高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1 周期变化导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1 周期变化导学案，共5页。

了解周期性的概念和几何意义.
[教材要点]
要点 周期函数
1．一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足________，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．
2．如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个________数，那么这个________数就称作函数y＝f(x)的最小正周期．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)周期函数的周期有无数个．( )
(2)若函数f(x)＝x2满足f(－3＋6)＝f(－3)，则它是以6为周期的函数．( )
(3)钟表的分针每小时转一圈，它的变化是周期变化．( )
(4)函数f(x)＝(－1)[x]不是周期函数．( )
2．下列现象是周期现象的是( )
①日出日落 ②潮汐 ③海啸 ④地震
A．①② B．①②③
C．①②④ D．③④
3．如果今天是星期六，那么16天后的那一天是( )
A．星期一 B．星期三
C．星期四 D．星期五
4．已知函数f(x)是周期为5的奇函数，则f(2 020)＝________.
题型一 周期性的判断——自主完成
1．下列函数图象中，不具有周期性的是( )
2．下列图象中，是不是周期变化，如果是，写出它的周期，如果不是，请说明理由．
(1)
(2)
(3)
(4)
方法归纳
一些变化是不是周期变化，其判断的依据是周期变化的特征，即每次都以相同的间隔出现，而且变化是无差别的重复出现．
题型二 利用周期性求函数值——师生共研
例1 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( )
A．－2 B．2
C．－98 D．98
变式探究1 本例中的条件“f(x＋4)＝f(x)”改为“f(x＋2)＝－f(x)”，其它条件不变，结果如何呢？
变式探究2 本例中的条件“f(x＋4)＝f(x)”改为“f(x＋2)＝eq \f(1,fx)”，其它条件不变，结果如何呢？
变式探究3 本例中的条件“f(x＋4)＝f(x)”改为“f(x＋2)＝－eq \f(1,fx)”，其它条件不变，结果如何呢？
方法归纳
判断函数周期性的三个常用结论
(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2a是它的一个周期．
(2)f(x＋a)＝eq \f(1,fx)(a≠0)，则函数f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
(3)f(x＋a)＝－eq \f(1,fx)(a≠0)，则函数f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
题型三 利用函数的周期性求函数解析式——师生共研
例2 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；
(2)若f(x)＝eq \r(x)(0方法归纳
(1)遇到周期问题，要学会区间转移，将未知区间中的x加减整周期，转化到已知区间，再将含x式子代入已知函数．
(2)遇到周期性＋奇偶性综合问题，可根据条件，求出一个周期上的函数关系．
跟踪训练 函数f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝3x－1，求f(x)在[4,5]上的解析式．
第一章 三角函数
§1 周期变化
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1．f(x＋T)＝f(x) 2.最小的正 最小正
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．解析：显然日出日落和潮汐是周期现象．故选A.
答案：A
3．解析：因为16＝7×2＋2，而今天是星期六，所以16天后的那一天是星期一．
答案：A
4．解析：由题意知f(2 020)＝f(5×404)＝f(0)＝0.
答案：0
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：C中，x∈[－2,2]之间的图象在前后都没有重复出现．
答案：C
2．解析：(1)是周期变化，周期为π.
(2)是周期变化，周期为π.
(3)不是周期变化，因为每段的端点不一致，不是重复出现．
(4)是周期变化，周期为1.
题型二
例1 解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数，
∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)．
又∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(－1)＝－f(1)
而当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2，
∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.
答案：A
变式探究1 解析：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的函数．
(下同例1)．
变式探究2 解析：∵f(x＋2)＝eq \f(1,fx)，∴f(x＋4)＝eq \f(1,fx＋2)＝eq \f(1,\f(1,fx))＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的函数．
(下同例1)．
变式探究3 解析：∵f(x＋2)＝－eq \f(1,fx)，∴f(x＋4)＝－eq \f(1,fx＋2)＝－eq \f(1,－\f(1,fx))＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的函数．
(下同例1)．
题型三
例2 解析：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)，
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)．
故f(x＋2)＝－f(x)，
从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即f(x)是周期为4的周期函数．
(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数有f(0)＝0，x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－eq \r(－x)，
故x∈[－1,0]时，f(x)＝－eq \r(－x)，
x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0)
f(x)＝f(x＋4)＝－eq \r(－x－4)
从而x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－eq \r(－x－4).
跟踪训练 解析：当x∈[4,5]时，则x－4∈[0,1]，∴f(x－4)＝3x－4－1，又函数f(x)的周期为2，∴f(x－4)＝f(x)＝3x－4－1，故f(x)＝3x－4－1，x∈[4,5]．