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初中数学苏科版八年级上册第一章 全等三角形1.3 探索三角形全等的条件公开课ppt课件
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这是一份初中数学苏科版八年级上册第一章 全等三角形1.3 探索三角形全等的条件公开课ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了3练习，数学活动等内容，欢迎下载使用。
1 . 3探索三角形全等的条件
1、 什么叫全等三角形？2、 全等三角形有什么性质？
对应边相等，对应角相等.
能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形.
我们知道，如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等、对应角相等，反过来，当两个三角形具备多少对边或角分别相等的条件时这两个三角形就全等呢?
第1课时 利用两边夹角判定三角形全等
1.当两个三角形的1对边或角相等时，它们全等吗?2.当两个三角形的2对边或角分别相等时，它们全等吗?
当两个三角形的1对边或角相等时，它们不一定全等.
当两个三角形的2对边或角分别相等时，它们不一定全等.
3. 当两个三角形的3对边或角分别相等时，它们全等吗?
当两个三角形的 3 对边分别相等时，它们一定全等； 当两个三角形的3 对角分别相等时，它们不一定全等.
1. 如图，每人用一张长方形纸剪一个直角三角形，怎样剪才能使剪下的所有直角三角形都能够重合?
剪下的所有直角三角形的两条直角边分别相等或斜边和一条直角边分别相等，则它们都能够重合。
2. 在图中，△ABC与△DEF、△MNP 能完全重合吗?
△ABC与△DEF 不能完全重合，△ABC 与△MNP 能完全重合.
按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使 ∠A＝∠a，AB ＝a，AC＝b.
你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗?
实践告诉我们判定两个三角形全等的一个基本事实：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
如图，在△ABC和△A′B′C′中，
相等的元素：两边及其夹角.2. 书写顺序：边→角→边.3. 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不 一定全等.
例1 已知：如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC. 求证：△ABC≌△ADC.
其中一个三角形沿AC所在直线翻折后，能与另一个三角形重合.
已知：如图，C 是AB 的中点，AD＝CE， 且AD∥CE. 求证：△ACD ≌△CBE.
解题秘方：先根据条件找出两个三角形中的两条边及 其夹角对应相等，再根据“SAS”判定两 个三角形全等.
常见的隐含等角的情况： ① 公共角相等； ②对顶角相等； ③ 等角加(或减)等角，其和(或差)仍相等； ④同角或等角的余( 或补) 角相等； ⑤ 由角平分线的定义得出角相等； ⑥由垂直的定义得出角相等； ⑦ 由平行线得到同位角或内错角相等.
1. 找出图中的全等三角形，并说明理由：
解：①与④全等，③与⑤全等理由如下根据判定三角形全等的基本事实“SAS”判定它们全等.
2. 已知：如图，AB＝AC，点 D、E分别在AB、AC 上， 且 AD＝AE. 求证：△ABE≌△ACD.
图形的运动与“SAS”
本节中，我们知道了判定两个三角形全等的一个基本事实——两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(SAS). 其实，我们可以用图形运动的方法来确认它的正确性.
如图(1)，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′.
把△ABC叠合到△A′B′C′上，使 BC与B′C′重合，∠B、∠B′落在 BC的同一侧.
因为 ∠B＝∠B，所以BA 落在射线B′A′上。又因为 BA＝B′A′，所以点A 与点A′重合.根据“两点确定一条直线”，可以知道AC与A′C′重合。于是△ABC与△A′B′C′ 重合(如图(2))，即 △ABC≌△A′B′C′. 试仿照上面的方法，证实本节例 1中的结论.
例2 已知：如图1－8，AB、CD 相交于点E，且E是AB、 CD 的中点. 求证：△AEC≌△BED.
证明：∵E是AB、CD的中点(已知)， ∴ AE＝BE，CE＝DE (线段中点的定义).
其中一个三角形绕点E旋转180°后，能与另一个三角形重合.
你能证明图中AC∥DB 吗?
能. 证明如下：∵△AEC≌△BED(已证)，∴∠A＝∠B(全等三角形的对应角相等)，∴AC∥DB (内错角相等,两直线平行)(注：证明△AEC≌△BED 的过程同例 2)
例3 已知：如图，点E、F在CD上，且CE＝DF，AE＝BF， AE∥BF. 求证：△AEC ≌△BFD.
证明：∵AE // BF (已知)， ∴∠AEC＝∠BFD (两直线平行，内错角相等).
能否改变图1-9中△AEC的位置得到图1-8？
根据 例3 中的已知条件，你还能证得其他新的结论吗?
根据例3中的已知条件，还能证得结论： ①∠A＝∠B；②∠C＝∠D； ③ CF＝DE； ④AC＝BD；⑤AC∥BD等.
如证明 AC∥BD 过程如下：∵△AEC≌△BFD (已证)，∴ ∠C＝∠D (全等三角形的对应角相等).∴AC∥BD (内错角相等，两直线平行)(注：证明△AEC≌△BFD 的过程同例 3)
填空 (第 1、2 题)：1. 已知：如图，C是AB 的中点，AE＝BD，∠A＝∠B. 求证：∠E＝∠D. 证明：∵C是AB 的中点(已知)， ∴_______＝_______ ( )
全等三角形的对应角相等
2. 已知：如图，点D在AE上，BD＝CD，∠BDE＝∠CDE. 求证：AB＝AC. 证明：∵∠BDE ＋∠________＝ 180°. ∠CDE＋∠_________＝ 180° (平角的定义)， ∠BDE＝∠CDE(已知)， ∴∠______＝∠_______( ).
全等三角形的对应边相等
3. 已知：如图，AB // CD，AB＝CD. 求证：AD // BC.
∴△ABD ≌ △CDB(SAS)，∴∠ADB＝∠CBD (全等三角形的对应角相等).∴ AD∥BC (内错角相等，两直线平行).
利用两边夹角判定三角形全等
(1) 本节课学习了哪些主要内容？(2) 我们是怎么探究出“SAS”判定方法的？用“SAS” 判定三角形全等应注意什么问题？(3) 到现在为止，你学到了几种证明两个三角形全等的 方法？
第2课时 利用两角一边判定三角形全等
1. 用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗?如果能，你画的三角形与其他同学画的三角形能完全重合吗?
第一个不能，因为第一个图中的三角形只确定了一个角，其他边与角大小不确定； 第二个能，因为第二个三角形确定了两角及其夹边的大小，所以这个三角形的形状与大小就确定了，即只需往下延长左右两边的线段就得到第三个顶点. 画的二角形能完全重合.
2. 在图1－10 中，△ABC与△PQR、△DEF 能完全重合吗?
△ABC与△PQR不能完全重合，△ABC与△DEF 能完全重合.
按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使 AB＝a，∠A＝ ∠α，∠B＝∠β.
你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗?
实践告诉我们判定两个三角形全等的又一个基本事实：
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 (可以简写成“角边角”或“ASA”).
例4 已知：如图1－11，在△ABC中，D是BC 的中点，点 EF分别在AB、AC上，且 DE∥AC，DF∥AB. 求证：BE＝DF，DE＝CF.
分析：要证 BE＝DF，DE ＝CF，只要证△EBD≌△FDC.由于在△EBD和△FDC中，已知 BD＝DC，所以只要证∠B＝∠FDC，∠EDB＝∠C.
证明：∵DE//AC，DF// AB(已知)， ∴∠EDB＝∠C，∠B＝∠FDC (两直线平行，同位角相等). ∵D 是 BC 的中点(已知)， ∴BD＝DC(线段中点的定义). 在△EBD 和△FDC 中，
已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE.
分析：证明△ACD≌△ABE中，就可以得出 AD＝AE.
1. 找出图中的全等三角形，并说明理由.
2. 已知：如图，AB、CD相交于点 O，O是AB的中点， AC//BD. 求证：O是CD的中点.
证明：∵O是AB的中点(已知)， ∴OA＝OB(线段中点的定义). ∵AC∥BD (已知)， ∴∠A＝∠B (两直线平行，内错角相等).
如图1－12，在△ABC 和△MNP 中，∠A＝∠M，∠B ＝∠N，BC＝NP. △ABC与△MNP 全等吗?为什么?
由三角形内角和定理可知∠C＝∠P.
根据“ASA”可以证明△ABC ≌△MNP.
由此可以得到基本事实 (ASA) 的推论：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
例5 已知：如图1－13，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高. 求证：AD＝A′D′.
分析：要证 AD＝A′D′，只要证 △ABD⊥△A′B′D′. 由于在△ABD和△A′B′D′中，∠ADB －∠A′D′B′＝90°，所以只要证 AB＝A′B′，∠B＝∠B′.
证明：∵△ABC≌△A′B′C′(已知)， ∴ AB＝A′B′，∠B＝∠B′ (全等三角形的对应边相等、 对应角相等). ∵ AD、A′D′分别是△ABC和 △A′B′C′的高(已知)， ∴ ∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.
在△ABD 和△A′B′D′中， ∠B＝∠B′(已证)， ∠ADB ＝ ∠A′D′B′(已证)， AB＝A′B′(已证)，∴△ABD ≌ △A′B′D′(AAS).∴AD＝AD (全等三角形的对应边相等).
如图，AD是△ABC的中线，过C，B分别作AD及AD的延长线的垂线CF，BE. 求证：BE＝CF.
导引：要证明BE＝CF，可根据中线及垂线的定义和对顶角的性质来证明△BDE和△CDF全等．
证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD. ∵CF⊥AD，BE⊥AE， ∴∠CFD＝∠BED＝90°. 在△BDE和△CDF中，
在图1－13中，如果 AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线(或中线)，那么AD与A′D′相等吗?试证明你的结论.
1. 已知： 如图，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC. 求证：AB＝DC.
2. 已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别为 B、E， AE、BC 相交于点F，且AB＝BC. 求证：△ABF≌△CBD.
证明：∵CB⊥AD，AE⊥DC(已知)， ∴∠ABF＝∠CBD ＝∠AED＝90° (垂直的定义).
1. 如图1－14，∠A＝∠B，∠1＝∠2，EA＝EB. 你能证 明 AC＝BD 吗?
2. 如图1－15，点C、F在AD上，且AF＝DC，∠B＝∠E， ∠A＝∠D. 你能证明AB＝DE 吗?
例6 已知：如图1－16，点A、B、C、D 在一条直线上，EA ∥FB，EC∥FD，EA＝FB. 求证：AB＝CD.
分析：要证 AB＝CD，只要证 AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD，所以只要证 △EAC≌△FBD.
∴△EAC≌△FBD(AAS).∴ AC＝BD (全等三角形的对应边相等)， 即 AB＋BC ＝CD＋BC.∴ AB＝CD (等式的性质).
上面的推理过程可以用符号“=>”简明地表述如下：
1. 已知：如图，AB＝AC，点 D、E分别在AB、AC 上， ∠1 ＝∠2 . 求证：DB＝EC.
2. 已知： 如图，∠ABC ＝∠DCB，∠1＝∠2. 求证：AB＝DC.
(1) 本节课学习了几种判断两个三角形全等的方法？ 分别是什么？它们之间有什么共同点和区别？(2) 本节课学习的两种方法能否用“两角一边相等， 则三角形全等” 来代替？
第3课时 利用三边判定三角形全等
按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使 AB＝c，AC＝b，BC＝a.
实践告诉我们判定两个三角形全等的第三个基本事实：
三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).
生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定.
如图1－17，用 3 根木条钉成的三角形框架，它的形状和大小唯一确定. 这个事实也说明了“三边分别相等的两个三角形全等”.
三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用.
四边形是否具有稳定性?
用4根木条钉成的四边形框架的形状是可以改变的.
四边形不具有稳定性，也就是说，当一个四边形四边的长度确定时，这个四边形的形状、大小不唯一确定.
例7 已知：如图1－18，在△ABC 中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C.
分析：要∠B＝∠C，只要设法使∠B、∠C分别在两个三角形中，然后证明这两个三角形全等.
还有不同的方法证明∠B＝∠C 吗?
有. 证明：如图，作∠A的平分线AE交BC于点E，则∠BAE＝∠CAE.
已知：如图， 点F，点C 在AD上，AF＝CD，AB＝DE， BC＝EF．求证：AB∥DE．
证明：∵ AF＝CD(已知)，∴ AF＋FC＝CD＋FC(等式的性质)， 即AC＝DF．
1. 三对内角分别相等的两个三角形全等吗?
解：三对内角分别相等的两个三角形不一定全等，因为它们的边长不一定对应相等，则可能无法完全重合.
2. 已知：如图，AB＝DC，AD＝BC. 求证：AB∥DC，AD∥BC.
证明：如图，连接 BD.
∴△ABD ≌ △CDB(SSS).∴∠1＝∠2，∠4＝∠3 (全等三角形的对应角相等).∴AB∥DC，AD∥BC (内错角相等,两直线平行).
3. 如图，△DEF 的3个顶点分别在小正方形的顶点 (格点)上这样的三角形叫做格点三角形。请在图中再画1 个格点三角形ABC，使△ABC≌△DEF. 这样的格点三角形你能画几个?
解：画△ABC 如图所示，这样的格点三角形能画三个.
利用三边判定三角形全等
三边对应相等的两个三角形全等(边边边或SSS)；证明全等三角形书写格式： ①准备条件； ②三角形全等书写的三步骤.3、证明是由题设(已知)出发，经过一步步的推理， 最后推出结论正确的过程.
第4课时 利用斜边和直角边判定直角三角形全等
工人师傅常常利用角尺平分一个角， 如图 1－19，在∠AOB 的两边OA、OB上分别任取 OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM 就是∠AOB 的平分线，请你说明这样画角平分线的道理.
由OC＝OD， MC＝MD，OM＝OM，可知△OCM≌△ODM，于是∠COM＝∠DOM，即OM平分∠AOB.
从木工师傅的画法中，你能找到用直尺和圆规作角平分线的方法吗?
按下列作法，用直尺和圆规作∠AOB 的平分线
如图1－20，PC＝PD，QC＝QD，PQ、CD 相交于点 E. (1) 根据以上条件，你能发现哪些结论?
(1) △PCQ≌△PDQ(SSS)， △PCE≌△PDE(SAS)， △CQE≌△DQE (SAS)， ∠PEC＝ ∠PED＝90°， ∠PCD＝∠PDC， PQ平分∠CPD 等.
(2) 你能证明 PQ⊥CD 吗?由此，你能找到用直尺和圆规过已知直线外一点作这条直线的垂线的方法吗?
按下列作法，用直尺和圆规经过直线 AB 外一点 P 作 AB 的垂线.
如果点 P在直线AB 上，如何用直尺和圆规经过点 P作AB 的垂线?
作法： (1)以点 P 为圆心,适当的长为半径作弧，使它与AB 交于点C，D.
1. (1)用直尺和圆规把图①中的∠MON 四等分；
解：作法：如图所示， ①作∠MON 的平分线OA. ②作∠MOA 的平分线OB. ③作∠NOA 的平分线OC.则 OA，OB，OC 四等分∠MON.
(2) 用直尺和圆规在图②中过点 B作 BC 的垂线，并指出所作图中∠ABC的余角.
① 如图所示，反向延长射线 BC，以点 B 为圆心，以适当长为半径作弧交直线 BC 于点 D，E.
2. 用直尺和圆规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于 a、b.
解：作法：如图所示， (1) 作线段 AB＝b. (2) 延长线段 BA，过点A作AD⊥AB. (3) 在射线AD上截取AC＝a，连接 BC. Rt△ABC 即为所求作的三角形.
两个直角三角形，有一对内角(直角)相等，判定两个直角三角形全等，还需要几个条件?可以是哪些条件?
直角三角形是特殊的三角形，可以用符号“Rt△”表示. 判定两个直角三角形全等，有没有特殊的方法?
这两个直角三角形全等吗?
按下列作法，用直尺和圆规作 Rt△ABC，使 ∠C＝90°，CB＝a，AB＝c.
你作的直角三角形与其他同学作的直角三角形能完全重合吗?
如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′，怎样证明 △ABC≌△A′B′C′?
把两个直角三角形拼在一起 像本节例7那样，可以证得 ∠B＝∠B′.
在△ABC和△A′B′C′中，由∠B＝∠B′，∠ACB＝∠A′C′B′，AB＝A′B′，可以证明△ABC≌△A′B′C′ (AAS).
于是，我们得到如下定理：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中， AB＝A′B′， BC＝B′C′， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′(HL).
例8 已知：如图1－22，AD、BC 相交于点O，AD＝BC. ∠C＝∠D ＝ 90°. 求证：AO＝BO，CO＝DO.
分析：要证 AO＝BO、CO＝DO，只要证△AOC≌△BOD. 由于∠C＝∠D＝90°，∠AOC＝∠BOD，于是只要证 AC＝BD，所以就要证 △ABC ≌△BAD.
已知：如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是点C、D，AD＝BC，CE⊥ AB，DF⊥ AB，垂足分别是点E、F. 求证：CE＝DF.
1. 如图，方格纸中有点 A、B、C、D、E、F，以其中的3个点为顶点，画出所有的直角三角形，并找出其中全等的直角三角形.
解：画直角三角形如图所示，全等的直角三角形有：△ABC≌△BDE≌△BFE≌△BFC≌△CEB≌△CEF；△ABF≌△DBF；△DCF≌△AEF.
2. 如图，AC⊥CB，AD⊥DB，要证明△ABC≌△ABD，还需要什么条件?
解：∠CAB＝∠DAB 或∠ABC＝∠ABD 或 BC＝BD或AC＝AD. (答案不唯一)
3. 已知：如图，AD＝BC，CA⊥AB，AC⊥CD. 求证：AD∥BC.
证明：∵CA⊥AB，AC⊥CD (已知)， ∴∠BAC＝∠DCA ＝ 90° (垂直的定义).
利用斜边和直角边判定直角三角形全等
判定直角三角形全等的“四种思路”：(1) 若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等， 用“HL”判定．(2) 若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定．
(3) 若有一组锐角和一组直角边分别相等， ①直角边是锐角的对边，用“AAS”判定； ②直角边是锐角的邻边，用“ASA”判定．(4) 若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定．
1. 指出图中的全等三角形，并说明理由.
解：①与⑥，△MPN≌△KGH (SAS) ； ②与⑤，△YXZ≌△DEF (SAS)； ③与④，△ABC≌△SRT (SAS).
2. 已知：如图，AC＝BD，∠1＝∠2. 求证：△ADB≌△BCA.
3. 如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽.卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道工件内槽 AB的长度，你能说明这样测量的理由吗?
根据全等三角形对应变相等得到 AB＝A′B′.
4. 已知：如图，B、D分别是AC、AE的中点，且AB＝AD. 求证：△ADC≌△ABE.
证明：∵B是AC的中点，D是AE的中点，∴AB＝BC，AD＝DE.∵AB＝AD，AB＝BC，AD＝DE， ∴AC＝AE.
在△ADC和△ABE中.∵ AB＝AD， ∠CAD＝∠EAB， AC＝AE，∴△ADC≌△ABE.
5. 已知：如图，C是AE 的中点，AB // CD，且AB＝CD. 求证：BC // DE.
证明： ∵C是AE的中点， ∴AC＝CE， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DCE，
6. 如图，点D、E分别在AB、AC上，BE、CD相交于点F. (1) 如果AB＝AC，∠B＝∠C，试找出一对全等三角形，并证明；
理由如下：在△BEA和△CDA中， ∵AB＝AC，∠B＝∠C，∠A＝∠A， ∴△BEA≌△CDA (ASA)
(2) 如果 BD＝CE，∠B＝∠C，试找出一对全等三角形， 并证明.
理由如下： 在△BDF和△CEF中， ∵BD＝CE，∠B＝∠C， ∠BFD＝∠CFE， ∴ △BDF≌△CEF (AAS).
7. 如图，要测量河两岸相对的A、B两点之间的距离，可以在与 AB垂直的河岸BF上取C、D两点，且使 BC＝DC. 从点D出发沿与河岸BF 垂直的方向移动到点E，使点 A、C、E在一条直线上.测量 DE 的长就能知道A、B 两点之间的距离.为什么?
8. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高. 求证：BD＝CE.
证明： ∵AB＝AC ∴∠ABC ＝∠ACB ∵BD、CE是高， ∴∠BDC ＝∠BEC ＝90°
9. 已知：如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O， AB＝DC，∠1＝∠2. 求证：AC＝DB.
10. 已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C， AE // BF， 且AE＝BF. 求：AC＝BD.
11. 如图，在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，AB//DC，AD//BC.请在图中找出全等三角形，并证明.
图中共有4对全等三角形，它们分别是△AOB≌△COD，△BOC≌△DOA，△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB.
理由如下：∵AB//DC，AD∥BC.∴AB＝DC，AD＝BC.∵AB//DC，∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO.∵∠BAO＝∠DCO，AB＝DC，∠ABO＝∠CDO∴△AOB≌△COD (ASA)
∵ AD∥BC ，∴ ∠OBC＝∠ODA， ∠OAD＝∠OCB.∵ ∠OBC＝∠ODA， AD＝BC， ∠OAD＝∠OCB， ∴△BOC ＝ △DOA (ASA)
∵ ∠ABO＝∠CDO，∠OBC＝∠ODA， AD＝BC. ∴ △ABD ≌ △CDB(AAS) ∵ ∠BAO＝∠DCO， ∠OAD＝∠OCB， AB＝DC ∴△AABC ＝ △CDA (ASA)
12. 如图，点 C、D 在 BE 上，BC＝ED，∠1＝∠2，∠3＝∠4. 图中有哪些全等三角形? 请分别加以证明.
解：∵∠3＝∠4， ∠3＝∠1＋∠B， ∠4＝∠2＋∠E. ∴ ∠B＝∠E.
∵ BC＝ED∴ △ABC≌△AED∴ AC＝AD，AB＝AE.∵ BC＋CD＝ED＋CD∴ BD＝EC∴ △ABD≌△AEC.
13.已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，AC＝DB， AE＝DF， BE＝CF. 求证：AE//DF，BE//CF.
证明： ∵ AC＝DB， ∴ AB＋BC＝DC＋CB，即AB＝DC. 在△AEB和△DFC中， ∴AB＝DC，AE＝DF，BE＝CF，
14. 已知：如图，AD、BF相交于点 O，AB＝DF. 点E、 C在BF上，且 BE＝FC，AC＝DE. 求证：AO＝DO，BO＝FO.
证明： ∵BE＝FC ∴ BE＋CE＝FC＋CE， 即BC＝EF。
15. 如图，已知△ABC，用直尺和圆规作 △ABC 的角平分线 CD、高AE.
如图，CD即为要作的角平分线，AE即为要作高线.
16. 如图，已知△ABC. (1) 用直尺和圆规按下列要求作图 ： 作△ABC的角平分线AD； 作∠CBE＝∠ADC，BE交 CA的延长线于点E； 作AF⊥BE，垂足为 F.
(2) 图中EF、BF相等吗?证明你的结论.
理由：∵ ∠ADC＝∠CBE.∴AD//EB∵ ∠ABE＝∠BAD， ∠E＝ ∠CAD∵AD平分∠BAC.
∴∠BAD＝∠CAD∴∠ABE＝∠E∴AB＝AE∴△ABE是等腰三角形∵AF⊥BE，∴AF是底边的中线，∴EF＝BF
17. 用三角尺可以按下面的方法画∠AOB 的平分线：在 OA、OB上分别取点E、F，使OE＝OF；再分别过点E、 F画OA、OB 的垂线，这两条垂线相交于点 C； 画射线 OC(如图). 试说明射线OC平分∠AOB 的道理.
18. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高， DE⊥ AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F. 求证：DE＝DF.
本章中，我们学习了判定两个三角形全等的 3 个基本事实(SAS、ASA、SSS)、1 个推论(AAS)，以及直角三角形全等的判定定理(HL). 这5种判定方法中，两个三角形都具备 3 对元素(边或角)分别相等的条件.
问题1 在两个三角形中，如果有 3 对元素分别相等，那么它们是否全等?
为了探究这个问题，我们不妨先把两个三角形中有3对元素分别相等的可能情况分类，然后分别研究.
两个三角形有3 对元素分别相等
三角分别相等；一边和两角分别相等；两边和一角分别相等；三边分别相等.
根据三角形内角和定理，“三角分别相等”实质上是“两角分别相等”，不能由此条件判定两个三角形全等. 三边分别相等的两个三角形全等. 一边和两角分别相等的两个三角形是否一定全等呢?
如图1－23，在△ABC的边 BC 上截取BC′＝AC，过点C′画CA 的亚行线交 AB 于点A′.在△A′BC′和△ABC中，∠B＝∠B，∠BA′C′＝∠A，BC′＝AC，显然这两个三角形不全等。 对此，你能否做出合理的解释?
现在，请你探究：两边和一角分别相等的两个三角形是否一定全等. 问题 2 在两个三角形中，如果有 4 对(或5 对)元素分别相等，那么这两个三角形一定全等吗?
1 . 3探索三角形全等的条件
1、 什么叫全等三角形？2、 全等三角形有什么性质？
对应边相等，对应角相等.
能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形.
我们知道，如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等、对应角相等，反过来，当两个三角形具备多少对边或角分别相等的条件时这两个三角形就全等呢?
第1课时 利用两边夹角判定三角形全等
1.当两个三角形的1对边或角相等时，它们全等吗?2.当两个三角形的2对边或角分别相等时，它们全等吗?
当两个三角形的1对边或角相等时，它们不一定全等.
当两个三角形的2对边或角分别相等时，它们不一定全等.
3. 当两个三角形的3对边或角分别相等时，它们全等吗?
当两个三角形的 3 对边分别相等时，它们一定全等； 当两个三角形的3 对角分别相等时，它们不一定全等.
1. 如图，每人用一张长方形纸剪一个直角三角形，怎样剪才能使剪下的所有直角三角形都能够重合?
剪下的所有直角三角形的两条直角边分别相等或斜边和一条直角边分别相等，则它们都能够重合。
2. 在图中，△ABC与△DEF、△MNP 能完全重合吗?
△ABC与△DEF 不能完全重合，△ABC 与△MNP 能完全重合.
按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使 ∠A＝∠a，AB ＝a，AC＝b.
你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗?
实践告诉我们判定两个三角形全等的一个基本事实：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
如图，在△ABC和△A′B′C′中，
相等的元素：两边及其夹角.2. 书写顺序：边→角→边.3. 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不 一定全等.
例1 已知：如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC. 求证：△ABC≌△ADC.
其中一个三角形沿AC所在直线翻折后，能与另一个三角形重合.
已知：如图，C 是AB 的中点，AD＝CE， 且AD∥CE. 求证：△ACD ≌△CBE.
解题秘方：先根据条件找出两个三角形中的两条边及 其夹角对应相等，再根据“SAS”判定两 个三角形全等.
常见的隐含等角的情况： ① 公共角相等； ②对顶角相等； ③ 等角加(或减)等角，其和(或差)仍相等； ④同角或等角的余( 或补) 角相等； ⑤ 由角平分线的定义得出角相等； ⑥由垂直的定义得出角相等； ⑦ 由平行线得到同位角或内错角相等.
1. 找出图中的全等三角形，并说明理由：
解：①与④全等，③与⑤全等理由如下根据判定三角形全等的基本事实“SAS”判定它们全等.
2. 已知：如图，AB＝AC，点 D、E分别在AB、AC 上， 且 AD＝AE. 求证：△ABE≌△ACD.
图形的运动与“SAS”
本节中，我们知道了判定两个三角形全等的一个基本事实——两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(SAS). 其实，我们可以用图形运动的方法来确认它的正确性.
如图(1)，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′.
把△ABC叠合到△A′B′C′上，使 BC与B′C′重合，∠B、∠B′落在 BC的同一侧.
因为 ∠B＝∠B，所以BA 落在射线B′A′上。又因为 BA＝B′A′，所以点A 与点A′重合.根据“两点确定一条直线”，可以知道AC与A′C′重合。于是△ABC与△A′B′C′ 重合(如图(2))，即 △ABC≌△A′B′C′. 试仿照上面的方法，证实本节例 1中的结论.
例2 已知：如图1－8，AB、CD 相交于点E，且E是AB、 CD 的中点. 求证：△AEC≌△BED.
证明：∵E是AB、CD的中点(已知)， ∴ AE＝BE，CE＝DE (线段中点的定义).
其中一个三角形绕点E旋转180°后，能与另一个三角形重合.
你能证明图中AC∥DB 吗?
能. 证明如下：∵△AEC≌△BED(已证)，∴∠A＝∠B(全等三角形的对应角相等)，∴AC∥DB (内错角相等,两直线平行)(注：证明△AEC≌△BED 的过程同例 2)
例3 已知：如图，点E、F在CD上，且CE＝DF，AE＝BF， AE∥BF. 求证：△AEC ≌△BFD.
证明：∵AE // BF (已知)， ∴∠AEC＝∠BFD (两直线平行，内错角相等).
能否改变图1-9中△AEC的位置得到图1-8？
根据 例3 中的已知条件，你还能证得其他新的结论吗?
根据例3中的已知条件，还能证得结论： ①∠A＝∠B；②∠C＝∠D； ③ CF＝DE； ④AC＝BD；⑤AC∥BD等.
如证明 AC∥BD 过程如下：∵△AEC≌△BFD (已证)，∴ ∠C＝∠D (全等三角形的对应角相等).∴AC∥BD (内错角相等，两直线平行)(注：证明△AEC≌△BFD 的过程同例 3)
填空 (第 1、2 题)：1. 已知：如图，C是AB 的中点，AE＝BD，∠A＝∠B. 求证：∠E＝∠D. 证明：∵C是AB 的中点(已知)， ∴_______＝_______ ( )
全等三角形的对应角相等
2. 已知：如图，点D在AE上，BD＝CD，∠BDE＝∠CDE. 求证：AB＝AC. 证明：∵∠BDE ＋∠________＝ 180°. ∠CDE＋∠_________＝ 180° (平角的定义)， ∠BDE＝∠CDE(已知)， ∴∠______＝∠_______( ).
全等三角形的对应边相等
3. 已知：如图，AB // CD，AB＝CD. 求证：AD // BC.
∴△ABD ≌ △CDB(SAS)，∴∠ADB＝∠CBD (全等三角形的对应角相等).∴ AD∥BC (内错角相等，两直线平行).
利用两边夹角判定三角形全等
(1) 本节课学习了哪些主要内容？(2) 我们是怎么探究出“SAS”判定方法的？用“SAS” 判定三角形全等应注意什么问题？(3) 到现在为止，你学到了几种证明两个三角形全等的 方法？
第2课时 利用两角一边判定三角形全等
1. 用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗?如果能，你画的三角形与其他同学画的三角形能完全重合吗?
第一个不能，因为第一个图中的三角形只确定了一个角，其他边与角大小不确定； 第二个能，因为第二个三角形确定了两角及其夹边的大小，所以这个三角形的形状与大小就确定了，即只需往下延长左右两边的线段就得到第三个顶点. 画的二角形能完全重合.
2. 在图1－10 中，△ABC与△PQR、△DEF 能完全重合吗?
△ABC与△PQR不能完全重合，△ABC与△DEF 能完全重合.
按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使 AB＝a，∠A＝ ∠α，∠B＝∠β.
你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗?
实践告诉我们判定两个三角形全等的又一个基本事实：
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 (可以简写成“角边角”或“ASA”).
例4 已知：如图1－11，在△ABC中，D是BC 的中点，点 EF分别在AB、AC上，且 DE∥AC，DF∥AB. 求证：BE＝DF，DE＝CF.
分析：要证 BE＝DF，DE ＝CF，只要证△EBD≌△FDC.由于在△EBD和△FDC中，已知 BD＝DC，所以只要证∠B＝∠FDC，∠EDB＝∠C.
证明：∵DE//AC，DF// AB(已知)， ∴∠EDB＝∠C，∠B＝∠FDC (两直线平行，同位角相等). ∵D 是 BC 的中点(已知)， ∴BD＝DC(线段中点的定义). 在△EBD 和△FDC 中，
已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE.
分析：证明△ACD≌△ABE中，就可以得出 AD＝AE.
1. 找出图中的全等三角形，并说明理由.
2. 已知：如图，AB、CD相交于点 O，O是AB的中点， AC//BD. 求证：O是CD的中点.
证明：∵O是AB的中点(已知)， ∴OA＝OB(线段中点的定义). ∵AC∥BD (已知)， ∴∠A＝∠B (两直线平行，内错角相等).
如图1－12，在△ABC 和△MNP 中，∠A＝∠M，∠B ＝∠N，BC＝NP. △ABC与△MNP 全等吗?为什么?
由三角形内角和定理可知∠C＝∠P.
根据“ASA”可以证明△ABC ≌△MNP.
由此可以得到基本事实 (ASA) 的推论：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
例5 已知：如图1－13，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高. 求证：AD＝A′D′.
分析：要证 AD＝A′D′，只要证 △ABD⊥△A′B′D′. 由于在△ABD和△A′B′D′中，∠ADB －∠A′D′B′＝90°，所以只要证 AB＝A′B′，∠B＝∠B′.
证明：∵△ABC≌△A′B′C′(已知)， ∴ AB＝A′B′，∠B＝∠B′ (全等三角形的对应边相等、 对应角相等). ∵ AD、A′D′分别是△ABC和 △A′B′C′的高(已知)， ∴ ∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.
在△ABD 和△A′B′D′中， ∠B＝∠B′(已证)， ∠ADB ＝ ∠A′D′B′(已证)， AB＝A′B′(已证)，∴△ABD ≌ △A′B′D′(AAS).∴AD＝AD (全等三角形的对应边相等).
如图，AD是△ABC的中线，过C，B分别作AD及AD的延长线的垂线CF，BE. 求证：BE＝CF.
导引：要证明BE＝CF，可根据中线及垂线的定义和对顶角的性质来证明△BDE和△CDF全等．
证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD. ∵CF⊥AD，BE⊥AE， ∴∠CFD＝∠BED＝90°. 在△BDE和△CDF中，
在图1－13中，如果 AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线(或中线)，那么AD与A′D′相等吗?试证明你的结论.
1. 已知： 如图，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC. 求证：AB＝DC.
2. 已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别为 B、E， AE、BC 相交于点F，且AB＝BC. 求证：△ABF≌△CBD.
证明：∵CB⊥AD，AE⊥DC(已知)， ∴∠ABF＝∠CBD ＝∠AED＝90° (垂直的定义).
1. 如图1－14，∠A＝∠B，∠1＝∠2，EA＝EB. 你能证 明 AC＝BD 吗?
2. 如图1－15，点C、F在AD上，且AF＝DC，∠B＝∠E， ∠A＝∠D. 你能证明AB＝DE 吗?
例6 已知：如图1－16，点A、B、C、D 在一条直线上，EA ∥FB，EC∥FD，EA＝FB. 求证：AB＝CD.
分析：要证 AB＝CD，只要证 AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD，所以只要证 △EAC≌△FBD.
∴△EAC≌△FBD(AAS).∴ AC＝BD (全等三角形的对应边相等)， 即 AB＋BC ＝CD＋BC.∴ AB＝CD (等式的性质).
上面的推理过程可以用符号“=>”简明地表述如下：
1. 已知：如图，AB＝AC，点 D、E分别在AB、AC 上， ∠1 ＝∠2 . 求证：DB＝EC.
2. 已知： 如图，∠ABC ＝∠DCB，∠1＝∠2. 求证：AB＝DC.
(1) 本节课学习了几种判断两个三角形全等的方法？ 分别是什么？它们之间有什么共同点和区别？(2) 本节课学习的两种方法能否用“两角一边相等， 则三角形全等” 来代替？
第3课时 利用三边判定三角形全等
按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使 AB＝c，AC＝b，BC＝a.
实践告诉我们判定两个三角形全等的第三个基本事实：
三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).
生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定.
如图1－17，用 3 根木条钉成的三角形框架，它的形状和大小唯一确定. 这个事实也说明了“三边分别相等的两个三角形全等”.
三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用.
四边形是否具有稳定性?
用4根木条钉成的四边形框架的形状是可以改变的.
四边形不具有稳定性，也就是说，当一个四边形四边的长度确定时，这个四边形的形状、大小不唯一确定.
例7 已知：如图1－18，在△ABC 中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C.
分析：要∠B＝∠C，只要设法使∠B、∠C分别在两个三角形中，然后证明这两个三角形全等.
还有不同的方法证明∠B＝∠C 吗?
有. 证明：如图，作∠A的平分线AE交BC于点E，则∠BAE＝∠CAE.
已知：如图， 点F，点C 在AD上，AF＝CD，AB＝DE， BC＝EF．求证：AB∥DE．
证明：∵ AF＝CD(已知)，∴ AF＋FC＝CD＋FC(等式的性质)， 即AC＝DF．
1. 三对内角分别相等的两个三角形全等吗?
解：三对内角分别相等的两个三角形不一定全等，因为它们的边长不一定对应相等，则可能无法完全重合.
2. 已知：如图，AB＝DC，AD＝BC. 求证：AB∥DC，AD∥BC.
证明：如图，连接 BD.
∴△ABD ≌ △CDB(SSS).∴∠1＝∠2，∠4＝∠3 (全等三角形的对应角相等).∴AB∥DC，AD∥BC (内错角相等,两直线平行).
3. 如图，△DEF 的3个顶点分别在小正方形的顶点 (格点)上这样的三角形叫做格点三角形。请在图中再画1 个格点三角形ABC，使△ABC≌△DEF. 这样的格点三角形你能画几个?
解：画△ABC 如图所示，这样的格点三角形能画三个.
利用三边判定三角形全等
三边对应相等的两个三角形全等(边边边或SSS)；证明全等三角形书写格式： ①准备条件； ②三角形全等书写的三步骤.3、证明是由题设(已知)出发，经过一步步的推理， 最后推出结论正确的过程.
第4课时 利用斜边和直角边判定直角三角形全等
工人师傅常常利用角尺平分一个角， 如图 1－19，在∠AOB 的两边OA、OB上分别任取 OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM 就是∠AOB 的平分线，请你说明这样画角平分线的道理.
由OC＝OD， MC＝MD，OM＝OM，可知△OCM≌△ODM，于是∠COM＝∠DOM，即OM平分∠AOB.
从木工师傅的画法中，你能找到用直尺和圆规作角平分线的方法吗?
按下列作法，用直尺和圆规作∠AOB 的平分线
如图1－20，PC＝PD，QC＝QD，PQ、CD 相交于点 E. (1) 根据以上条件，你能发现哪些结论?
(1) △PCQ≌△PDQ(SSS)， △PCE≌△PDE(SAS)， △CQE≌△DQE (SAS)， ∠PEC＝ ∠PED＝90°， ∠PCD＝∠PDC， PQ平分∠CPD 等.
(2) 你能证明 PQ⊥CD 吗?由此，你能找到用直尺和圆规过已知直线外一点作这条直线的垂线的方法吗?
按下列作法，用直尺和圆规经过直线 AB 外一点 P 作 AB 的垂线.
如果点 P在直线AB 上，如何用直尺和圆规经过点 P作AB 的垂线?
作法： (1)以点 P 为圆心,适当的长为半径作弧，使它与AB 交于点C，D.
1. (1)用直尺和圆规把图①中的∠MON 四等分；
解：作法：如图所示， ①作∠MON 的平分线OA. ②作∠MOA 的平分线OB. ③作∠NOA 的平分线OC.则 OA，OB，OC 四等分∠MON.
(2) 用直尺和圆规在图②中过点 B作 BC 的垂线，并指出所作图中∠ABC的余角.
① 如图所示，反向延长射线 BC，以点 B 为圆心，以适当长为半径作弧交直线 BC 于点 D，E.
2. 用直尺和圆规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于 a、b.
解：作法：如图所示， (1) 作线段 AB＝b. (2) 延长线段 BA，过点A作AD⊥AB. (3) 在射线AD上截取AC＝a，连接 BC. Rt△ABC 即为所求作的三角形.
两个直角三角形，有一对内角(直角)相等，判定两个直角三角形全等，还需要几个条件?可以是哪些条件?
直角三角形是特殊的三角形，可以用符号“Rt△”表示. 判定两个直角三角形全等，有没有特殊的方法?
这两个直角三角形全等吗?
按下列作法，用直尺和圆规作 Rt△ABC，使 ∠C＝90°，CB＝a，AB＝c.
你作的直角三角形与其他同学作的直角三角形能完全重合吗?
如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′，怎样证明 △ABC≌△A′B′C′?
把两个直角三角形拼在一起 像本节例7那样，可以证得 ∠B＝∠B′.
在△ABC和△A′B′C′中，由∠B＝∠B′，∠ACB＝∠A′C′B′，AB＝A′B′，可以证明△ABC≌△A′B′C′ (AAS).
于是，我们得到如下定理：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中， AB＝A′B′， BC＝B′C′， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′(HL).
例8 已知：如图1－22，AD、BC 相交于点O，AD＝BC. ∠C＝∠D ＝ 90°. 求证：AO＝BO，CO＝DO.
分析：要证 AO＝BO、CO＝DO，只要证△AOC≌△BOD. 由于∠C＝∠D＝90°，∠AOC＝∠BOD，于是只要证 AC＝BD，所以就要证 △ABC ≌△BAD.
已知：如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是点C、D，AD＝BC，CE⊥ AB，DF⊥ AB，垂足分别是点E、F. 求证：CE＝DF.
1. 如图，方格纸中有点 A、B、C、D、E、F，以其中的3个点为顶点，画出所有的直角三角形，并找出其中全等的直角三角形.
解：画直角三角形如图所示，全等的直角三角形有：△ABC≌△BDE≌△BFE≌△BFC≌△CEB≌△CEF；△ABF≌△DBF；△DCF≌△AEF.
2. 如图，AC⊥CB，AD⊥DB，要证明△ABC≌△ABD，还需要什么条件?
解：∠CAB＝∠DAB 或∠ABC＝∠ABD 或 BC＝BD或AC＝AD. (答案不唯一)
3. 已知：如图，AD＝BC，CA⊥AB，AC⊥CD. 求证：AD∥BC.
证明：∵CA⊥AB，AC⊥CD (已知)， ∴∠BAC＝∠DCA ＝ 90° (垂直的定义).
利用斜边和直角边判定直角三角形全等
判定直角三角形全等的“四种思路”：(1) 若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等， 用“HL”判定．(2) 若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定．
(3) 若有一组锐角和一组直角边分别相等， ①直角边是锐角的对边，用“AAS”判定； ②直角边是锐角的邻边，用“ASA”判定．(4) 若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定．
1. 指出图中的全等三角形，并说明理由.
解：①与⑥，△MPN≌△KGH (SAS) ； ②与⑤，△YXZ≌△DEF (SAS)； ③与④，△ABC≌△SRT (SAS).
2. 已知：如图，AC＝BD，∠1＝∠2. 求证：△ADB≌△BCA.
3. 如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽.卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道工件内槽 AB的长度，你能说明这样测量的理由吗?
根据全等三角形对应变相等得到 AB＝A′B′.
4. 已知：如图，B、D分别是AC、AE的中点，且AB＝AD. 求证：△ADC≌△ABE.
证明：∵B是AC的中点，D是AE的中点，∴AB＝BC，AD＝DE.∵AB＝AD，AB＝BC，AD＝DE， ∴AC＝AE.
在△ADC和△ABE中.∵ AB＝AD， ∠CAD＝∠EAB， AC＝AE，∴△ADC≌△ABE.
5. 已知：如图，C是AE 的中点，AB // CD，且AB＝CD. 求证：BC // DE.
证明： ∵C是AE的中点， ∴AC＝CE， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DCE，
6. 如图，点D、E分别在AB、AC上，BE、CD相交于点F. (1) 如果AB＝AC，∠B＝∠C，试找出一对全等三角形，并证明；
理由如下：在△BEA和△CDA中， ∵AB＝AC，∠B＝∠C，∠A＝∠A， ∴△BEA≌△CDA (ASA)
(2) 如果 BD＝CE，∠B＝∠C，试找出一对全等三角形， 并证明.
理由如下： 在△BDF和△CEF中， ∵BD＝CE，∠B＝∠C， ∠BFD＝∠CFE， ∴ △BDF≌△CEF (AAS).
7. 如图，要测量河两岸相对的A、B两点之间的距离，可以在与 AB垂直的河岸BF上取C、D两点，且使 BC＝DC. 从点D出发沿与河岸BF 垂直的方向移动到点E，使点 A、C、E在一条直线上.测量 DE 的长就能知道A、B 两点之间的距离.为什么?
8. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高. 求证：BD＝CE.
证明： ∵AB＝AC ∴∠ABC ＝∠ACB ∵BD、CE是高， ∴∠BDC ＝∠BEC ＝90°
9. 已知：如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O， AB＝DC，∠1＝∠2. 求证：AC＝DB.
10. 已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C， AE // BF， 且AE＝BF. 求：AC＝BD.
11. 如图，在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，AB//DC，AD//BC.请在图中找出全等三角形，并证明.
图中共有4对全等三角形，它们分别是△AOB≌△COD，△BOC≌△DOA，△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB.
理由如下：∵AB//DC，AD∥BC.∴AB＝DC，AD＝BC.∵AB//DC，∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO.∵∠BAO＝∠DCO，AB＝DC，∠ABO＝∠CDO∴△AOB≌△COD (ASA)
∵ AD∥BC ，∴ ∠OBC＝∠ODA， ∠OAD＝∠OCB.∵ ∠OBC＝∠ODA， AD＝BC， ∠OAD＝∠OCB， ∴△BOC ＝ △DOA (ASA)
∵ ∠ABO＝∠CDO，∠OBC＝∠ODA， AD＝BC. ∴ △ABD ≌ △CDB(AAS) ∵ ∠BAO＝∠DCO， ∠OAD＝∠OCB， AB＝DC ∴△AABC ＝ △CDA (ASA)
12. 如图，点 C、D 在 BE 上，BC＝ED，∠1＝∠2，∠3＝∠4. 图中有哪些全等三角形? 请分别加以证明.
解：∵∠3＝∠4， ∠3＝∠1＋∠B， ∠4＝∠2＋∠E. ∴ ∠B＝∠E.
∵ BC＝ED∴ △ABC≌△AED∴ AC＝AD，AB＝AE.∵ BC＋CD＝ED＋CD∴ BD＝EC∴ △ABD≌△AEC.
13.已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，AC＝DB， AE＝DF， BE＝CF. 求证：AE//DF，BE//CF.
证明： ∵ AC＝DB， ∴ AB＋BC＝DC＋CB，即AB＝DC. 在△AEB和△DFC中， ∴AB＝DC，AE＝DF，BE＝CF，
14. 已知：如图，AD、BF相交于点 O，AB＝DF. 点E、 C在BF上，且 BE＝FC，AC＝DE. 求证：AO＝DO，BO＝FO.
证明： ∵BE＝FC ∴ BE＋CE＝FC＋CE， 即BC＝EF。
15. 如图，已知△ABC，用直尺和圆规作 △ABC 的角平分线 CD、高AE.
如图，CD即为要作的角平分线，AE即为要作高线.
16. 如图，已知△ABC. (1) 用直尺和圆规按下列要求作图 ： 作△ABC的角平分线AD； 作∠CBE＝∠ADC，BE交 CA的延长线于点E； 作AF⊥BE，垂足为 F.
(2) 图中EF、BF相等吗?证明你的结论.
理由：∵ ∠ADC＝∠CBE.∴AD//EB∵ ∠ABE＝∠BAD， ∠E＝ ∠CAD∵AD平分∠BAC.
∴∠BAD＝∠CAD∴∠ABE＝∠E∴AB＝AE∴△ABE是等腰三角形∵AF⊥BE，∴AF是底边的中线，∴EF＝BF
17. 用三角尺可以按下面的方法画∠AOB 的平分线：在 OA、OB上分别取点E、F，使OE＝OF；再分别过点E、 F画OA、OB 的垂线，这两条垂线相交于点 C； 画射线 OC(如图). 试说明射线OC平分∠AOB 的道理.
18. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高， DE⊥ AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F. 求证：DE＝DF.
本章中，我们学习了判定两个三角形全等的 3 个基本事实(SAS、ASA、SSS)、1 个推论(AAS)，以及直角三角形全等的判定定理(HL). 这5种判定方法中，两个三角形都具备 3 对元素(边或角)分别相等的条件.
问题1 在两个三角形中，如果有 3 对元素分别相等，那么它们是否全等?
为了探究这个问题，我们不妨先把两个三角形中有3对元素分别相等的可能情况分类，然后分别研究.
两个三角形有3 对元素分别相等
三角分别相等；一边和两角分别相等；两边和一角分别相等；三边分别相等.
根据三角形内角和定理，“三角分别相等”实质上是“两角分别相等”，不能由此条件判定两个三角形全等. 三边分别相等的两个三角形全等. 一边和两角分别相等的两个三角形是否一定全等呢?
如图1－23，在△ABC的边 BC 上截取BC′＝AC，过点C′画CA 的亚行线交 AB 于点A′.在△A′BC′和△ABC中，∠B＝∠B，∠BA′C′＝∠A，BC′＝AC，显然这两个三角形不全等。 对此，你能否做出合理的解释?
现在，请你探究：两边和一角分别相等的两个三角形是否一定全等. 问题 2 在两个三角形中，如果有 4 对(或5 对)元素分别相等，那么这两个三角形一定全等吗?
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