北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.3 函数的最值导学案及答案

6．3　函数的最值

[教材要点]

要点　函数的最值与导数

1．最大值点与最小值点

函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都________f(x0)．

函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都________f(x0)．

2．最大值与最小值

最大(小)值或者在______________取得，或者在______________取得．因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的________进行比较，其中________________即为函数的最大(小)值．

函数的最大值和最小值统称为________．

状元随笔　(1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部区间上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．

(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值．

(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．(　　)

(2)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)

(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值．(　　)

(4)若函数在给定区间上有最值，则最大(小)值最多有一个；若有极值，则可有多个．(　　)

2．函数f(x)＝4x－x4在x∈[－1，2]上的最大值、最小值分别是(　　)

A．f(1)与f(－1)    B．f(1)与f(2)

C．f(－1)与f(2)    D．f(2)与f(－1)

3．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上(　　)

A．无最值    B．有极值

C．有最大值    D．有最小值

4．已知函数f(x)＝sin x－2x－a，若f(x)在[0，π]上的最大值为－1，则实数a的值是________．

题型一　求函数的最值

例1　求下列函数的最值．

(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1，3]；

(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0，2π].

方法归纳

导数法求函数最值

(1)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出在(a，b)内使导数为0的点，同时还要找出导数不存在的点．

(2)比较三类点处的函数值：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在[a，b]上的最大值，最小者便是f(x)在[a，b]上的最小值．

跟踪训练1　(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4，4]上的最大值为(　　)

A．11    B．－70

C．－14    D．－21

(2)函数y＝x ln x的最小值为(　　)

A．－e－1    B．－e

C．e2 D．－

题型二　含参数的最值问题

例2　已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值．

变式探究1　本例中再加“a>0”这一条件，求函数f(x)在[－a，2a]上的最值．

方法归纳

(1)含参数的函数最值问题的两类情况

①能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题．

②对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．

(2)已知函数最值求参数值(范围)的思路

已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围．

跟踪训练2　已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．设g(x)是函数f(x)的导函数．

(1)求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值．

(2)当b＝0时，若函数g(x)在区间[0，1]上的最小值为0，求a的值．

题型三　函数的最值与不等式问题

例3　已知函数f(x)＝(x－1)3＋m.

(1)若f(1)＝1，求函数f(x)的单调区间；

(2)若关于x的不等式f(x)≥x3－1在区间[1，2]上恒成立，求m的取值范围．

变式探究2　本例(2)中的条件“关于x的不等式f(x)≥x3－1在区间[1，2]上恒成立”改为“关于x的不等式f(x)≥x3－1在区间[1，2]上有解”，则实数m的取值范围又如何？

方法归纳

有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时要确定这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数．

一般地，λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.

跟踪训练3　已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．

易错辨析　混淆极值与最值致错

例4　已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，在x＝－2和x＝处取得极值．

(1)求函数f(x)的解析式．

(2)求函数f(x)在[－4，1]上的最值．

解析：(1)因为f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，所以f′(x)＝3x2－2ax＋b，因为在x＝－2和x＝处取得极值，

所以解得

所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.

(2)因为f′(x)＝3x2＋4x－4，所以由f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝，所以f(x)在[－4，－2)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

因为f(－4)＝－11，f(－2)＝13，f＝，f(1)＝4.所以f(x)max＝f(－2)＝13，f(x)min＝f(－4)＝－11.

【易错警示】

[课堂十分钟]

1．函数f(x)＝x2ex，x∈[－2，1]的最大值为(　　)

A．4e－2    B．0

C．e2 D．e

2．函数y＝x＋2cos x在[0，]上取最大值时，x的值为(　　)

A．0    B．

C．    D．

3．已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在[a，2]上的最大值为，则a的值为(　　)

A．－    B．

C．－    D．或－

4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是________．

5．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．

(1)求f(x)的表达式．

(2)求g(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值．

6．3　函数的最值

新知初探·课前预习

要点

1．不超过　不低于

2．极大(小)值点　区间的端点　函数值　最大(小)的值　最值

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2．解析：f′(x)＝4－4x3，令f′(x)>0，

即4－4x3>0⇒x<1，f′(x)<0⇒x>1.

∴f(x)＝4x－x4在x＝1时取得极大值，且f(1)＝3，而f(－1)＝－5，f(2)＝－8，

∴f(x)＝4x－x4在[－1，2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，故选B.

答案：B

3．解析：f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．

答案：A

4．解析：f′(x)＝cos x－2<0

∴函数f(x)在[0，π]上单调递减

∴f(x)max＝f(0)＝－a＝－1

故a＝1.

答案：1

题型探究·课堂解透

题型一

例1　解析：(1)f(x)＝2x3－12x，

∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，

令f′(x)＝0解得x＝－或x＝.

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

因为f(－1)＝10，f(3)＝18，f()＝－8，

所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；

当x＝3时，f(x)取得最大值18.

(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，

又x∈[0，2π]，解得x＝π或x＝π.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：

∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；

当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.

跟踪训练1　解析：(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6的导数为f′(x)＝3x2－6x－9，

令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3，

由f(－4)＝－70；f(－1)＝11；

f(3)＝－21；f(4)＝－14；

所以函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4，4]上的最大值为11.故选A.

(2)因为y＝x ln x，定义域是(0，＋∞)，所以y′＝1＋ln x，

令y′>0，解得：x>，

令y′<0，解得：0<x<，

所以函数在上递减，在上递增，

故x＝时，函数取最小值是－.故选A.

答案：(1)A　(2)A

题型二

例2　解析：f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，

令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a.

①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝－a3.

②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以＝f(0)＝0.

③当a<0时，f(x)在上单调递减，在[－，＋∞)上单调递增，

所以f(x)min＝f＝a3.

综上所述，当a>0时，f(x)min＝－a3；

当a＝0时，f(x)min＝0；当a<0时，f(x)min＝a3.

变式探究1　解析：f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，

令f′(x)＝0，得x1＝－<x2＝a.

所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在[a，2a]上单调递增．

所以f(－a)＝－a3，f＝a3，f(a)＝－a3，

f(2a)＝2a3，所以f(x)max＝f(2a)＝2a3，f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3.

跟踪训练2　解析：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，

有g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.所以g′(x)＝ex－2a.

因此，当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a].

当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，

因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；当a≥时，

g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，

因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；

当<a<时，令g′(x)＝0，得x＝ln (2a)∈(0，1)，

所以函数g(x)在区间[0，ln (2a)]上单调递减，在区间(ln (2a)，1]上单调递增．

于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln (2a))＝2a－ 2a ln (2a)－b.

综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；

当<a<时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln (2a))＝2a－2a ln (2a)－b；

当a≥时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.

(2)当b＝0时，由(1)知，

若a≤，则g(x)min＝g(0)＝1，不符合题意，

若<a<，则g(x)min＝2a－2a ln (2a)，

令2a－2a ln (2a)＝0，解得a＝(舍去)．

若a≥，则g(x)min＝e－2a＝0得a＝.

综上所述a＝.

题型三

例3　解析：(1)因为f(1)＝1，所以m＝1，

则f(x)＝(x－1)3＋1＝x3－3x2＋3x，

而f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，

所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．

(2)不等式f(x)≥x3－1在区间[1，2]上恒成立，即不等式3x2－3x－m≤0在区间[1，2]上恒成立，

即不等式m≥3x2－3x在区间[1，2]上恒成立，即m不小于3x2－3x在区间[1，2]上的最大值．

因为x∈[1，2]时，

3x2－3x＝3－∈[0，6]，

所以m的取值范围是[6，＋∞)．

变式探究2　解析：不等式f(x)≥x3－1在区间[1，2]上有解，即不等式3x2－3x－m≤0在区间[1，2]上有解，

即不等式m≥3x2－3x在区间[1，2]上有解，即m不小于3x2－3x在区间[1，2]上的最小值．

因为x∈[1，2]时，

3x2－3x＝3－∈[0，6]，

所以m的取值范围是[0，＋∞)．

跟踪训练3　解析：由题意知f(1)＝－3－c

因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.

对f(x)求导，得f′(x)＝4ax3ln x＋ax4·＋4bx3＝x3(4a ln x＋a＋4b)．

由题意，知f′(1)＝0，

得a＋4b＝0，解得a＝12，

从而f′(x)＝48x3ln x(x>0)．

令f′(x)＝0，解得x＝1.

当0<x<1时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；

当x>1时，f′(x)>0，此时f (x)为增函数．

所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3－c，

并且此极小值也是最小值．

所以要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，

只需－3－c≥－2c2即可．

整理得2c2－c－3≥0，解得c≥或c≤－1.

所以c的取值范围为(－∞，－1].

[课堂十分钟]

1．解析：因为f′(x)＝(x2＋2x)·ex＝x(x＋2)·ex，令f′(x)＝0，x＝0或x＝－2，所以f(x)在(－2，0)单调递减，在(0，1)单调递增．又f(－2)＝<1，f(1)＝e>1，所以f(x)max＝e.故选D.

答案：D

2．解析：y′＝1－2sin x，

令y′＝1－2sin x＝0，

得sin x＝.

又x∈[0，]，

∴x＝.

当x∈(0，)时，f′(x)>0，

当x∈()时，f′(x)<0，

∴当x＝时，f(x)取最大值，最大值为.

故选B.

答案：B

3．解析：当a≤－1时，最大值为4，不合题意；当－1<a<2时，f(x)在[a，2]上是减函数，此时f(a)最大，所以－a2－2a＋3＝，解得a＝－或a＝－(舍去)．

故选C.

答案：C

4．解析：f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．当a≤0时，f′(x)>0，

所以f(x)在(0，1)内单调递增，无最小值．

当a>0时，f′(x)＝3(x－)(x＋)．

当x∈(－∞，－)和(，＋∞)时，f(x)单调递增；

当x∈(－)时，f(x)单调递减，

所以当<1，即0<a<1时，f(x)在(0，1)内有最小值．

答案：(0，1)

5．解析：(1)因为f′(x)＝3ax2＋2x＋b，

所以g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.

因为g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，

从而3a＋1＝0，b＝0，

解得a＝－，b＝0，

∴f(x)的表达式为f(x)＝－x3＋x2.

(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，

所以g′(x)＝－x2＋2，令g′(x)＝0.

解得x1＝－(舍去)，x2＝，

而g(1)＝，g()＝，g(2)＝，

因此g(x)在区间[1，2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.