湖南省长沙市雨花区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷(含答案)
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这是一份湖南省长沙市雨花区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷(含答案),共26页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
湖南省长沙市雨花区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷(解析版)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
1.(3分)已知x=1是关于x的一元二次方程x2+mx=0的一个根,则m的值是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
2.(3分)若正比例函数的图象经过点(﹣1,2),则这个图象必经过点( )
A.(1,2) B.(﹣1,﹣2) C.(2,﹣1) D.(1,﹣2)
3.(3分)如图,菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1=( )
A.30° B.25° C.20° D.15°
4.(3分)已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大,则一次函数y=﹣kx+k的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.(3分)在平面直角坐标系中,把直线y=3x向左平移2个单位长度,平移后的直线解析式是( )
A.y=3x+2 B.y=3x﹣2 C.y=3x+6 D.y=3x﹣6
6.(3分)如图,一支铅笔放在圆柱体笔筒中,笔筒的内部底面直径是9cm,内壁高12cm,则这支铅笔的长度可能是( )
A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm
7.(3分)如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则正确的是( )
A.若AC=BD,则四边形EFGH为矩形
B.若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形
C.若EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分
D.若EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等
8.(3分)若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为( )
A.﹣1 B.1 C.﹣2或2 D.﹣3或1
9.(3分)《九章算术》勾股章有一问题,其意思是:现有一竖立着的木柱,在木柱上端系有绳索,绳索从木柱上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有3尺,牵着绳索退行,在离木柱根部8尺处时绳索用尽,请问绳索有多长?若设绳索长度为x尺,根据题意,可列方程为( )
A.82+x2=(x﹣3)2 B.82+(x+3)2=x2
C.82+(x﹣3)2=x2 D.x2+(x﹣3)2=82
10.(3分)某班级共有41人,在一次体质测试中,有1人未参加集体测试,老师对集体测试的成绩按40人进行了统计,得到测试成绩分数的平均数是88,中位数是85.缺席集体测试的同学后面进行了补测,成绩为88分,关于该班级41人的体质测试成绩,下列说法正确的是( )
A.平均数不变,中位数变大
B.平均数不变,中位数无法确定
C.平均数变大,中位数变大
D.平均数不变,中位数变小
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.(3分)设x1,x2是一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两根,则x1+x2+x1x2= .
12.(3分)在某校举办的队列比赛中,A班的成绩如下:
项目
着装
队形
精神风貌
成绩/分
90
95
95
若按着装占10%、队形占60%、精神风貌占30%计算参赛班级的综合成绩,则A班的最后得分是 分.
13.(3分)如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E为BC的中点,若OE=3,则菱形的周长为 .
14.(3分)已知一次函数y=kx+b的图象经过一,二,四象限,且当2≤x≤4时,4≤y≤6,则的值是 .
15.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是 .
16.(3分)如图,一次函数y=x+b的图象过点A(1,2),且与x轴相交于点B,若点P是x轴上的一点,且满足△APB是等腰三角形,则点P的坐标可以是 .
三、解答题(本大题共9小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(6分)解方程:(2x﹣1)2=3(2x﹣1).
18.(6分)已知直角三角形的三边长是三个连续自然数,求三边长.
19.(6分)已知y是x的一次函数,表中给出了部分对应值.
x
﹣1
2
4
n
y
5
﹣1
m
﹣7
(1)求该一次函数的表达式;
(2)求m、n的值.
20.(8分)为了加强对青少年防溺水安全教育,4月初某校开展了“远离溺水,珍爱生命”的防溺水安全知识比赛.下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩(单位:分):
87,99,86,89,91,91,95,96,87,97;
91,97,96,86,96,89,100,91,99,97;
整理数据:
成绩(分)
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数(人)
2
2
2
4
1
3
3
2
1
分析数据:
平均数
众数
中位数
93
a
b
解决问题:
(1)直接写出:上面表格中的a= ,b= ;
(2)若成绩达到95分及以上为“优秀”等级,求“优秀”等级所占的百分率为 ;
(3)请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数.
21.(8分)据统计,目前某市5G基站的数量约1.5万座,计划到2023年底,全市5G基站数是目前的4倍,到2025年底,全市5G基站数最将达到17.34万座.
(1)计划到2023年底,全市5G基站的数量是多少万座?
(2)求2023年底到2025年底,全市5G基站数量的年平均增长率.
22.(9分)如图,直线y=kx+b经过点A(5,0),B(1,4).
(1)求直线AB的解析式;
(2)若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C,求点C的坐标.
23.(9分)如图,△ABC中,点D是AB上一点,点E是AC的中点,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F.
(1)求证:AD=CF;
(2)连接AF,CD.如果点D是AB的中点,那么当AC与BC满足什么条件时,四边形ADCF是菱形,证明你的结论.
24.(10分)请阅读下列材料:
问题:已知方程x2+x﹣1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则y=2x,所以.把代入已知方程,得;
化简,得y2+2y﹣4=0;故所求方程为y2+2y﹣4=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式);
(1)已知方程x2+3x﹣2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别为已知方程根的相反数;
(2)已知关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.
25.(10分)已知:四边形ABCD是正方形,AB=20,点E,F,G,H分别在边AB,BC,AD,DC上.
(1)如图1,若∠EDF=45°,AE=CF,求∠DFC的度数;
(2)如图2,若∠EDF=45°,点E,F分别是AB,BC上的动点,求证:△EBF的周长是定值;
(3)如图3,若GD=BF=5,GF和EH交于点O,且∠EOF=45°,求EH的长度.
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
1.(3分)已知x=1是关于x的一元二次方程x2+mx=0的一个根,则m的值是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【分析】把x=1代入方程x2+mx=0,得出一个关于m的方程,解方程即可.
【解答】解:把x=1代入方程x2+mx=0得:1+m=0,
解得:m=﹣1.
故选:A.
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程,关键是能根据题意得出一个关于m的方程.
2.(3分)若正比例函数的图象经过点(﹣1,2),则这个图象必经过点( )
A.(1,2) B.(﹣1,﹣2) C.(2,﹣1) D.(1,﹣2)
【分析】求出函数解析式,然后根据正比例函数的定义用代入法计算.
【解答】解:设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0),
因为正比例函数y=kx的图象经过点(﹣1,2),
所以2=﹣k,
解得:k=﹣2,
所以y=﹣2x,
把这四个选项中的点的坐标分别代入y=﹣2x中,等号成立的点就在正比例函数y=﹣2x的图象上,
所以这个图象必经过点(1,﹣2).
故选:D.
【点评】本题考查正比例函数的知识.关键是先求出函数的解析式,然后代值验证答案.
3.(3分)如图,菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1=( )
A.30° B.25° C.20° D.15°
【分析】由菱形的性质得出AB∥CD,∠BAD=2∠1,求出∠BAD=30°,即可得出∠1=15°.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,∠D=150°,
∴AB∥CD,∠BAD=2∠1,
∴∠BAD+∠D=180°,
∴∠BAD=180°﹣150°=30°,
∴∠1=15°;
故选:D.
【点评】此题考查了菱形的性质,以及平行线的性质,熟练掌握菱形的性质是解本题的关键.
4.(3分)已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大,则一次函数y=﹣kx+k的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【分析】先根据正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号,再根据一次函数的性质即可得出结论.
【解答】解:∵正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大,
∴k>0,
∴一次函数y=﹣kx+k的图象经过一、二、四象限.
故选:C.
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系,即一次函数y=kx+b(k≠0)中,当k<0,b>0时函数的图象在一、二、四象限.
5.(3分)在平面直角坐标系中,把直线y=3x向左平移2个单位长度,平移后的直线解析式是( )
A.y=3x+2 B.y=3x﹣2 C.y=3x+6 D.y=3x﹣6
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可.
【解答】解:由“左加右减”的原则可知,把直线y=3x向左平移2个单位长度所得的直线的解析式是y=3(x+2)=3x+6.即y=3x+6,
故选:C.
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换,熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键.
6.(3分)如图,一支铅笔放在圆柱体笔筒中,笔筒的内部底面直径是9cm,内壁高12cm,则这支铅笔的长度可能是( )
A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm
【分析】首先根据题意画出图形,利用勾股定理计算出AC的长
【解答】解:根据题意可得图形:AB=12cm,BC=9cm,
在Rt△ABC中:AC===15(cm),
则这支铅笔的长度大于15cm.
故选:D.
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用,正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键.
7.(3分)如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则正确的是( )
A.若AC=BD,则四边形EFGH为矩形
B.若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形
C.若EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分
D.若EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等
【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形,再根据矩形、菱形、正方形的判定和性质定理判断即可.
【解答】解:∵点 E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点,
∴EF∥AC,EF=AC,GH∥AC,GH=AC,EH∥BD,EH=BD,
∴EF∥GH,EF=GH,
∴四边形EFGH为平行四边形,
但AC与BD不一定互相平分,故选项C不符合题意;
A.∵AC=BD,
∴EF=EH,
∴四边形EFGH为菱形,故本选项不符合题意;
B.∵AC⊥BD时,EF⊥EH,
则四边形EFGH为矩形,故本选项不符合题意;
D.当四边形EFGH是正方形时,AC与BD互相垂直且相等,故本选项不符合题意;
故选:D.
【点评】本题考查的是矩形、菱形、正方形的判定和性质、三角形中位线定理,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键.
8.(3分)若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为( )
A.﹣1 B.1 C.﹣2或2 D.﹣3或1
【分析】将原方程变形为一般式,根据根的判别式Δ=0即可得出关于a的一元二次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:原方程可变形为x2+(a+1)x=0.
∵该方程有两个相等的实数根,
∴Δ=(a+1)2﹣4×1×0=0,
解得:a=﹣1.
故选:A.
【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当Δ=0时,方程有两个相等的实数根”是解题的关键.
9.(3分)《九章算术》勾股章有一问题,其意思是:现有一竖立着的木柱,在木柱上端系有绳索,绳索从木柱上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有3尺,牵着绳索退行,在离木柱根部8尺处时绳索用尽,请问绳索有多长?若设绳索长度为x尺,根据题意,可列方程为( )
A.82+x2=(x﹣3)2 B.82+(x+3)2=x2
C.82+(x﹣3)2=x2 D.x2+(x﹣3)2=82
【分析】设绳索长为x尺,根据勾股定理列出方程解答即可.
【解答】解:设绳索长为x尺,可列方程为(x﹣3)2+82=x2,
故选:C.
【点评】本题考查了勾股定理的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
10.(3分)某班级共有41人,在一次体质测试中,有1人未参加集体测试,老师对集体测试的成绩按40人进行了统计,得到测试成绩分数的平均数是88,中位数是85.缺席集体测试的同学后面进行了补测,成绩为88分,关于该班级41人的体质测试成绩,下列说法正确的是( )
A.平均数不变,中位数变大
B.平均数不变,中位数无法确定
C.平均数变大,中位数变大
D.平均数不变,中位数变小
【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数,将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数,依此计算即可求解.
【解答】解:∵缺席集体测试的同学的成绩和其他40人的平均数相同,都是88分,
∴该班41人的测试成绩的平均分为88分不变,中位数是从小到大第21个人的成绩,原来是第20个和第21个人成绩的平均数,中位数可能不变,可能变大,故
中位数无法确定.
故选:B.
【点评】本题考查中位数,总体,个体,样本,抽样调查等知识,解题的关键是熟练掌握基本概念,属于中考常考题型.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.(3分)设x1,x2是一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两根,则x1+x2+x1x2= 0 .
【分析】直接根据根与系数的关系求解.
【解答】解:∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1=0的两根,
∴x1+x2=1,x1×x2=﹣1,
∴x1+x2+x1x2=1﹣1=0.
故答案为:0.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程两个为x1,x2,则x1+x2=﹣,x1•x2=.
12.(3分)在某校举办的队列比赛中,A班的成绩如下:
项目
着装
队形
精神风貌
成绩/分
90
95
95
若按着装占10%、队形占60%、精神风貌占30%计算参赛班级的综合成绩,则A班的最后得分是 94.5 分.
【分析】将各项分数乘以权重即可得出答案.
【解答】解:根据题意得:
90×10%+95×60%+95×30%=94.5(分),
答:A班的最后得分是94.5分.
故答案为:94.5.
【点评】本题主要考查加权平均数,掌握加权平均数的计算公式是解题的关键.
13.(3分)如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E为BC的中点,若OE=3,则菱形的周长为 24 .
【分析】根据菱形的对角线互相平分可得BO=DO,然后求出OE是△BCD的中位线,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出CD,然后根据菱形的周长公式计算即可得解.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,BO=DO,
∵点E是BC的中点,
∴OE是△BCD的中位线,
∴CD=2OE=2×3=6,
∴菱形ABCD的周长=4×6=24;
故答案为:24.
【点评】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理;熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键.
14.(3分)已知一次函数y=kx+b的图象经过一,二,四象限,且当2≤x≤4时,4≤y≤6,则的值是 ﹣8 .
【分析】利用一次函数的性质得到k<0,则判断x=2时,y=6;x=4时,y=4,然后根据待定系数法求得k、b的值,即可求得的值.
【解答】解:∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限,
∴k<0,
∴函数y随x的增大而减小,
∵当2≤x≤4时,4≤y≤6,
∴当x=2时,y=6;
当x=4时,y=4,
∴,解得,
∴=﹣8,
故答案为﹣8.
【点评】本题考查了一次函数的性质,一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数的解析式,根据题意得出当x=2时,y=6;当x=4时,y=4是解题的关键.
15.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是 .
【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M,交AD于点P,过点P作PQ⊥AC于点Q,由AD是∠BAC的平分线.得出PQ=PM,这时PC+PQ有最小值,即CM的长度,运用勾股定理求出AB,再运用S△ABC=AB•CM=AC•BC,得出CM的值,即PC+PQ的最小值.
【解答】解:如图,过点C作CM⊥AB交AB于点M,交AD于点P,过点P作PQ⊥AC于点Q,
∵AD是∠BAC的平分线.
∴PQ=PM,这时PC+PQ有最小值,即CM的长度,
∵AC=6,BC=8,∠ACB=90°,
∴AB=,
∵S△ABC=AB•CM=AC•BC,
∴CM==.
故答案为:.
【点评】本题主要考查了轴对称问题,解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置.
16.(3分)如图,一次函数y=x+b的图象过点A(1,2),且与x轴相交于点B,若点P是x轴上的一点,且满足△APB是等腰三角形,则点P的坐标可以是 (3,0),(2﹣1,0),(﹣2﹣1,0),(1,0) .
【分析】先把点A(1,2)代入一次函数y=x+b求出b的值,故可得出B点坐标,再分AB=AP,AB=BP及AP=BP三种情况进行分类讨论.
【解答】解:∵一次函数y=x+b的图象过点A(1,2),
∴2=1+b,解得b=1,
∴一次函数的解析式为:y=x+1,
∴B(﹣1,0).
当AB=AP时,
∵B(﹣1,0),
∴P1(3,0);
当AB=BP时,
∵AB==2,
∴P2(2﹣1,0),P3(﹣2﹣1,0);
当AP=BP时,点P在线段AB的垂直平分线上,线段AB的中点坐标为(0,1),
设点P所在的直线解析式为y=﹣x+c,则c=1,
∴直线解析式为y=﹣x+1,
∴当y=0时,x=1,
∴P4(1,0).
综上所述,P点坐标为:(3,0),(2﹣1,0),(﹣2﹣1,0),(1,0).
故答案为:(3,0),(2﹣1,0),(﹣2﹣1,0),(1,0).
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,在解答此题时要注意进行分类讨论,不要漏解.
三、解答题(本大题共9小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(6分)解方程:(2x﹣1)2=3(2x﹣1).
【分析】移项后分解因式得出(2x﹣1)(2x﹣4)=0,推出方程2x﹣1=0,2x﹣4=0,求出方程的解即可.
【解答】解:移项得:(2x﹣1)2﹣3(2x﹣1)=0,
(2x﹣1)(2x﹣4)=0,
即2x﹣1=0,2x﹣4=0,
解得:x1=,x2=2.
【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程,关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程.
18.(6分)已知直角三角形的三边长是三个连续自然数,求三边长.
【分析】设最短的边长为x,则另外两边长分别为(x+1),(x+2),利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【解答】解:设最短的边长为x,则另外两边长分别为(x+1),(x+2),
依题意,得:x2+(x+1)2=(x+2)2,
整理,得:x2﹣2x﹣3=0,
解得:x1=﹣1(不合题意,舍去),x2=3,
∴x+1=4,x+2=5.
答:直角三角形的三边长分别为3,4,5.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
19.(6分)已知y是x的一次函数,表中给出了部分对应值.
x
﹣1
2
4
n
y
5
﹣1
m
﹣7
(1)求该一次函数的表达式;
(2)求m、n的值.
【分析】(1)由所给数据,利用待定系数法可求得一次函数解析式;
(2)利用(1)中所求的函数解析式进行求解即可.
【解答】解:
(1)设一次函数的解析式为y=kx+b,
由题意可得,解得,
∴一次函数解析式为y=﹣2x+3;
(2)当x=4时,代入可得m=﹣2×4+3=﹣5,
当y=﹣7时,代入可得﹣7=﹣2n+3,解得n=5,
∴m=﹣5,n=5.
【点评】本题主要考查一次函数解析式,掌握待定系数法的应用步骤是解题的关键.
20.(8分)为了加强对青少年防溺水安全教育,4月初某校开展了“远离溺水,珍爱生命”的防溺水安全知识比赛.下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩(单位:分):
87,99,86,89,91,91,95,96,87,97;
91,97,96,86,96,89,100,91,99,97;
整理数据:
成绩(分)
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数(人)
2
2
2
4
1
3
3
2
1
分析数据:
平均数
众数
中位数
93
a
b
解决问题:
(1)直接写出:上面表格中的a= 91 ,b= 93 ;
(2)若成绩达到95分及以上为“优秀”等级,求“优秀”等级所占的百分率为 50% ;
(3)请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数.
【分析】(1)根据众数的定义求出a,根据中位数的定义求出b;
(2)根据“优秀”等级人数求出“优秀”等级所占的百分率;
(3)根据“优秀”等级所占的百分率估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数.
【解答】解:(1)∵91分的人数最多,
∴众数为91,即a=91,
中位数;
(2)成绩达到95分及以上有10人,
则“优秀”等级所占的百分率为:;
(3)估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为:1500×50%=750(人).
【点评】本题考查的是众数、中位数以及用样本估计总体,掌握众数、中位数的定义是解题的关键.
21.(8分)据统计,目前某市5G基站的数量约1.5万座,计划到2023年底,全市5G基站数是目前的4倍,到2025年底,全市5G基站数最将达到17.34万座.
(1)计划到2023年底,全市5G基站的数量是多少万座?
(2)求2023年底到2025年底,全市5G基站数量的年平均增长率.
【分析】(1)根据“到2021年底,全省5G基站数是目前的4倍“,即可求得结果;
(2)设2021年底到2023年底,全省5G基站数量的年平均增长率为x,可得到2023年底基站数量为6(1+x)2万座,再根据2023年底基站数量将达到17.34万座,列方程得:6(1+x)2=17.34,根据不能为负数,即可求得结果.
【解答】解:(1)1.5×4=6(万座).
所以计划到2021年底,全省5G基站的数量是6万座;
(2)设2021年底到2023年底,全省5G基站数量的年平均增长率为x.
则到2022年底基站数量为6(1+x )万座;
到2023年底基站数量为6(1+x)(1+x)万座,即6(1+x)2万座,
根据2023年底基站数量将达到17.34万座,列方程,
得:6(1+x)2=17.34,
(1+x)2=2.89,
1+x=±1.7.
∴1+x=1.7或1+x=﹣1.7,
解得:x=0.7,x=﹣2.7,
由题意可知,不能为负数,故取 x=0.7=70%.
所以2021年底到2023年底,全省5G基站数量的年平均增长率为70%.
【点评】本题考查一元二次方程的应用,正确根据题意列出方程是解题关键.
22.(9分)如图,直线y=kx+b经过点A(5,0),B(1,4).
(1)求直线AB的解析式;
(2)若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C,求点C的坐标.
【分析】(1)直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案;
(2)将两函数联立求出交点即可.
【解答】解:(1)∵直线y=kx+b经过点A(5,0)、B(1,4),
∴,
解方程得:,
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5;
(2)∵直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C,
∴解方程组:,
解得:,
∴点C的坐标为(3,2).
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及两函数交点求法,正确得出解析式是解题关键.
23.(9分)如图,△ABC中,点D是AB上一点,点E是AC的中点,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F.
(1)求证:AD=CF;
(2)连接AF,CD.如果点D是AB的中点,那么当AC与BC满足什么条件时,四边形ADCF是菱形,证明你的结论.
【分析】(1)由CF∥AB,得∠ADF=∠CFD,∠DAC=∠FCA,又AE=CE,可证△ADE≌△CFE(AAS),即得AD=CF;
(2)由AD=CF,AD∥CF,知四边形ADCF是平行四边形,若AC⊥BC,点D是AB的中点,可得CD=AB=AD,即得四边形ADCF是菱形.
【解答】(1)证明:∵CF∥AB,
∴∠ADF=∠CFD,∠DAC=∠FCA,
∵点E是AC的中点,
∴AE=CE,
∴△ADE≌△CFE(AAS),
∴AD=CF;
(2)解:当AC⊥BC时,四边形ADCF是菱形,证明如下:
由(1)知,AD=CF,
∵AD∥CF,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∵AC⊥BC,
∴△ABC是直角三角形,
∵点D是AB的中点,
∴CD=AB=AD,
∴四边形ADCF是菱形.
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定,解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理.
24.(10分)请阅读下列材料:
问题:已知方程x2+x﹣1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则y=2x,所以.把代入已知方程,得;
化简,得y2+2y﹣4=0;故所求方程为y2+2y﹣4=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式);
(1)已知方程x2+3x﹣2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别为已知方程根的相反数;
(2)已知关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.
【分析】(1)设所求方程的根为y,则x=﹣y,然后把x=﹣y代入方程x2+3x﹣2=0得到新方程;
(2)设所求方程的根为y,则y=,然后把x=代入方程ax2﹣bx+c=0得到关于y的一元二次方程即可.
【解答】解:(1)设所求方程的根为y,则x=﹣y,
把x=﹣y代入方程x2+3x﹣2=0得y2﹣3y﹣2=0,
即所求方程为y2﹣3y﹣2=0;
(2)设所求方程的根为y,则y=,
把x=代入方程ax2﹣bx+c=0得a•﹣b•+c=0,
整理得cy2﹣by+a=0,
即所求方程为cy2﹣by+a=0,
【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2﹣4ac有如下关系:当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根.也考查了阅读理解能力.
25.(10分)已知:四边形ABCD是正方形,AB=20,点E,F,G,H分别在边AB,BC,AD,DC上.
(1)如图1,若∠EDF=45°,AE=CF,求∠DFC的度数;
(2)如图2,若∠EDF=45°,点E,F分别是AB,BC上的动点,求证:△EBF的周长是定值;
(3)如图3,若GD=BF=5,GF和EH交于点O,且∠EOF=45°,求EH的长度.
【分析】(1)证明△ADE≌△CDF,得∠ADE=∠CDF=×45°=22.5°,在Rt△DCF中可求出∠DFC的度数;
(2)将△DAE绕点D逆时针旋转90°,通过证明三角形全等,证明EF=AE+CF,即可证明△EBF的周长是定值;
(3)过点D作DL∥EH,交AB于点L,作DM∥FG,交BC于点M,连接LM,运用(2)中的结论和勾股定理求出BL的长,再用勾股定理求出DL的长即可.
【解答】解:(1)如图1,∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠A=∠C=∠ADC=90°,
∵AE=CF,
∴△ADE≌△CDF(SAS),
∴∠ADE=∠CDF,
∵∠EDF=45°,
∴∠ADE+∠CDF=90﹣45°=45°,
∴∠CDF+∠CDF=45°,
∴∠CDF=22.5°,
∴∠DFC=90°﹣22.5°=67.5°.
(2)如图2,延长BC到点K,使CK=AE,连接DK,
∵∠DCK=180°﹣90°=90°,
∴∠DCK=∠A,
∴△DCK≌△DAE(SAS),
∴DK=DE,∠CDK=∠ADE,
∴∠KDF=∠CDK+∠CDF=∠ADE+∠CDF=45°,
∴∠KDF=∠EDF,
∵DF=DF,
∴△KDF≌△EDF(SAS),
∴KF=EF,
∵KF=CK+CF=AE+CF,
∴EF=AE+CF,
∴BE+EF+BF=BE+AE+CF+BF=AB+BC,
∵AB=BC=20,
∴BE+EF+BF=40,
∴△EBF的周长是定值.
(3)如图3,作DL∥EH,交AB于点L,交FG于点P,作DM∥FG,交BC于点M,交EH于点Q,连接LM,
∵DH∥LE,DG∥FM,
∴四边形DLEH、四边形DGFM、四边形OPDQ都是平行四边形,
∴GD=BF=FM=5,EH=DL,∠LDM=∠POQ=∠EOF=45°,
∴BM=5+5=10;
由(2)得,BL+LM+BM=40,
∴BL+LM=30,
∴LM=30﹣BL,
∵∠B=90°,
∴BL2+BM2=LM2,
∴BL2+102=(30﹣BL)2,
解得BL=,
∴AL=20﹣=,
∵AD=AB=20,
∴DL==,
∴EH=.
【点评】此时重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识与方法,解题的关键是正确地作出所需要的辅助线构造全等三角形,此题难度较大,属于考试压轴题.
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