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    苏科版 八年级数学上册1.3 全等三角形判定 例题汇编 学案
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    初中数学苏科版八年级上册1.3 探索三角形全等的条件学案设计

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    这是一份初中数学苏科版八年级上册1.3 探索三角形全等的条件学案设计,共53页。


    【三边分别相等的两个三角形全等,SSS】
    (2022河池)如图,点A,F,C,D在同一直线上,AB=DE,AF=CD,BC=EF.
    求证:∠ACB=∠DFE;
    连接BF,CE,直接判断四边形BFEC的形状.
    2.(2021八上·南京期末)如图,AB=AD,AC=AE,BC=DE,点E在BC上.
    求证:∠EAC=∠BAD;
    (2)若∠EAC=42∘,求∠DEB的度数.
    3.(2021八上南岗期末)已知:AD=BC,AC=BD.
    (1)如图1,求证:AE=BE;
    (2)如图2,若AB=AC,∠D=2∠BAC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个度数为36∘的角.
    (2021八上·鞍山期末)如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF.证明
    (1)∠D=∠B;
    (2)AC与BD互相平分.
    5.(10分)(2021八上双辽期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=30∘,点D是△ABC内一点,DB=DC,∠DCB=30∘,点E是BD延长线上一点,AE=AB.
    (1)求∠ADB的度数;
    (2)线段DE,AD,DC之间有什么数量关系?请说明理由.(提示:在线段DE上截取线段EM=BD,连接线段AM或者在线段DE上截取线DM=AD连接线段AM).
    【两边及其夹角分别相等的两个三角形】
    6.(2022八上海曙期中)如图,已知点P是等边△ABC内一点,连结PA,PB,PC,D为△ABC外一点,且∠DAP=60∘,连结DP,DC,AD=DP.
    (1)求证:△ADC≅△APB.
    (2)若PA=12,PB=5,PC=13,求∠APB的度数.
    7.(2022八上新昌期中)如图
    (1)如图1,在△ABC中,AD为BC边上的中线,延长AD至E,使DE=AD,连结BE.求证:△ACD≅△BD.
    (2)如图2,在△ABC中,AC=5,BC=13,D为AB的中点,DC⊥AC.求△ABC的面积.
    8.(2022八上.青田月考)如图在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90∘.
    (1)当点D在AC上时,如图(1),求证:BD=CE.
    (2) 将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角0∘<α<90∘,如图②,线段BD、CE仍相等吗?请说明理由.
    (3)在图(2)中线段BD、CE有怎样的位置关系?请说明理由.
    9.((2022八上柯桥月考)如图,△ABC与△ADE都是等边三角形(三条边都相等,三个内角都相等的三角形),连接BD、CE交点记为点F.
    (1)BD与CE相等吗?请说明理由.
    (2)你能求出BD与CE的夹角∠BFC的度数吗?
    (3)若将已知条件改为:四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形,连接BE、DG,交点记为点M(如图).请直接写出线段BE和DG之间的关系?
    10.(2022九上温州开学考)如图,在△ABC和△AED中,AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD,且点E, A,B在同一直线上,点C,D在EB同侧,连结BD,CE交于点M.
    (1)求证:△ABD≅△ACE;
    (2)若∠CAD=100∘,求∠DME的度数.
    11.(2021九上-泗水期中)如图:
    图1 图2 图3
    如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D为BC边上一点(不与点B、C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接EC,则:
    ∠ACE的度数是_______;
    (2)线段AC,CD,CE之间的数量关系是_________;
    (2)如图2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90∘,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE,连接EC,请写出∠ACE的度数及线段AD,BD,CD之间的数量关系,并说明理由;
    (3)如图3,在Rt△DBC中,DB=3,DC=5,∠BDC=90∘,若点A满足AB=AC,∠BAC=90∘,请直接写出线段AD的长度.
    【两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,ASA】
    12.(2022七下.平远期末)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,F,E分别是AD及其延长线上的点
    (1)如果CF//BE,说明:△BDE≌△CDF;
    (2)若CF,BE是△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线,垂足分别为E、F,请猜想BF与CE的位置关系?并说明理由.
    13.(2022八上柯桥月考)如图,△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BD,CE相交于点F,∠A=60∘
    (1)求∠BFC的度数.
    (2)求证:BC=BE+CD.
    14.(2022八上雨花开学考)已知:∠C=∠D,OC=OD.
    (1)证明:△OAD≅△OBC;
    (2)若∠O=72∘,∠C=20∘,求∠DAC的度数.
    15.(2022:襄阳)如图,在△ABC中,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.
    (1)作∠ACB的角平分线,交AB于点E(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
    (2)求证:AD=AE.
    16.(2022七下钢城期末)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90∘,点E是AB边的中点,点F,G分别在AC,BC上,且EF⊥EG.
    (1)求证:AF=CG;
    (2)若AC=2,求四边形CFEG的面积.
    17.(2022八下昭通期末)如图,直线AB,CD相交于点E,AD=BC,AD∥BC.
    (1)求证:AE=BE;
    (2)连接AC,BD,当∠AEC=90∘时,判断四边形ADBC的形状,并请证明你的结论.
    【两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.AAS】
    18.(2022八上绵阳月考)如图,在^ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D、E
    (1)求证:CD=BE;
    (2)若DE=3,BE=2,求AD的长.
    19.(2022九上台州月考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90∘,分别过点B,C向过点A的直线作垂线,垂足分别为点E,F.
    (1)如图(1),过点A的直线与叙边BC不相交时,
    求证:(1)△ABE≌△CAF ;
    (2)EF=BE+CF.
    (2)如图(2),其他条件不变,过点A的直线与斜边BC相交时,若BE=10,CF=3,试求EF的长.
    20.(2022八上拱埋月考)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40∘,点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合),连结AD,作∠ADE=40∘,DE交线段AC于点E.
    (1)当∠BDA=115∘时,∠BAD=________,∴∠DEC=__________°;
    (2)当DC=AB=2时,△ABD与△DCE是否全等?请说明理由;
    (3)在点D运动过程中,△ADE的形状可以是等腰二角形吗?若可以,请直接写出∠AED的度数;若不可以,请说明理由.
    21.(2022八下法库期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,CD⊥AB于点D,BO平分∠DBC,交CO于点O,OE∥AC,交AB于点E,连接CE.
    (1)求证:△BOE≅△BOC;
    (2)求证:CE平分∠ACD;
    (3)若BC=10,BD=6,请直接写出OB的长度.
    22.(2022七下长清期末)如图,已知点C、点D都在线段AF上,AC=DF,BC∥EF,∠B=∠E.求证:
    △ABC≌△DEF
    (2)AB∥DE
    23.(2022七下·章丘期末)
    (1)模型的发现:
    如图1,在△ABC中,∠BAC=90∘,AB=AC,直线1经过点A,且B、C两点在直线l的同伅,BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点DE.请直接写出DE、BD和CE的数量关系.
    (2)模型的迁移1:位置的改变
    如图2,在(1)的条件下,若B,C两点在直线l的异侧,请说明DE、BD和CE的关系,并证明.
    (3)模型的迁移2:角度的改变
    如图3,在(1)的条件下,若三个直角都变为了相等的钝角,即∠BAC=∠1=∠2=α,其中90∘<α<180∘,
    (1)的结论还成立吗?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明DE、BD和CE的关系,并证明.
    24.(2022七下新城期末)如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠B=35∘,E是BC边上一点且AE=CE,D是BC边上的中点,连接AD,AE.
    (1)求∠DAE的度数;
    (2)若BD上存在点F,连接AF,且∠AFE=∠AEF,试判断BF与CE之间的数量关系,并说明理由.
    【斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.HL】
    25.(2022八上新昌期中)如图,在△ABC中,BE=BF,∠ABC=90∘,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
    (1)求证:Rt△ABE≅Rt△CBF.
    (2)延长AE交CF于点D,请判断直线AE与CF的位置关系。
    26.(2022八上柳城期中)如图:在△ABC中,∠C=90∘,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF,证明:
    (1)CF=EB.
    (2)AB=AF+2 EB.
    27.(2022八下·永定期末)如图,AD、BC相交于点O,AD=BC,∠C=∠D=90∘.
    (1)求证:△ACB≅△BDA;
    (2)若∠ABC=31∘,求∠CAO的度数.
    【答案】
    【三边分别相等的两个三角形全等,SSS】
    (2022河池)如图,点A,F,C,D在同一直线上,AB=DE,AF=CD,BC=EF.
    求证:∠ACB=∠DFE;
    连接BF,CE,直接判断四边形BFEC的形状.
    证明如下:
    ∵AF=CD
    ∴AF+FC=CD+FC
    即AC=DF
    在△ACB和△DFB中
    ∵AB=DFAC=DFBC=EF
    ∴△ACB≌△DFE(SSS)
    ∴∠ACB=∠DFE
    四边形BFEC是平行四边形
    (EF//BC一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
    2.(2021八上·南京期末)如图,AB=AD,AC=AE,BC=DE,点E在BC上.
    (1)求证:∠EAC=∠BAD;
    (2)若∠EAC=42∘,求∠DEB的度数.
    (1)证明如下:
    在△EAD和△CAB中
    ∵AD=ABAE=ACDE=BC
    ∴△EAD≌△CAB(SSS)
    ∴∠EAD=∠CAB
    ∴∠EAD-∠EAB=∠CAB-∠EAB
    即∠EAC=∠BAD
    (2)若∠EAC=42°
    则∠DAB=42°
    ∵△EAD≌△CAB
    ∴∠D=∠B
    令AB与DE相交于点F
    ∵∠AFD=∠BFE
    ∴∠DEB=∠DAB=42°
    3.(2021八上南岗期末)已知:AD=BC,AC=BD.
    (1)如图1,求证:AE=BE;
    (2)如图2,若AB=AC,∠D=2∠BAC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个度数为36∘的角.
    (1)证明如下:
    在△ABD和△BAC中
    ∵AD=BCAB=BAAC=BD
    ∴△ABD≌△BAC(SSS)
    ∴∠D=∠C
    在△ADE和△BCE中
    ∵∠D=∠C∠DEA=∠CEBAD=BC
    ∴△ADE≌△BCE(AAS)
    ∴AE=BC
    (2)∠CAB、∠ABE、∠CBE、∠DAE
    (2021八上·鞍山期末)如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF.证明
    (1)∠D=∠B;
    (2)AC与BD互相平分.
    证明如下:
    在△ADE和△CBF中
    ∵AD=CBAE=CFDE=BF
    ∴△ADE≌△CBF(SSS)
    ∴∠D=∠B
    由(1)可知∠D=∠B
    在△AOD和△COB中
    ∵∠AOD=∠COB∠D=∠BAD=BC
    ∴△AOD≌△COB(AAS)
    ∴OB=OD,OA=OC
    5.(2021八上双辽期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=30∘,点D是△ABC内一点,DB=DC,∠DCB=30∘,点E是BD延长线上一点,AE=AB.
    (1)求∠ADB的度数;
    (2)线段DE,AD,DC之间有什么数量关系?请说明理由.(提示:在线段DE上截取线段EM=BD,连接线段AM或者在线段DE上截取线DM=AD连接线段AM).
    在△ADB和△ADC中
    ∵AB=ACAD=ADBD=CD
    ∴△ADB≌△ADC(SSS)
    ∴∠ADB=∠ADC
    ∵∠DCB=30°,BD=CD
    ∴∠CDE=2∠DCB=60°
    ∴∠ADB=12(180°+∠CDE)=120°
    猜想:CD+AD=DE
    在DE上截取一点M,使DM=AD
    ∵∠ADE=∠ADC-∠CDE=120°-60°=60°
    ∴△ADM是等边三角形
    ∴AM=AD,∠AMD=60°
    ∴∠AME=120°=∠ADB
    ∵AB=AE
    ∴∠ABD=∠AEM
    在△ABD和△AME中
    ∵∠ABD=∠AEM∠ADB=∠AMEAB=AE
    ∴△ABD≌△AME
    ∴ME=BD=CD,
    ∵DM+ME=DE
    即AD+CD=DE
    M
    【两边及其夹角分别相等的两个三角形】
    6.(2022八上海曙期中)如图,已知点P是等边△ABC内一点,连结PA,PB,PC,D为△ABC外一点,且∠DAP=60∘,连结DP,DC,AD=DP.
    (1)求证:△ADC≅△APB.
    (2)若PA=12,PB=5,PC=13,求∠APB的度数.
    ∵△APD是等边三角形
    ∴∠BAC=60°
    ∴∠BAC-∠PAC=∠PAD-∠PAC
    即∠BAP=∠CAD
    在△APB和△ADC中
    ∵AB=AC∠BAP=∠CADAP=AD
    ∴△APB≌△ADC(SAS)
    (2)
    ∵△APB≌△ADC
    ∴CD=PB=5,
    ∵PD=AD=12,PC=13
    在△PDC中
    ∵PD2+CD2=122+52=169
    PC2=132=169
    ∴∠PDC=90°
    ∴∠ADC=∠ADP+∠PDC=150°
    ∴∠APB=∠ADC=150°
    7.(2022八上新昌期中)如图
    (1)如图1,在△ABC中,AD为BC边上的中线,延长AD至E,使DE=AD,连结BE.求证:△ACD≅△BDE.
    (2)如图2,在△ABC中,AC=5,BC=13,D为AB的中点,DC⊥AC.求△ABC的面积.
    证明如下:∵AD是BC边上的中线
    ∴BD=CD
    在△ADC和△BDE中
    ∵AD=ED∠BDE=∠CDABD=CD
    ∴△ACD≌△BDE(SAS)
    延长CD至点H,使CD=DH
    连接BH
    ∵D为AB中点
    ∴AD=BD
    在△ADC和△BDH
    ∵AD=BD∠ADC=∠BDHCD=DH
    ∴△ADC≌△BDH(SAS)
    ∴∠CHB=∠ACD=90°,BH=AC=5
    在Rt△CHB中
    ∵BH=BC2−BH2=12
    ∴CD=12BH=6
    ∴S△ABC=2S△ADC=2×12CD×AC=30
    8.(2022八上.青田月考)如图在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90∘.
    (1)当点D在AC上时,如图(1),求证:BD=CE.
    (2) 将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角0∘<α<90∘,如图②,线段BD、CE仍相等吗?请说明理由.
    (3)在图(2)中线段BD、CE有怎样的位置关系?请说明理由.
    【解析】
    只要证Rt△BAD≌Rt△EAC(SAS),再利用全等三角形的性质,说明BD=CE
    线段BD与CE依旧相等;利用角度的和差关系,说明∠BAD=
    ∠CAE;再证△BAD全等于△CAE(SAS)
    BD与CD位置关系式垂直,利用八字模型,∠BHC=∠BAC进行等量代换可证
    9.((2022八上柯桥月考)如图,△ABC与△ADE都是等边三角形(三条边都相等,三个内角都相等的三角形),连接BD、CE交点记为点F.
    (1)BD与CE相等吗?请说明理由.
    (2)你能求出BD与CE的夹角∠BFC的度数吗?
    (3)若将已知条件改为:四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形,连接BE、DG,交点记为点M(如图).请直接写出线段BE和DG之间的关系?
    【解析】
    先利用角度的和差关系,说明∠BAD=∠CAE,再证△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE
    BD与CE的夹角∠BFC=60°。利用点A、B、C、F构造的八字模型
    说明∠BFC=∠BAC=60°
    (3)BE与DG互相垂直且相等;先证△ABE和△ADG旋转全等;再利用A、B、D、M所构造的八字模型,说明∠BMD=∠BAD=90°
    10.(2022九上温州开学考)如图,在△ABC和△AED中,AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD,且点E, A,B在同一直线上,点C,D在EB同侧,连结BD,CE交于点M.
    (1)求证:△ABD≅△ACE;
    (2)若∠CAD=100∘,求∠DME的度数.
    【解析】
    (1)手拉手旋转全等,先利用角度和差关系说明∠EAC=∠DAB(SAS)
    易证△ABD≅△ACE(SAS)
    若∠CAD=100°则∠EAM=12(180°−∠CAD)=40°
    以E、A、M、D形成的八字模型,说明∠DME=∠DAE=40°
    11.(2021九上-泗水期中)如图:
    图1 图2 图3
    如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D为BC边上一点(不与点B、C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接EC,则:
    (1)∠ACE的度数是_______;
    线段AC,CD,CE之间的数量关系是_________;
    (2)如图2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90∘,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE,连接EC,请写出∠ACE的度数及线段AD,BD,CD之间的数量关系,并说明理由;
    (3)如图3,在Rt△DBC中,DB=3,DC=5,∠BDC=90∘,若点A满足AB=AC,∠BAC=90∘,请直接写出线段AD的长度.
    【解析】
    (1)∠ACE=∠B=12(180°-∠BAC)=60°;AC=CD+CE;
    (2)∠ACE=∠ABC=45°;BD+CD=2AD;手拉手旋转全等模型,证△ABD≌△ACE(SAS)
    由(2)可知,AD=42
    【两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,ASA】
    12.(2022七下.平远期末)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,F,E分别是AD及其延长线上的点
    (1)如果CF//BE,说明:△BDE≌△CDF;
    (2)若CF,BE是△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线,垂足分别为E、F,请猜想BF与CE的位置关系?并说明理由.
    【解析】(1)∵CF//BE
    ∴∠DBE=∠DCF
    ∵AD是BC边上的中线,易证△BDE≌△CDF(SAS)属于倍长中线的全等模型;
    (2)BF和CE平行,只要证出△BFC≌△CBE(SAS),方法如一
    13.(2022八上柯桥月考)如图,△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BD,CE相交于点F,∠A=60∘
    (1)求∠BFC的度数.
    (2)求证:BC=BE+CD.
    【解析】第一问属于半角模型,∠BEC=12∠A+90°=120°
    (2)在BC上截取一点G,使得BE=BG;利用角平分线全等模型,分别证得△EBF≌△GBF(SAS),△CGF≌△CDF(ASA)
    ∴BC=BG+CG=BE+CD
    14.(2022八上雨花开学考)已知:∠C=∠D,OC=OD.
    (1)证明:△OAD≅△OBC;
    (2)若∠O=72∘,∠C=20∘,求∠DAC的度数.
    【解析】
    (1)易证△OAD≅△OBC(ASA)
    (2)连接CD,∠DAC=∠O+∠D=∠O+∠C=92°
    15.(2022:襄阳)如图,在△ABC中,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.
    (1)作∠ACB的角平分线,交AB于点E(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
    (2)求证:AD=AE.
    【解析】
    (1)作法:①以C为圆心,以适当长为半径画弧,交CA和CB分别于两点M,N,再以M,N为圆心,同一半径画弧交于另外一点;
    ③将该点连接C点,与AB交于点E
    (2)易证△ABD≌△ACE(AAS)
    16.(2022七下钢城期末)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90∘,点E是AB边的中点,点F,G分别在AC,BC上,且EF⊥EG.
    (1)求证:AF=CG;
    (2)若AC=2,求四边形CFEG的面积.
    【解析】(1)连接CE,易证△AEF≌△CEG(ASA)
    (2)四边形CFEG的面积通过割补,等同△AEC的面积,即S四边形CFEG=S△AEC=12S△ABC=1
    17.(2022八下昭通期末)如图,直线AB,CD相交于点E,AD=BC,AD∥BC.
    (1)求证:AE=BE;
    (2)连接AC,BD,当∠AEC=90∘时,判断四边形ADBC的形状,并请证明你的结论.
    【解析】(1)证△ADE≌△CBE(AAS)
    (2)平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
    【两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.AAS】
    18.(2022八上绵阳月考)如图,在^ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D、E
    (1)求证:CD=BE;
    (2)若DE=3,BE=2,求AD的长.
    【解析】
    (1)证△CBE≌△ACD(AAS)则CD=BE
    (2)由(1)可知,BE=CD,AD=CE=CD+DE=3+2=5;
    19.(2022九上台州月考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90∘,分别过点B,C向过点A的直线作垂线,垂足分别为点E,F.
    (1)如图(1),过点A的直线与叙边BC不相交时,
    求证:(1)△ABE≌△CAF ;
    (2)EF=BE+CF.
    (2)如图(2),其他条件不变,过点A的直线与斜边BC相交时,若BE=10,CF=3,试求EF的长.
    【解析】
    一线三等角的全等模型;△ABE≌△CAF(AAS)
    由(1)可知,△ABE≌△CAF,EF=AE+AF=BE+CF=13
    20.(2022八上拱埋月考)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40∘,点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合),连结AD,作∠ADE=40∘,DE交线段AC于点E.
    (1)当∠BDA=115∘时,∠BAD=________,∴∠DEC=__________°;
    (2)当DC=AB=2时,△ABD与△DCE是否全等?请说明理由;
    (3)在点D运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠AED的度数;若不可以,请说明理由.
    【解析】
    (1)∠BAD=25°,∠DEC=115°
    (2)△ABD≌△DCE(ASA)
    (3)可以,①DE=AE②DA=DE,再具体分析即可;
    21.(2022八下法库期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,CD⊥AB于点D,BO平分∠DBC,交CO于点O,OE∥AC,交AB于点E,连接CE.
    (1)求证:△BOE≅△BOC;
    (2)求证:CE平分∠ACD;
    (3)若BC=10,BD=6,请直接写出OB的长度.
    证明如下:
    (1)角平分线全等模型,易证△BOE≅△BOC(AAS)
    ∵∠ACB=90°
    ∴∠ACD+∠OCB=90°
    ∵CD⊥AB
    ∴∠OEB+∠EOD=90°
    ∴AC//OE
    ∴∠EOD=∠ACD
    ∴∠OCB=∠OED
    ∵BO平分∠DBC
    ∴∠OBE=∠OBC
    在△OBE和△OBC中
    ∵∠OBE=∠OBC∠OCB=∠OEDOB=OB
    ∴△OBE≌△OBC(AAS)
    由(1)可知,△OBE≌△OBC
    ∴OC=OE
    ∴∠OEC=∠OCE
    ∵AC//EO
    ∴∠OEC=∠ACE
    ∴∠ACE=∠OCE
    ∴CE平分∠ACD
    22.(2022七下长清期末)如图,已知点C、点D都在线段AF上,AC=DF,BC//EF,∠B=∠E.求证:
    (1)△ABC≌△DEF
    (2)AB//DE
    (1)证明如下:∵BC//EF
    ∴∠ACB=∠DFE
    在△ABC和△DEF中
    ∵AC=DF∠ACB=∠DFEBC=EF
    ∴△ABC≌△DEF(SAS)
    由(1)可知
    ∵△ABC≌△DEF
    ∴∠BAC=∠EDF
    ∴AB//DE
    23.(2022七下·章丘期末)
    (1)模型的发现:
    如图1,在△ABC中,∠BAC=90∘,AB=AC,直线1经过点A,且B、C两点在直线l的同伅,BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点DE.请直接写出DE、BD和CE的数量关系.
    (2)模型的迁移1:位置的改变
    如图2,在(1)的条件下,若B,C两点在直线l的异侧,请说明DE、BD和CE的关系,并证明.
    (3)模型的迁移2:角度的改变
    如图3,在(1)的条件下,若三个直角都变为了相等的钝角,即∠BAC=∠1=∠2=α,其中90∘<α<180∘,
    (1)的结论还成立吗?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明DE、BD和CE的关系,并证明.
    【解析】对于一线三等角的全等模型,利用SAS的判定定理,重点在于两组等边的夹角相等,常利用角度的和差关系。证明其相等;
    再利用这组全等,找到对应边相等,进行线段的转化。
    24.(2022七下新城期末)如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠B=35∘,E是BC边上一点且AE=CE,D是BC边上的中点,连接AD,AE.
    (1)求∠DAE的度数;
    (2)若BD上存在点F,连接AF,且∠AFE=∠AEF,试判断BF与CE之间的数量关系,并说明理由.
    【解析】(1)利用等边对等角,三角形内角和定理以及互余关系,进行角度的转化;∠DAE=90°-∠AED=90°-(∠C+∠EAC)=90°-2∠B=20°
    (2)BF=CE,只要证得△AFD≌△AED,得DF=DE,再利用BD=CD(等腰△ABC三线合一),线段的和差关系。
    【斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.HL】
    25.(2022八上新昌期中)如图,在△ABC中,BE=BF,∠ABC=90∘,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
    (1)求证:Rt△ABE≅Rt△CBF.
    (2)延长AE交CF于点D,请判断直线AE与CF的位置关系。
    【解析】
    (1)∵∠ABC=90°
    ∴∠CBF=90°
    在Rt△CBF和Rt△ABE中
    ∵AE=CFBE=BF
    ∴Rt△CBF≌Rt△ABE(HL)
    (2)AE⊥CF
    证明如下:由(1)可知,Rt△CBF≌Rt△ABE
    ∴∠DCB=∠EAB
    ∵∠CED=∠AEB
    ∴∠CDE=∠CBA=90°
    26.(2022八上柳城期中)如图:在△ABC中,∠C=90∘,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF,证明:
    (1)CF=EB.
    (2)AB=AF+2 EB.
    【解析】
    先利用角平分线全等模型,证明Rt△CAD≌Rt△EAD(AAS)
    ∴CD=ED又BD=DF,∠FCD=∠BED=90°
    ∴Rt△FCD≌Rt△BED(HL)
    ∴CF=EB
    (2)由(1)可知,AB=AE+BE=AC+BE=AF+CF+BE=AF+2BE
    27.(2022八下·永定期末)如图,AD、BC相交于点O,AD=BC,∠C=∠D=90∘.
    (1)求证:△ACB≅△BDA;
    (2)若∠ABC=31∘,求∠CAO的度数.
    【解析】
    (1)利用HL的判定,证得△ACB≅△BDA;
    (2)若∠ABC=31°,∴∠CAB=59°
    ∵OA=OB,∴∠OAB=∠ABC=31°
    ∴∠CAO=∠CAB-∠OAB=28°
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