新高考数学一轮复习课时讲练 第4章 第7讲　正弦定理与余弦定理 (含解析)

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第7讲　正弦定理与余弦定理


1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
变形形式
a＝2Rsin__A，b＝2Rsin__B，
c＝2Rsin__C；
sin A＝，sin B＝，
sin C＝；
a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
＝
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.三角形解的判断

A为锐角
A为钝角
或直角
图形




关系式
a＝bsin A
bsin A a≥b
a>b
解的
个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝bcsin A＝acsin__B＝absin C；
(3)S＝，其中p＝(a＋b＋c)．

[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.(　　)
(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．(　　)
(3)在△ABC中，sin A>sin B的充分不必要条件是A>B.(　　)
(4)在△ABC中，a2＋b2 (5)在△ABC的角A，B，C，边长a，b，c中，已知任意三个可求其他三个．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
[教材衍化]
1．(必修5P10A组T4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C.因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝π.
2．(必修5P18练习T1改编)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
解析：因为＝，所以sin B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC＝×2×2＝2.
答案：2
[易错纠偏]
(1)利用正弦定理求角时解的个数弄错；
(2)在△ABC中角与角的正弦关系弄错；
(3)判断三角形形状时弄错．
1．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
解析：选C.由正弦定理得＝，
所以sin B＝＝＝>1.
所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
2．在△ABC中，若sin A＝sin B，则A，B的关系为________；若sin A>sin B，则A，B的关系为________．
解析：sin A＝sin B⇔a＝b⇔A＝B；
sin A>sin B⇔a>b⇔A>B.
答案：A＝B　A>B
3．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．
解析：由正弦定理，得sin Acos A＝sin BcosB，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．
答案：等腰三角形或直角三角形


　　　　　　利用正弦、余弦定理解三角形(高频考点)
利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．主要命题角度有：
(1)由已知求边和角；
(2)三角恒等变换与解三角形．
角度一　由已知求边和角
(1)(2020·金华市东阳二中高三调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3bcos A＝ccos A＋acos C，则tan A的值是(　　)
A．－2　　　　　　　　 B．－
C．2 D.
(2)(2019·高考浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________．
【解析】　(1)因为△ABC中，由余弦定理得
ccos A＋acos C＝c×＋a×＝b.
所以根据题意，3bcos A＝ccos A＋acos C＝b，
两边约去b，得3cos A＝1，所以cos A＝>0，
所以A为锐角，且sin A＝＝，
因此，tan A＝＝2.
(2)在Rt△ABC中，易得AC＝5，sin C＝＝.在△BCD中，由正弦定理得BD＝×sin∠BCD＝×＝，sin∠DBC＝sin[π－(∠BCD＋∠BDC)]＝sin(∠BCD＋∠BDC)＝sin ∠BCDcos∠BDC＋cos∠BCDsin∠BDC＝×＋×＝.又∠ABD＋∠DBC＝，所以cos∠ABD＝sin∠DBC＝.
【答案】　(1)C　(2)　
角度二　三角恒等变换与解三角形
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若cos B＝，求cos C的值．
【解】　(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C
＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，
故0＜A－B＜π，
所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，
所以A＝2B.
(2)由cos B＝得sin B＝，
cos 2B＝2cos2B－1＝－，
故cos A＝－，sin A＝，
cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝.

(变问法)本例条件不变，若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
解：由S＝，得absin C＝，故有
sin Bsin C＝sin 2B＝sin Bcos B，
因为sin B≠0，所以sin C＝cos B，
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.

(1)正、余弦定理的选用
解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
(2)三角形解的个数的判断
已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．　

1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C·(sin A＋cos A)＝0，因为sin C≠0，所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1，因为A∈(0，π)，所以A＝，由正弦定理得sin C＝＝＝，又0 2．(2020·绍兴市一中高三期末检测)△ABC中，D为线段BC的中点，AB＝2AC＝2，tan∠CAD＝sin∠BAC，则BC＝________．
解析：由正弦定理可知＝2，又tan∠CAD＝sin∠BAC，则＝sin(∠CAD＋∠BAD)，利用三角恒等变形可化为cos∠BAC＝，据余弦定理BC＝＝＝.
答案：

　　　　　　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形　　　　　　　　 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)若a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，那么△ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【解析】　(1)由正弦定理得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，则sin(B＋C)＝sin2A，由三角形内角和，得sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，即sin A＝1，所以∠A＝.即△ABC为直角三角形．
(2)法一：利用边的关系来判断：
由正弦定理得＝，由2cos Asin B＝sin C，有cos A＝＝.
又由余弦定理得cos A＝，
所以＝，
即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，
所以a＝b.又因为a2＋b2－c2＝ab.
所以2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，所以b＝c，所以a＝b＝c.
所以△ABC为等边三角形．
法二：利用角的关系来判断：
因为A＋B＋C＝180°，所以sin C＝sin(A＋B)，
又因为2cos Asin B＝sin C，
所以2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin(A－B)＝0.
又因为A与B均为△ABC的内角，所以A＝B，
又由a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理，得cos C＝＝＝，
又0° 所以△ABC为等边三角形．
【答案】　(1)A　(2)D

判定三角形形状的两种常用途径

[提醒]　“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．　

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC为(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
解析：选A.已知＜cos A，由正弦定理，得＜cos A，即sin C＜sin Bcos A，所以sin(A＋B)＜sin Bcos A，即sin Bcos A＋cos Bsin A－sin Bcos A＜0，所以cos Bsin A＜0.又sin A＞0，于是有cos B＜0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．
2．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2c，则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
解析：选C.因为＋＝2c，所以由正弦定理可得＋＝2sin C，而＋≥2＝2，当且仅当sin A＝sin B时取等号，所以2sin C≥2，即sin C≥1.
又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以∠C＝90°.又因为sin A＝sin B，可得A＝B，故三角形为等腰直角三角形，故选C.

　　　　　　与三角形面积有关的问题(高频考点)
求解与三角形面积有关的问题是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．主要命题角度有：
(1)求三角形的面积；
(2)已知三角形的面积解三角形；
(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．
角度一　求三角形的面积
(1)(2020·台州市高考模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，2b－c＝2acos C，sin C＝，则△ABC的面积为(　　)
A. B.
C.或 D.或
(2)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．
【解析】　(1)因为2b－c＝2acos C，
所以由正弦定理可得2sin B－ sin C＝2sin Acos C，
所以2sin(A＋C)－sin C＝2sin Acos C，
所以2cos Asin C＝sin C，
所以cos A＝，所以A＝30°，
因为sin C＝，所以C＝60°或120°.
A＝30°，C＝60°，B＝90°，a＝1，
所以△ABC的面积为×1×2×＝，
A＝30°，C＝120°，B＝30°，a＝1，
所以△ABC的面积为×1×1×＝，故选C.
(2)在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，则sin∠ABC＝sin∠CBD＝，所以S△BDC＝BD·BCsin∠CBD＝.因为BD＝BC＝2，所以∠CDB＝∠ABC，则cos∠CDB＝ ＝.
【答案】　(1)C　(2)　
角度二　已知三角形的面积解三角形
(1)(2020·杭州市七校高三联考)设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC的面积为S，且S＝a2－(b－c)2，则＝________．
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.
①求tan C的值；
②若△ABC的面积为3，求b的值．
【解】　(1)因为△ABC的面积为S，且S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝bc·sin A，
所以由余弦定理可得－2bc·cos A＋2bc＝bc·sin A，
所以4－4cos A＝sin A，
所以＝＝4.故填4.
(2)①由b2－a2＝c2及正弦定理得
sin2B－＝sin2C，
所以－cos 2B＝sin2C.
又由A＝，即B＋C＝π，得
－cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C，
解得tan C＝2.
②由tan C＝2，C∈(0，π)，得
sin C＝，cos C＝.
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin，
所以sin B＝.
由正弦定理得c＝，
又因为A＝，bcsin A＝3，
所以bc＝6，
故b＝3.
角度三　求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题
(1)(2020·浙江“七彩阳光”联盟联考)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，其面积满足S△ABC＝a2，则的最大值为(　　)
A.－1 B.
C.＋1 D.＋2
(2)(2020·绍兴市一中期末检测)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acos C－c＝b.
①求角A的大小；
②若a＝3，求△ABC的周长l的取值范围．
【解】　(1)选C.根据题意，有S△ABC＝a2＝bcsin A，应用余弦定理，可得b2＋c2－2bccos A＝2bcsin A，令t＝，于是t2＋1－2tcos A＝2tsin A．于是2tsin A＋2tcos A＝t2＋1，所以2sin＝t＋，从而t＋≤2，解得t的最大值为＋1.
(2)①由acos C－c＝b得
sin Acos C－sin C＝sin B，
又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin C＝－cos Asin C，
因为sin C≠0，
所以cos A＝－，
又0＜A＜π，所以A＝.
②由正弦定理得b＝＝2sin B，c＝2sin C，
l＝a＋b＋c＝3＋2(sin B＋sin C)
＝3＋2[sin B＋sin(A＋B)]
＝3＋2
＝3＋2sin，
因为A＝，所以B∈，
所以B＋∈，
所以sin∈，
则△ABC的周长l的取值范围为(6，3＋2　]．

与三角形面积有关问题的解题策略
(1)求三角形的面积．对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．
(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．
(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．　

1．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin B＝，S△ABC＝，则b的值为________．
解析：由＝⇒＝⇒a＝c，①
由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5，②
联立①②解得a＝5，c＝2，由sin B＝且B为锐角知cos B＝，由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.
答案：
2．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，则S的最大值为________．
解析：由题意得4×bcsin A＝a2－b2－c2＋2bc，
又a2＝b2＋c2－2bccos A，代入上式得2bcsin A＝－2bccos A＋2bc，即sin A＋cos A＝1，sin＝1，又0 答案：8
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解：(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，
即c2＋2c－24＝0.
解得c＝－6(舍去)，c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
＝1.
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为.

核心素养系列9　数学运算——三角形中最值问题
一、求角的三角函数值的取值
若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C 的最小值是________．
【解析】　由sin A＋sin B＝2sin C，结合正弦定理可得a＋b＝2c，所以cos C＝＝－≥( a＝ b时取等号)，故cos C的最小值是.
【答案】　
在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求B的大小；
(2)求cos A＋cos C的最大值．
【解】　(1)由余弦定理和已知条件可得
cos B＝＝＝，
又因为0 (2)由(1)知A＋C＝，所以
cos A＋cos C＝cos A＋cos
＝cos A－cos A＋sin A
＝cos A＋sin A＝cos.
因为0
此类问题主要考查余弦定理、三角形内角和定理、辅助角公式以及三角函数的最值和基本不等式；解此类问题的关键是熟练地运用余弦定理、两角差的正余弦公式以及辅助角公式．　
二、求边的最值
(1)在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．
(2)如图，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，AB＝BC＝1，AC＝CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，BD的最大值为________．

【解析】　(1)因为＝＝＝，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A，因此AB＋2BC＝2sin C＋4sin A＝2sin＋4sin A＝5sin A＋cos A＝2sin(A＋φ)，
因为φ∈(0，2π)，A∈，所以AB＋2BC的最大值为2.
(2)设∠ACB＝θ，则∠ABC＝π－2θ，∠DCB＝θ＋，由余弦定理可知，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，即AC＝DC＝＝2cos θ，由余弦定理知，BD2＝BC2＋DC2－2BC·DCcos∠DCB，即BD2＝4cos2θ＋1－2×1×2cos θ·cos＝2cos 2θ＋2sin 2θ＋3＝2sin＋3.由0<θ<，可得<2θ＋<，则＝2＋3，此时θ＝，因此(BD)max＝＋1.
【答案】　(1)2　(2)＋1

边的最值一般通过三角形中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解．有时也可利用均值不等式求解．　
三、求三角形函数的最值
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos B＝2a＋b，若△ABC的面积S＝c，则ab的最小值为________．
【解析】　在△ABC中，2ccos B＝2a＋b，由正弦定理，得2sin Ccos B＝2sin A＋sin B．又A＝π－(B＋C)，所以sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，所以2sin Ccos B＝2sin(B＋C)＋sin B＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin B，
得2sin Bcos C＋sin B＝0，因为sin B≠0，所以cos C＝－，又0 【答案】　48

利用三角函数的有关公式，结合三角形的面积公式及正、余弦定理，将问题转化为边或角的关系，利用函数或不等式是解决此类问题的一种常规方法．　

[基础题组练]
1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．－
C. D．－
解析：选B.由题意得，b2＝ac＝2a2，b＝a，所以cos C＝＝＝－，故选B.
2．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcos C＝c(1－3cos B)，则sin C∶sin A＝(　　)
A．2∶3 B．4∶3
C．3∶1 D．3∶2
解析：选C.由正弦定理得3sin Bcos C＝sin C－3sin Ccos B，3sin(B＋C)＝sinC，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sin A＝sin C，所以sin C∶sin A＝3∶1，选C.
3．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为(　　)
A．6 B．3
C．2 D．2或3
解析：选D.因为S△ABC＝2＝bcsin A，
所以bc＝6，又因为sin A＝，所以cos A＝，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.
4．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsin A－acos B＝0，且b2＝ac，则的值为(　　)
A. B.
C．2 D．4
解析：选C.在△ABC中，由bsin A－acos B＝0，
利用正弦定理得sin Bsin A－sin Acos B＝0，
所以tan B＝，故B＝.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac，
即b2＝(a＋c)2－3ac，
又b2＝ac，所以4b2＝(a＋c)2，求得＝2.
5．(2020·杭州市高三期末检测)设点P在△ABC的边BC所在的直线上从左到右运动，设△ABP与△ACP的外接圆面积之比为λ，当点P不与B，C重合时(　　)

A．λ先变小再变大
B．当M为线段BC中点时，λ最大
C．λ先变大再变小
D．λ是一个定值
解析：选D.设△ABP与△ACP的外接圆半径分别为r1，r2，则2r1＝，2r2＝，
因为∠APB＋∠APC＝180°，
所以sin∠APB＝sin∠APC，
所以＝，
所以λ＝＝.故选D.
6．在△ABC中，·＝|－|＝3，则△ABC面积的最大值为(　　)
A.　　　　　　 　　 B.
C. D．3
解析：选B.设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为·＝|－|＝3，
所以bccos A＝a＝3.
又cos A＝≥1－＝1－，
所以cos A≥，所以0 所以△ABC的面积S＝bcsin A＝tan A≤×＝，故△ABC面积的最大值为.
7．在△ABC中，A＝，b2sin C＝4sin B，则△ABC的面积为________．
解析：因为b2sin C＝4sin B，
所以b2c＝4b，所以bc＝4，
S△ABC＝bcsin A＝×4×＝2.
答案：2
8．若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．
解析：由面积公式，得S＝×AB×AC×sin A＝10，
所以sin A＝＝.因为 A∈(0，)，所以A＝.
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos A
＝25＋64－2×5×8×cos＝49，所以BC＝7.
答案：7
9．(2020·温州市高考模拟)在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，记S为△ABC的面积，若A＝60°，b＝1，S＝，则c＝________，cos B＝________．
解析：因为A＝60°，b＝1，S＝＝bcsin A＝×1×c×，所以解得c＝3.
由余弦定理可得a＝＝
＝，
所以cos B＝＝＝.
答案：3　
10．(2020·金丽衢十二校联考模拟)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，acos B＝bcos A，4S＝2a2－c2，其中S是△ABC的面积，则C的大小为________．
解析：△ABC中，acos B＝bcos A，
所以sin Acos B＝sin Bcos A，
所以sin Acos B－cos Asin B＝sin(A－B)＝0，
所以A＝B，所以a＝b；
又△ABC的面积为S＝absin C，
且4S＝2a2－c2，
所以2absin C＝2a2－c2＝a2＋b2－c2，
所以sin C＝＝cos C，
所以C＝.
答案：
11．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求角A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解：(1)由题意知，
根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc.①
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
故cos A＝－，
A＝120°.
(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.
又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝.
因为0° 所以△ABC是等腰钝角三角形．
12．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B ＝4，bsin A＝3.
(1)求tan B及边长a的值；
(2)若△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．
解：(1)在△ABC中，acos B＝4，bsin A＝3，
两式相除，有＝＝tan B＝，
又acos B＝4，所以cos B>0，则cos B＝，故a＝5.
(2)由(1)知，sin B＝，
由S＝acsin B＝9，得c＝6.
由b2＝a2＋c2－2accos B＝13，得b＝.
故△ABC的周长为11＋.
[综合题组练]
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝1，a＝2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.当C取最大值时，cos C最小，
由cos C＝＝＝≥，
当且仅当c＝时取等号，
且此时sin C＝，
所以当C取最大值时，
△ABC的面积为absin C＝×2c×1×＝.
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，则c的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．2 D．2
解析：选B.由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝时，c取最小值3.
3．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2asin B＝b，b＝2，c＝3，AD是内角的平分线，则BD＝________．
解析：由2asin B＝b及正弦定理得
2sin∠BAC·sin B＝sin B，所以sin∠BAC＝.
因为∠BAC为锐角，所以∠BAC＝.
因为AD是内角平分线，
所以＝＝＝.
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝4＋9－2×2×3×＝7，
所以BC＝，BD＝.
答案：
4．(2020·金华十校联考)设△ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若△ABC的三个内角大小满足A∶B∶C＝3∶4∶5，则的值为____________．
解析：在△ABC中，A＋B＋C＝π，
又A∶B∶C＝3∶4∶5，所以A＝，B＝，C＝π.
由正弦定理＝＝＝2R(a、b、c为△ABC中角A、B、C的对边，R为△ABC的外接圆半径)可得，a＝·c，b＝·c，R＝.
所以S1＝absin C＝···c2·sin C
＝sin A·sin B·sin C·，
S2＝πR2＝·，
所以＝＝＝.
答案：
5．(2020·浙江省名校协作体高三联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)当2sin 2A＋sin(2B＋C)＝sin C时，求△ABC的面积；
(2)求△ABC周长的最大值．
解：(1)由2sin 2A＋sin(2B＋C)＝sin C得4sin Acos A－sin(B－A)＝sin(A＋B)，
得2sin Acos A＝sin Bcos A，当cos A＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝，
当cos A≠0时，sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a，联立，解得a＝，b＝.
故△ABC的面积为S△ABC＝absin C＝.
(2)由余弦定理及已知条件可得：a2＋b2－ab＝4，
由(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3×得a＋b≤4，故△ABC周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形时取到．
6．(2020·杭州市高考模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若msin A＝sin B＋sin C(m∈R)．
(1)当m＝3时，求cos A的最小值；
(2)当A＝时，求m的取值范围．
解：(1)因为在△ABC中msin A＝sin B＋sin C，
当m＝3时， 3sin A＝sin B＋sin C，
由正弦定理可得3a＝b＋c，
再由余弦定理可得cos A＝
＝
＝≥＝，
当且仅当b＝c时取等号，
故cos A的最小值为.
(2)当A＝时，可得m＝sin B＋sin C，
故m＝sin B＋sin C
＝sin B＋sin
＝sin B＋
＝sin B＋cos B＋sin B
＝sin B＋cos B＝2sin，
因为B∈，
所以B＋∈，
所以sin∈，
所以2sin∈(1，2]，
所以m的取值范围为(1，2]．