2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
(2)已知关于x的一元二次方程ax2−bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
25. (本小题10.0分)
已知：四边形ABCD是正方形，AB=20，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上．
(1)如图1，若∠EDF=45°，AE=CF，求∠DFC的度数；
(2)如图2，若∠EDF=45°，点E，F分别是AB，BC上的动点，求证：△EBF的周长是定值；
(3)如图3，若GD=BF=5，GF和EH交于点O，且∠EOF=45°，求EH的长度．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．
把x=1代入方程x2+mx=0，得出一个关于m的方程，解方程即可．
【解答】
解：把x=1代入方程x2+mx=0得：1+m=0，
解得：m=−1．
故选：A．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查正比例函数的知识．关键是先求出函数的解析式，然后代值验证答案．求出函数解析式，然后根据正比例函数的定义用代入法计算．
【解答】
解：设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，
因为正比例函数y=kx的图象经过点(−1,2)，
所以2=−k，
解得：k=−2，
所以y=−2x，
把这四个选项中的点的坐标分别代入y=−2x中，等号成立的点就在正比例函数y=−2x的图象上，
所以这个图象必经过点(1,−2)．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=150°，
∴AB//CD，∠BAD=2∠1，
∴∠BAD+∠D=180°，
∴∠BAD=180°−150°=30°，
∴∠1=15°；
故选：D．
由菱形的性质得出AB//CD，∠BAD=2∠1，求出∠BAD=30°，即可得出∠1=15°．
此题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k>0，
∴一次函数y=−kx+k的图象经过一、二、四象限．
故选：C．
先根据正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k<0，b>0时函数的图象在一、二、四象限．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：由“左加右减”的原则可知，把直线y=3x向左平移2个单位长度所得的直线的解析式是y=3(x+2)=3x+6．
即y=3x+6，
故选：C．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．
首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长即可．
【解答】
解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，
在Rt△ABC中：AC2=AB2+BC2=122+92=152，
∴AC=15cm．
则这支铅笔的长度大于15cm．
故选：D．
7.【答案】D
【解析】解：∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF//AC，EF=12AC，GH//AC，GH=12AC，EH//BD，EH=12BD，
∴EF//GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
但AC与BD不一定互相平分，故选项C不符合题意；
A.∵AC=BD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH为菱形，故本选项不符合题意；
B.∵AC⊥BD时，EF⊥EH，
则四边形EFGH为矩形，故本选项不符合题意；
D.当四边形EFGH是正方形时，AC与BD互相垂直且相等，故本选项不符合题意；
故选：D．
根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形，再根据矩形、菱形、正方形的判定和性质定理判断即可．
本题考查的是矩形、菱形、正方形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
将原方程变形为一般式，根据根的判别式Δ=0即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：原方程可变形为x2+(a+1)x=0．
∵该方程有两个相等的实数根，
∴Δ=(a+1)2−4×1×0=0，
解得：a=−1．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解答】
解：设绳索长为x尺，可列方程为(x−3)2+82=x2，
故选C．
10.【答案】B
【解析】解：∵缺席集体测试的同学的成绩和其他40人的平均数相同，都是88分，
∴该班41人的测试成绩的平均分为88分不变，中位数是从小到大第21个人的成绩，原来是第20个和第21个人成绩的平均数，中位数可能不变，可能变大，故
中位数无法确定．
故选：B．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，依此计算即可求解．
本题考查中位数，总体，个体，样本，抽样调查等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．
11.【答案】0
【解析】解：∵x1,x2是方程x2−x−1=0的两根，
∴x1+x2=1，x1⋅x2=−1，
∴x1+x2+x1x2=1−1=0．
故答案为0．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
直接根据根与系数的关系求解．
12.【答案】94.5
【解析】解：根据题意得：
90×10%+95×60%+95×30%=94.5(分)，
答：A班的最后得分是94.5分．
故答案为：94.5．
将各项分数乘以权重即可得出答案．
本题主要考查加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
13.【答案】24
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，BO=DO，
∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴CD=2OE=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长=4×6=24；
故答案为：24．
根据菱形的对角线互相平分可得BO=DO，然后求出OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出CD，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．
本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键．
14.【答案】−8
【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k<0，
∴函数y随x的增大而减小，
∵当2≤x≤4时，4≤y≤6，
∴当x=2时，y=6；
当x=4时，y=4，
∴2k+b=64k+b=4，解得k=−1b=8，
∴bk=−8，
故答案为−8．
利用一次函数的性质得到k<0，则判断x=2时，y=6；x=4时，y=4，然后根据待定系数法求得k、b的值，即可求得bk的值．
本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数的解析式，根据题意得出当x=2时，y=6；当x=4时，y=4是解题的关键．
15.【答案】245
【解析】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2= 62+82=10，
∵S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，
∴CM=AC⋅BCAB=6×810=245．
故答案为：245．
过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC=12AB⋅CM=
12AC⋅BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
本题解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
16.【答案】3,0，2 2−1,0，(−2 2−1,0)，1,0
【解析】
【分析】
先把点A1,2代入一次函数y=x+b求出b的值，故可得出B点坐标，再分AB=AP，AB=BP及AP=BP三种情况进行分类讨论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
【解答】
解：∵一次函数y=x+b图象过点A1,2，
∴2=1+b，解得b=1，
∴一次函数的解析式为：y=x+1，
∴B−1,0．
当AB=AP时，
∵B−1,0，
∴P13,0；
当AB=BP时，
∵AB= (1+1)2+(2−0)2=2 2，
∴P 1(2 2 −1,0)，P 3(−2 2 −1,0)；
当AP=BP时，点P在线段AB的垂直平分线上，线段AB的中点坐标为(0,1)，
设点P所在的直线解析式为y=−x+c，则c=1，
∴直线解析式为y=−x+1，
∴当y=0时，x=1，
∴P 4(1,0)．
综上所述，P点坐标为：3,0，2 2−1,0，(−2 2−1,0)，1,0．
故答案为：3,0，2 2−1,0，(−2 2−1,0)，1,0．
17.【答案】解：移项得：(2x−1)2−3(2x−1)=0，
(2x−1)(2x−4)=0，
即2x−1=0，2x−4=0，
解得：x1=12，x2=2．
【解析】本题考查了解一元二次方程，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
移项后分解因式得出(2x−1)(2x−4)=0，推出方程2x−1=0，2x−4=0，求出方程的解即可．
18.【答案】解：设最短的边长为x，则另外两边长分别为(x+1)，(x+2)，
依题意，得：x2+(x+1)2=(x+2)2，
整理，得：x2−2x−3=0，
解得：x1=−1(不合题意，舍去)，x2=3，
∴x+1=4，x+2=5．
答：直角三角形的三边长分别为3，4，5．
【解析】设最短的边长为x，则另外两边长分别为(x+1)，(x+2)，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设一次函数的解析式为y=kx+b，
由题意可得−k+b=52k+b=−1，解得k=−2b=3，
∴一次函数解析式为y=−2x+3；
(2)当x=4时，代入可得m=−2×4+3=−5，
当y=−7时，代入可得−7=−2n+3，解得n=5，
∴m=−5，n=5．
【解析】本题主要考查一次函数解析式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
(1)由所给数据，利用待定系数法可求得一次函数解析式；
(2)利用(1)中所求的函数解析式进行求解即可．
20.【答案】解：(1)91；93．
(2)50%．
(3)估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为：1500×50%=750(人)．
【解析】(1)根据众数的定义求出a，根据中位数的定义求出b；
(2)根据“优秀”等级人数求出“优秀”等级所占的百分率；
(3)根据“优秀”等级所占的百分率估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
本题考查的是众数、中位数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是解题的关键．
解：(1)∵91分的人数最多，
∴众数为91，即a=91，
中位数b=91+952=93．
(2)成绩达到95分及以上有10人，
则“优秀”等级所占的百分率为：1020×100%=50%．
(3)见答案．
21.【答案】解：(1)1.5×4=6(万座)．
所以计划到2021年底，全省5G基站的数量是6万座；
(2)设2021年底到2023年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x．
则到2022年底基站数量为6(1+x )万座；
到2023年底基站数量为6(1+x)(1+x)万座，即6(1+x)2万座，
根据2023年底基站数量将达到17.34万座，列方程，
得：6(1+x)2=17.34，
(1+x)2=2.89，
1+x=±1.7．
∴1+x=1.7或1+x=−1.7，
解得：x=0.7，x=−2.7，
由题意可知，不能为负数，故取x=0.7=70%．
所以2021年底到2023年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【解析】(1)根据“到2021年底，全省5G基站数是目前的4倍“，即可求得结果；
(2)设2021年底到2023年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，可得到2023年底基站数量为6(1+x)2万座，再根据2023年底基站数量将达到17.34万座，列方程得：6(1+x)2=17.34，根据不能为负数，即可求得结果．
本题考查一元二次方程的应用，正确根据题意列出方程是解题关键．
22.【答案】解：(1)∵直线y=kx+b经过点A(5,0)、B(1,4)，
∴5k+b=0k+b=4，
解方程得：k=−1b=5，
∴直线AB的解析式为y=−x+5；
(2)∵直线y=2x−4与直线AB相交于点C，
∴解方程组：y=−x+5y=2x−4，
解得：x=3y=2.，
∴点C的坐标为(3,2)．
【解析】(1)直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
(2)将两函数联立求出交点即可．
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及两函数交点求法，正确得出解析式是解题关键．
23.【答案】(1)证明：∵CF//AB，
∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE，
在△ADE和△CFE中，∠ADE=∠CFE∠DAE=∠FCEAE=CE,
∴△ADE≌△CFE(AAS)，
∴AD=CF．
(2)解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：
由(1)知，AD=CF．
∵AD//CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D是AB的中点，
∴CD=12AB=AD，
∴四边形ADCF是菱形．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理．
(1)由CF//AB，得∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，又AE=CE，可证△ADE≌△CFE(AAS)，即得AD=CF；
(2)由AD=CF，AD//CF，知四边形ADCF是平行四边形，若AC⊥BC，点D是AB的中点，可得CD=12AB=AD，即得四边形ADCF是菱形．
24.【答案】解：(1)设所求方程的根为y，则x=−y，
把x=−y代入方程x2+3x−2=0得y2−3y−2=0，
即所求方程为y2−3y−2=0；
(2)设所求方程的根为y，则y=1x，
把x=1y代入方程ax2−bx+c=0得a⋅1y2−b⋅1y+c=0，
整理得cy2−by+a=0，
即所求方程为cy2−by+a=0，
【解析】本题主要考查了一元二次方程的根．本题是一道材料题，是一种新型问题，解题时，要提取材料中的关键性信息．
(1)设所求方程的根为y，则x=−y，然后把x=−y代入方程x2+3x−2=0得到新方程；
(2)设所求方程的根为y，则y=1x，然后把x=1y代入方程ax2−bx+c=0得到关于y的一元二次方程即可．
25.【答案】解：(1)如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°，
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠EDF=45°，
∴∠ADE+∠CDF=90−45°=45°，
∴∠CDF+∠CDF=45°，
∴∠CDF=22.5°，
∴∠DFC=90°−22.5°=67.5°．
(2)如图2，延长BC到点K，使CK=AE，连接DK，
∵∠DCK=180°−90°=90°，
∴∠DCK=∠A，
∴△DCK≌△DAE(SAS)，
∴DK=DE，∠CDK=∠ADE，
∴∠KDF=∠CDK+∠CDF=∠ADE+∠CDF=45°，
∴∠KDF=∠EDF，
∵DF=DF，
∴△KDF≌△EDF(SAS)，
∴KF=EF，
∵KF=CK+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF，
∴BE+EF+BF=BE+AE+CF+BF=AB+BC，
∵AB=BC=20，
∴BE+EF+BF=40，
∴△EBF的周长是定值．
(3)如图3，作DL//EH，交AB于点L，交FG于点P，作DM//FG，交BC于点M，交EH于点Q，连接LM，
∵DH//LE，DG//FM，
∴四边形DLEH、四边形DGFM、四边形OPDQ都是平行四边形，
∴GD=BF=FM=5，EH=DL，∠LDM=∠POQ=∠EOF=45°，
∴BM=5+5=10；
由(2)得，BL+LM+BM=40，
∴BL+LM=30，
∴LM=30−BL，
∵∠B=90°，
∴BL2+BM2=LM2，
∴BL2+102=(30−BL)2，
解得BL=403，
∴AL=20−403=203，
∵AD=AB=20，
∴DL= 202+(203)2=20 103，
∴EH=20 103．
【解析】
【分析】
(1)证明△ADE≌△CDF，得∠ADE=∠CDF=12×45°=22.5°，在Rt△DCF中可求出∠DFC的度数；
(2)延长BC到点K，使CK=AE，连接DK，通过证明三角形全等，证明EF=AE+CF，即可证明△EBF的周长是定值；
(3)过点D作DL//EH，交AB于点L，作DM//FG，交BC于点M，连接LM，运用(2)中的结论和勾股定理求出BL的长，再用勾股定理求出DL的长即可．
此时考查正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线构造全等三角形．
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