初中数学苏科版八年级上册1.3 探索三角形全等的条件学案设计
展开【三边分别相等的两个三角形全等,SSS】
(2022河池)如图,点A,F,C,D在同一直线上,AB=DE,AF=CD,BC=EF.
求证:∠ACB=∠DFE;
连接BF,CE,直接判断四边形BFEC的形状.
2.(2021八上·南京期末)如图,AB=AD,AC=AE,BC=DE,点E在BC上.
求证:∠EAC=∠BAD;
(2)若∠EAC=42∘,求∠DEB的度数.
3.(2021八上南岗期末)已知:AD=BC,AC=BD.
(1)如图1,求证:AE=BE;
(2)如图2,若AB=AC,∠D=2∠BAC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个度数为36∘的角.
(2021八上·鞍山期末)如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF.证明
(1)∠D=∠B;
(2)AC与BD互相平分.
5.(10分)(2021八上双辽期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=30∘,点D是△ABC内一点,DB=DC,∠DCB=30∘,点E是BD延长线上一点,AE=AB.
(1)求∠ADB的度数;
(2)线段DE,AD,DC之间有什么数量关系?请说明理由.(提示:在线段DE上截取线段EM=BD,连接线段AM或者在线段DE上截取线DM=AD连接线段AM).
【两边及其夹角分别相等的两个三角形】
6.(2022八上海曙期中)如图,已知点P是等边△ABC内一点,连结PA,PB,PC,D为△ABC外一点,且∠DAP=60∘,连结DP,DC,AD=DP.
(1)求证:△ADC≅△APB.
(2)若PA=12,PB=5,PC=13,求∠APB的度数.
7.(2022八上新昌期中)如图
(1)如图1,在△ABC中,AD为BC边上的中线,延长AD至E,使DE=AD,连结BE.求证:△ACD≅△BD.
(2)如图2,在△ABC中,AC=5,BC=13,D为AB的中点,DC⊥AC.求△ABC的面积.
8.(2022八上.青田月考)如图在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90∘.
(1)当点D在AC上时,如图(1),求证:BD=CE.
(2) 将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角0∘<α<90∘,如图②,线段BD、CE仍相等吗?请说明理由.
(3)在图(2)中线段BD、CE有怎样的位置关系?请说明理由.
9.((2022八上柯桥月考)如图,△ABC与△ADE都是等边三角形(三条边都相等,三个内角都相等的三角形),连接BD、CE交点记为点F.
(1)BD与CE相等吗?请说明理由.
(2)你能求出BD与CE的夹角∠BFC的度数吗?
(3)若将已知条件改为:四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形,连接BE、DG,交点记为点M(如图).请直接写出线段BE和DG之间的关系?
10.(2022九上温州开学考)如图,在△ABC和△AED中,AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD,且点E, A,B在同一直线上,点C,D在EB同侧,连结BD,CE交于点M.
(1)求证:△ABD≅△ACE;
(2)若∠CAD=100∘,求∠DME的度数.
11.(2021九上-泗水期中)如图:
图1 图2 图3
如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D为BC边上一点(不与点B、C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接EC,则:
∠ACE的度数是_______;
(2)线段AC,CD,CE之间的数量关系是_________;
(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90∘,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE,连接EC,请写出∠ACE的度数及线段AD,BD,CD之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,在Rt△DBC中,DB=3,DC=5,∠BDC=90∘,若点A满足AB=AC,∠BAC=90∘,请直接写出线段AD的长度.
【两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,ASA】
12.(2022七下.平远期末)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,F,E分别是AD及其延长线上的点
(1)如果CF//BE,说明:△BDE≌△CDF;
(2)若CF,BE是△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线,垂足分别为E、F,请猜想BF与CE的位置关系?并说明理由.
13.(2022八上柯桥月考)如图,△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BD,CE相交于点F,∠A=60∘
(1)求∠BFC的度数.
(2)求证:BC=BE+CD.
14.(2022八上雨花开学考)已知:∠C=∠D,OC=OD.
(1)证明:△OAD≅△OBC;
(2)若∠O=72∘,∠C=20∘,求∠DAC的度数.
15.(2022:襄阳)如图,在△ABC中,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.
(1)作∠ACB的角平分线,交AB于点E(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)求证:AD=AE.
16.(2022七下钢城期末)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90∘,点E是AB边的中点,点F,G分别在AC,BC上,且EF⊥EG.
(1)求证:AF=CG;
(2)若AC=2,求四边形CFEG的面积.
17.(2022八下昭通期末)如图,直线AB,CD相交于点E,AD=BC,AD∥BC.
(1)求证:AE=BE;
(2)连接AC,BD,当∠AEC=90∘时,判断四边形ADBC的形状,并请证明你的结论.
【两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.AAS】
18.(2022八上绵阳月考)如图,在^ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D、E
(1)求证:CD=BE;
(2)若DE=3,BE=2,求AD的长.
19.(2022九上台州月考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90∘,分别过点B,C向过点A的直线作垂线,垂足分别为点E,F.
(1)如图(1),过点A的直线与叙边BC不相交时,
求证:(1)△ABE≌△CAF ;
(2)EF=BE+CF.
(2)如图(2),其他条件不变,过点A的直线与斜边BC相交时,若BE=10,CF=3,试求EF的长.
20.(2022八上拱埋月考)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40∘,点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合),连结AD,作∠ADE=40∘,DE交线段AC于点E.
(1)当∠BDA=115∘时,∠BAD=________,∴∠DEC=__________°;
(2)当DC=AB=2时,△ABD与△DCE是否全等?请说明理由;
(3)在点D运动过程中,△ADE的形状可以是等腰二角形吗?若可以,请直接写出∠AED的度数;若不可以,请说明理由.
21.(2022八下法库期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,CD⊥AB于点D,BO平分∠DBC,交CO于点O,OE∥AC,交AB于点E,连接CE.
(1)求证:△BOE≅△BOC;
(2)求证:CE平分∠ACD;
(3)若BC=10,BD=6,请直接写出OB的长度.
22.(2022七下长清期末)如图,已知点C、点D都在线段AF上,AC=DF,BC∥EF,∠B=∠E.求证:
△ABC≌△DEF
(2)AB∥DE
23.(2022七下·章丘期末)
(1)模型的发现:
如图1,在△ABC中,∠BAC=90∘,AB=AC,直线1经过点A,且B、C两点在直线l的同伅,BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点DE.请直接写出DE、BD和CE的数量关系.
(2)模型的迁移1:位置的改变
如图2,在(1)的条件下,若B,C两点在直线l的异侧,请说明DE、BD和CE的关系,并证明.
(3)模型的迁移2:角度的改变
如图3,在(1)的条件下,若三个直角都变为了相等的钝角,即∠BAC=∠1=∠2=α,其中90∘<α<180∘,
(1)的结论还成立吗?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明DE、BD和CE的关系,并证明.
24.(2022七下新城期末)如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠B=35∘,E是BC边上一点且AE=CE,D是BC边上的中点,连接AD,AE.
(1)求∠DAE的度数;
(2)若BD上存在点F,连接AF,且∠AFE=∠AEF,试判断BF与CE之间的数量关系,并说明理由.
【斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.HL】
25.(2022八上新昌期中)如图,在△ABC中,BE=BF,∠ABC=90∘,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≅Rt△CBF.
(2)延长AE交CF于点D,请判断直线AE与CF的位置关系。
26.(2022八上柳城期中)如图:在△ABC中,∠C=90∘,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF,证明:
(1)CF=EB.
(2)AB=AF+2 EB.
27.(2022八下·永定期末)如图,AD、BC相交于点O,AD=BC,∠C=∠D=90∘.
(1)求证:△ACB≅△BDA;
(2)若∠ABC=31∘,求∠CAO的度数.
【答案】
【三边分别相等的两个三角形全等,SSS】
(2022河池)如图,点A,F,C,D在同一直线上,AB=DE,AF=CD,BC=EF.
求证:∠ACB=∠DFE;
连接BF,CE,直接判断四边形BFEC的形状.
证明如下:
∵AF=CD
∴AF+FC=CD+FC
即AC=DF
在△ACB和△DFB中
∵AB=DFAC=DFBC=EF
∴△ACB≌△DFE(SSS)
∴∠ACB=∠DFE
四边形BFEC是平行四边形
(EF//BC一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
2.(2021八上·南京期末)如图,AB=AD,AC=AE,BC=DE,点E在BC上.
(1)求证:∠EAC=∠BAD;
(2)若∠EAC=42∘,求∠DEB的度数.
(1)证明如下:
在△EAD和△CAB中
∵AD=ABAE=ACDE=BC
∴△EAD≌△CAB(SSS)
∴∠EAD=∠CAB
∴∠EAD-∠EAB=∠CAB-∠EAB
即∠EAC=∠BAD
(2)若∠EAC=42°
则∠DAB=42°
∵△EAD≌△CAB
∴∠D=∠B
令AB与DE相交于点F
∵∠AFD=∠BFE
∴∠DEB=∠DAB=42°
3.(2021八上南岗期末)已知:AD=BC,AC=BD.
(1)如图1,求证:AE=BE;
(2)如图2,若AB=AC,∠D=2∠BAC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个度数为36∘的角.
(1)证明如下:
在△ABD和△BAC中
∵AD=BCAB=BAAC=BD
∴△ABD≌△BAC(SSS)
∴∠D=∠C
在△ADE和△BCE中
∵∠D=∠C∠DEA=∠CEBAD=BC
∴△ADE≌△BCE(AAS)
∴AE=BC
(2)∠CAB、∠ABE、∠CBE、∠DAE
(2021八上·鞍山期末)如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF.证明
(1)∠D=∠B;
(2)AC与BD互相平分.
证明如下:
在△ADE和△CBF中
∵AD=CBAE=CFDE=BF
∴△ADE≌△CBF(SSS)
∴∠D=∠B
由(1)可知∠D=∠B
在△AOD和△COB中
∵∠AOD=∠COB∠D=∠BAD=BC
∴△AOD≌△COB(AAS)
∴OB=OD,OA=OC
5.(2021八上双辽期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=30∘,点D是△ABC内一点,DB=DC,∠DCB=30∘,点E是BD延长线上一点,AE=AB.
(1)求∠ADB的度数;
(2)线段DE,AD,DC之间有什么数量关系?请说明理由.(提示:在线段DE上截取线段EM=BD,连接线段AM或者在线段DE上截取线DM=AD连接线段AM).
在△ADB和△ADC中
∵AB=ACAD=ADBD=CD
∴△ADB≌△ADC(SSS)
∴∠ADB=∠ADC
∵∠DCB=30°,BD=CD
∴∠CDE=2∠DCB=60°
∴∠ADB=12(180°+∠CDE)=120°
猜想:CD+AD=DE
在DE上截取一点M,使DM=AD
∵∠ADE=∠ADC-∠CDE=120°-60°=60°
∴△ADM是等边三角形
∴AM=AD,∠AMD=60°
∴∠AME=120°=∠ADB
∵AB=AE
∴∠ABD=∠AEM
在△ABD和△AME中
∵∠ABD=∠AEM∠ADB=∠AMEAB=AE
∴△ABD≌△AME
∴ME=BD=CD,
∵DM+ME=DE
即AD+CD=DE
M
【两边及其夹角分别相等的两个三角形】
6.(2022八上海曙期中)如图,已知点P是等边△ABC内一点,连结PA,PB,PC,D为△ABC外一点,且∠DAP=60∘,连结DP,DC,AD=DP.
(1)求证:△ADC≅△APB.
(2)若PA=12,PB=5,PC=13,求∠APB的度数.
∵△APD是等边三角形
∴∠BAC=60°
∴∠BAC-∠PAC=∠PAD-∠PAC
即∠BAP=∠CAD
在△APB和△ADC中
∵AB=AC∠BAP=∠CADAP=AD
∴△APB≌△ADC(SAS)
(2)
∵△APB≌△ADC
∴CD=PB=5,
∵PD=AD=12,PC=13
在△PDC中
∵PD2+CD2=122+52=169
PC2=132=169
∴∠PDC=90°
∴∠ADC=∠ADP+∠PDC=150°
∴∠APB=∠ADC=150°
7.(2022八上新昌期中)如图
(1)如图1,在△ABC中,AD为BC边上的中线,延长AD至E,使DE=AD,连结BE.求证:△ACD≅△BDE.
(2)如图2,在△ABC中,AC=5,BC=13,D为AB的中点,DC⊥AC.求△ABC的面积.
证明如下:∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
在△ADC和△BDE中
∵AD=ED∠BDE=∠CDABD=CD
∴△ACD≌△BDE(SAS)
延长CD至点H,使CD=DH
连接BH
∵D为AB中点
∴AD=BD
在△ADC和△BDH
∵AD=BD∠ADC=∠BDHCD=DH
∴△ADC≌△BDH(SAS)
∴∠CHB=∠ACD=90°,BH=AC=5
在Rt△CHB中
∵BH=BC2−BH2=12
∴CD=12BH=6
∴S△ABC=2S△ADC=2×12CD×AC=30
8.(2022八上.青田月考)如图在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90∘.
(1)当点D在AC上时,如图(1),求证:BD=CE.
(2) 将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角0∘<α<90∘,如图②,线段BD、CE仍相等吗?请说明理由.
(3)在图(2)中线段BD、CE有怎样的位置关系?请说明理由.
【解析】
只要证Rt△BAD≌Rt△EAC(SAS),再利用全等三角形的性质,说明BD=CE
线段BD与CE依旧相等;利用角度的和差关系,说明∠BAD=
∠CAE;再证△BAD全等于△CAE(SAS)
BD与CD位置关系式垂直,利用八字模型,∠BHC=∠BAC进行等量代换可证
9.((2022八上柯桥月考)如图,△ABC与△ADE都是等边三角形(三条边都相等,三个内角都相等的三角形),连接BD、CE交点记为点F.
(1)BD与CE相等吗?请说明理由.
(2)你能求出BD与CE的夹角∠BFC的度数吗?
(3)若将已知条件改为:四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形,连接BE、DG,交点记为点M(如图).请直接写出线段BE和DG之间的关系?
【解析】
先利用角度的和差关系,说明∠BAD=∠CAE,再证△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE
BD与CE的夹角∠BFC=60°。利用点A、B、C、F构造的八字模型
说明∠BFC=∠BAC=60°
(3)BE与DG互相垂直且相等;先证△ABE和△ADG旋转全等;再利用A、B、D、M所构造的八字模型,说明∠BMD=∠BAD=90°
10.(2022九上温州开学考)如图,在△ABC和△AED中,AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD,且点E, A,B在同一直线上,点C,D在EB同侧,连结BD,CE交于点M.
(1)求证:△ABD≅△ACE;
(2)若∠CAD=100∘,求∠DME的度数.
【解析】
(1)手拉手旋转全等,先利用角度和差关系说明∠EAC=∠DAB(SAS)
易证△ABD≅△ACE(SAS)
若∠CAD=100°则∠EAM=12(180°−∠CAD)=40°
以E、A、M、D形成的八字模型,说明∠DME=∠DAE=40°
11.(2021九上-泗水期中)如图:
图1 图2 图3
如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D为BC边上一点(不与点B、C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接EC,则:
(1)∠ACE的度数是_______;
线段AC,CD,CE之间的数量关系是_________;
(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90∘,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE,连接EC,请写出∠ACE的度数及线段AD,BD,CD之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,在Rt△DBC中,DB=3,DC=5,∠BDC=90∘,若点A满足AB=AC,∠BAC=90∘,请直接写出线段AD的长度.
【解析】
(1)∠ACE=∠B=12(180°-∠BAC)=60°;AC=CD+CE;
(2)∠ACE=∠ABC=45°;BD+CD=2AD;手拉手旋转全等模型,证△ABD≌△ACE(SAS)
由(2)可知,AD=42
【两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,ASA】
12.(2022七下.平远期末)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,F,E分别是AD及其延长线上的点
(1)如果CF//BE,说明:△BDE≌△CDF;
(2)若CF,BE是△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线,垂足分别为E、F,请猜想BF与CE的位置关系?并说明理由.
【解析】(1)∵CF//BE
∴∠DBE=∠DCF
∵AD是BC边上的中线,易证△BDE≌△CDF(SAS)属于倍长中线的全等模型;
(2)BF和CE平行,只要证出△BFC≌△CBE(SAS),方法如一
13.(2022八上柯桥月考)如图,△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BD,CE相交于点F,∠A=60∘
(1)求∠BFC的度数.
(2)求证:BC=BE+CD.
【解析】第一问属于半角模型,∠BEC=12∠A+90°=120°
(2)在BC上截取一点G,使得BE=BG;利用角平分线全等模型,分别证得△EBF≌△GBF(SAS),△CGF≌△CDF(ASA)
∴BC=BG+CG=BE+CD
14.(2022八上雨花开学考)已知:∠C=∠D,OC=OD.
(1)证明:△OAD≅△OBC;
(2)若∠O=72∘,∠C=20∘,求∠DAC的度数.
【解析】
(1)易证△OAD≅△OBC(ASA)
(2)连接CD,∠DAC=∠O+∠D=∠O+∠C=92°
15.(2022:襄阳)如图,在△ABC中,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.
(1)作∠ACB的角平分线,交AB于点E(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)求证:AD=AE.
【解析】
(1)作法:①以C为圆心,以适当长为半径画弧,交CA和CB分别于两点M,N,再以M,N为圆心,同一半径画弧交于另外一点;
③将该点连接C点,与AB交于点E
(2)易证△ABD≌△ACE(AAS)
16.(2022七下钢城期末)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90∘,点E是AB边的中点,点F,G分别在AC,BC上,且EF⊥EG.
(1)求证:AF=CG;
(2)若AC=2,求四边形CFEG的面积.
【解析】(1)连接CE,易证△AEF≌△CEG(ASA)
(2)四边形CFEG的面积通过割补,等同△AEC的面积,即S四边形CFEG=S△AEC=12S△ABC=1
17.(2022八下昭通期末)如图,直线AB,CD相交于点E,AD=BC,AD∥BC.
(1)求证:AE=BE;
(2)连接AC,BD,当∠AEC=90∘时,判断四边形ADBC的形状,并请证明你的结论.
【解析】(1)证△ADE≌△CBE(AAS)
(2)平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.AAS】
18.(2022八上绵阳月考)如图,在^ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D、E
(1)求证:CD=BE;
(2)若DE=3,BE=2,求AD的长.
【解析】
(1)证△CBE≌△ACD(AAS)则CD=BE
(2)由(1)可知,BE=CD,AD=CE=CD+DE=3+2=5;
19.(2022九上台州月考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90∘,分别过点B,C向过点A的直线作垂线,垂足分别为点E,F.
(1)如图(1),过点A的直线与叙边BC不相交时,
求证:(1)△ABE≌△CAF ;
(2)EF=BE+CF.
(2)如图(2),其他条件不变,过点A的直线与斜边BC相交时,若BE=10,CF=3,试求EF的长.
【解析】
一线三等角的全等模型;△ABE≌△CAF(AAS)
由(1)可知,△ABE≌△CAF,EF=AE+AF=BE+CF=13
20.(2022八上拱埋月考)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40∘,点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合),连结AD,作∠ADE=40∘,DE交线段AC于点E.
(1)当∠BDA=115∘时,∠BAD=________,∴∠DEC=__________°;
(2)当DC=AB=2时,△ABD与△DCE是否全等?请说明理由;
(3)在点D运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠AED的度数;若不可以,请说明理由.
【解析】
(1)∠BAD=25°,∠DEC=115°
(2)△ABD≌△DCE(ASA)
(3)可以,①DE=AE②DA=DE,再具体分析即可;
21.(2022八下法库期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,CD⊥AB于点D,BO平分∠DBC,交CO于点O,OE∥AC,交AB于点E,连接CE.
(1)求证:△BOE≅△BOC;
(2)求证:CE平分∠ACD;
(3)若BC=10,BD=6,请直接写出OB的长度.
证明如下:
(1)角平分线全等模型,易证△BOE≅△BOC(AAS)
∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠OCB=90°
∵CD⊥AB
∴∠OEB+∠EOD=90°
∴AC//OE
∴∠EOD=∠ACD
∴∠OCB=∠OED
∵BO平分∠DBC
∴∠OBE=∠OBC
在△OBE和△OBC中
∵∠OBE=∠OBC∠OCB=∠OEDOB=OB
∴△OBE≌△OBC(AAS)
由(1)可知,△OBE≌△OBC
∴OC=OE
∴∠OEC=∠OCE
∵AC//EO
∴∠OEC=∠ACE
∴∠ACE=∠OCE
∴CE平分∠ACD
22.(2022七下长清期末)如图,已知点C、点D都在线段AF上,AC=DF,BC//EF,∠B=∠E.求证:
(1)△ABC≌△DEF
(2)AB//DE
(1)证明如下:∵BC//EF
∴∠ACB=∠DFE
在△ABC和△DEF中
∵AC=DF∠ACB=∠DFEBC=EF
∴△ABC≌△DEF(SAS)
由(1)可知
∵△ABC≌△DEF
∴∠BAC=∠EDF
∴AB//DE
23.(2022七下·章丘期末)
(1)模型的发现:
如图1,在△ABC中,∠BAC=90∘,AB=AC,直线1经过点A,且B、C两点在直线l的同伅,BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点DE.请直接写出DE、BD和CE的数量关系.
(2)模型的迁移1:位置的改变
如图2,在(1)的条件下,若B,C两点在直线l的异侧,请说明DE、BD和CE的关系,并证明.
(3)模型的迁移2:角度的改变
如图3,在(1)的条件下,若三个直角都变为了相等的钝角,即∠BAC=∠1=∠2=α,其中90∘<α<180∘,
(1)的结论还成立吗?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明DE、BD和CE的关系,并证明.
【解析】对于一线三等角的全等模型,利用SAS的判定定理,重点在于两组等边的夹角相等,常利用角度的和差关系。证明其相等;
再利用这组全等,找到对应边相等,进行线段的转化。
24.(2022七下新城期末)如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠B=35∘,E是BC边上一点且AE=CE,D是BC边上的中点,连接AD,AE.
(1)求∠DAE的度数;
(2)若BD上存在点F,连接AF,且∠AFE=∠AEF,试判断BF与CE之间的数量关系,并说明理由.
【解析】(1)利用等边对等角,三角形内角和定理以及互余关系,进行角度的转化;∠DAE=90°-∠AED=90°-(∠C+∠EAC)=90°-2∠B=20°
(2)BF=CE,只要证得△AFD≌△AED,得DF=DE,再利用BD=CD(等腰△ABC三线合一),线段的和差关系。
【斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.HL】
25.(2022八上新昌期中)如图,在△ABC中,BE=BF,∠ABC=90∘,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≅Rt△CBF.
(2)延长AE交CF于点D,请判断直线AE与CF的位置关系。
【解析】
(1)∵∠ABC=90°
∴∠CBF=90°
在Rt△CBF和Rt△ABE中
∵AE=CFBE=BF
∴Rt△CBF≌Rt△ABE(HL)
(2)AE⊥CF
证明如下:由(1)可知,Rt△CBF≌Rt△ABE
∴∠DCB=∠EAB
∵∠CED=∠AEB
∴∠CDE=∠CBA=90°
26.(2022八上柳城期中)如图:在△ABC中,∠C=90∘,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF,证明:
(1)CF=EB.
(2)AB=AF+2 EB.
【解析】
先利用角平分线全等模型,证明Rt△CAD≌Rt△EAD(AAS)
∴CD=ED又BD=DF,∠FCD=∠BED=90°
∴Rt△FCD≌Rt△BED(HL)
∴CF=EB
(2)由(1)可知,AB=AE+BE=AC+BE=AF+CF+BE=AF+2BE
27.(2022八下·永定期末)如图,AD、BC相交于点O,AD=BC,∠C=∠D=90∘.
(1)求证:△ACB≅△BDA;
(2)若∠ABC=31∘,求∠CAO的度数.
【解析】
(1)利用HL的判定,证得△ACB≅△BDA;
(2)若∠ABC=31°,∴∠CAB=59°
∵OA=OB,∴∠OAB=∠ABC=31°
∴∠CAO=∠CAB-∠OAB=28°
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