高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.1 正弦函数的图象与性质再认识一课一练

课后素养落实(六)　正弦函数的图象与性质再认识

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是(　　)

A．y轴     B．x轴

C．直线x＝   D．直线x＝π

[答案]　C

2．函数f(x)＝1＋sin x的最小正周期是(　　)

A．    B．π    C．    D．2π

[答案]　D

3．与图中曲线对应的函数是(　　)

A.y＝|sin x|     B．y＝sin |x|

C．y＝－sin |x|   D．y＝－|sin x|

C　[当x＝时，y<0，可排除A，B；当x＝时，y>0，可排除D，故选C.]

4．已知函数y＝2sin x，x∈的图象与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为(　　)

A．4     B．8

C．4π     D．2π

C　[数形结合，如图所示：

y＝2sin x，x∈[，]的图象与直线y＝2围成的封闭平面图形的面积相当于由x＝，x＝，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝×2＝4π.]

5．方程|sin x|＝的根中，在[0，2]内的有(　　)

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

A　[如图所示，在区间[0，π]内|sin x|＝的两个根为和，又因为2＜，所以在区间[0，2]内|sin x|＝只有一个根.

]

二、填空题

6．函数y＝sin x在[0，2π]上的单调递减区间为________，最大值为________．

[答案]　　1

7．函数f(x)＝x3＋sin x＋1，x∈R.若f＝2，则f(－a)的值为________．

0　[∵f＝2，∴a3＋sin a＋1＝2.∴a3＋sin a＝1.

∴f＝＋sin ＋1＝－＋1＝－1＋1＝0.]

8．函数f(x)＝3sin x－x的零点个数为________．

3　[由f(x)＝0得sin x＝，画出y＝sin x和y＝的图象如图，可知有3个交点，则f(x)＝3sin x－x有3个零点．

]

三、解答题

9．比较下列各组数的大小．

(1)sin 265°和cos 165°；(2)sin 和cos .

[解]　(1)sin 265°＝sin ＝－sin 85°，

cos 165°＝cos ＝－cos 15°＝－sin 75°，

∵sin 85°>sin 75°，

∴－sin 85°<－sin 75°，即sin 265°<cos 165°.

(2)cos ＝sin ，又<<＋<，

y＝sin x在上是递减的，

∴sin >sin ＝cos ，即sin >cos .

10．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题．

(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．

①y>1；②y<1；

(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．

[解]　列表如下：

描点连线得：

(1)由图象可知图象在y＝1上方部分时y>1，在y＝1下方部分时y<1，

所以①当x∈(－π，0)时，y>1；

②当x∈(0，π)时，y<1.

(2)当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]有两个交点时，1<a<3或－1<a<1，

所以a的取值范围是{a|1<a<3或－1<a<1}．

11．函数f(x)＝的最小正周期是(　　)

A．2π    B．π    C．    D．

B　[画出函数f(x)＝的图象(图略)，易知其最小正周期是π.]

12．方程sin x＝的根的个数是(　　)

A．7    B．8    C．9    D．10

A　[在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示：

根据图象可知方程有7个根．]

13．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为________．

　[∵f(x)的最小正周期为π，

∴f＝f＝f＝sin ＝.]

14．函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝________．

3π　[如图所示，

x1＋x2＝2× ＝3π.]

15．已知函数y＝.

(1)画出这个函数的图象；

(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；

(3)指出这个函数的单调增区间．

[解]　(1)y＝

＝

其图象如图所示：

(2)由图象知函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π.

(3)由图象知函数的单调增区间为

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