新高考数学一轮复习讲练测课件第4章§4.8正弦定理、余弦定理 (含解析)
展开1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
b2+c2-2bccs A
c2+a2-2cacs B
a2+b2-2abcs C
1.正弦定理、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则
sin A∶sin B∶sin C
(2)S= = = ;
(3)S= (r为三角形的内切圆半径).
在△ABC中,常有以下结论:(1)∠A+∠B+∠C=π.(2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B,cs A
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )(2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.( )(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形.( )
1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC等于
在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,
2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为4,a=2,B=30°,则c等于
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=30°,b= ,c=2,则C= .
因为c>b,B=30°,所以C=45°或C=135°.
例1 (12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(1)若C= ,求B;[切入点:二倍角公式化简](2)求 的最小值.[关键点:找到角B与角C,A的关系]
利用正弦定理、余弦定理解三角形
解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理,以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
跟踪训练1 (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A).(1)证明:2a2=b2+c2;
方法一 由sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),可得sin Csin Acs B-sin Ccs Asin B=sin Bsin Ccs A-sin Bcs Csin A,
可得accs B-bccs A=bccs A-abcs C,即accs B+abcs C=2bccs A(*).
2bccs A=b2+c2-a2,将上述三式代入(*)式整理,得2a2=b2+c2.方法二 因为A+B+C=π,所以sin Csin(A-B)=sin(A+B)sin(A-B)=sin2Acs2B-cs2Asin2B=sin2A(1-sin2B)-(1-sin2A)sin2B=sin2A-sin2B,
同理有sin Bsin(C-A)=sin(C+A)sin(C-A)=sin2C-sin2A.又sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),所以sin2A-sin2B=sin2C-sin2A,即2sin2A=sin2B+sin2C,故由正弦定理可得2a2=b2+c2.
由(1)及a2=b2+c2-2bccs A得,a2=2bccs A,所以2bc=31.因为b2+c2=2a2=50,所以(b+c)2=b2+c2+2bc=81,得b+c=9,所以△ABC的周长l=a+b+c=14.
命题点1 三角形的形状判断例2 (1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c-acs B=(2a-b)cs A,则△ABC的形状为A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
正弦定理、余弦定理的简单应用
因为c-acs B=(2a-b)cs A,C=π-(A+B),所以由正弦定理得sin C-sin Acs B=2sin Acs A-sin Bcs A,所以sin Acs B+cs Asin B-sin Acs B=2sin Acs A-sin Bcs A,所以cs A(sin B-sin A)=0,所以cs A=0或sin B=sin A,
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
即a2+c2-b2=2a2,所以a2+b2=c2.所以△ABC为直角三角形,但无法判断两直角边是否相等.
又sin A=sin(B+C)=sin Bcs C+cs Bsin C,所以cs Bsin C=sin Bcs C+cs Bsin C,即sin Bcs C=0,又sin B≠0,所以cs C=0,又角C为△ABC的内角,
又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所以b2+c2-a2=bc,
所以△ABC是等边三角形.
判断三角形形状的两种思路(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
命题点2 三角形的面积例3 (2022·浙江)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)求sin A的值;
(2)若b=11,求△ABC的面积.
所以sin B=sin(A+C)=sin Acs C+sin Ccs A
三角形面积公式的应用原则
(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
命题点3 与平面几何有关的问题例4 (2023·厦门模拟)如图,已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b(1+cs C)= csin∠ABC且△ABC的外接圆面积为 .
由题意及正弦定理可得sin∠ABC(1+cs C)
解得b=8(b=-3舍去).
故sin∠BAM=sin(∠ABC-∠AMC)
在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时,通常是转化到三角形中,利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时,常先引入变量,如边长、角度等,然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来,再利用正、余弦定理列出方程,再解方程即可.若研究最值,常使用函数思想.
跟踪训练2 (1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的是A.若acs A=bcs B,则△ABC一定是等腰三角形B.若bcs C+ccs B=b,则△ABC是等腰三角形
D.若B=60°,b2=ac,则△ABC是直角三角形
对于A,若acs A=bcs B,则由正弦定理得sin Acs A=sin Bcs B,∴sin 2A=sin 2B,则2A=2B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°,则△ABC为等腰三角形或直角三角形,故A错误;对于B,若bcs C+ccs B=b,则由正弦定理得sin Bcs C+sin Ccs B=sin(B+C)=sin A=sin B,即A=B,则△ABC是等腰三角形,故B正确;
则tan A=tan B=tan C,即A=B=C,即△ABC是等边三角形,故C正确;对于D,由于B=60°,b2=ac,由余弦定理可得b2=ac=a2+c2-ac,可得(a-c)2=0,解得a=c,可得A=C=B,故△ABC是等边三角形,故D错误.
(3)(2022·重庆八中模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,在①c(sin A-sin C)=(a-b)(sin A+sin B);②2bcs A+a=2c;③ acsin B=a2+c2-b2三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
①若 ,求角B的大小;
若选①,因为c(sin A-sin C)=(a-b)(sin A+sin B),由正弦定理得c(a-c)=(a-b)(a+b),整理得a2+c2-b2=ac,
若选②,因为2bcs A+a=2c,
化简得,a2+c2-b2=ac,
②求sin A+sin C的取值范围;
③如图所示,当sin A+sin C取得最大值时,若在△ABC所在平面内取一点D(D与B在AC两侧),使得线段DC=2,DA=1,求△BCD面积的最大值.
令∠ACD=θ,∠ADC=α,AB=AC=BC=a,
所以sin α=asin θ.又由余弦定理得,a2=22+12-2×2×1×cs α,
所以a2cs2θ=a2-a2sin2θ=cs2α-4cs α+4,所以acs θ=2-cs α.
1.在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c等于
因为sin A=6sin B,则由正弦定理得a=6b,又a+2b=8,所以a=6,b=1,因为C=60°,所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcs C,
2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin A-sin B)=(b+c)sin C,a=7,则△ABC外接圆的直径为
已知(a+b)(sin A-sin B)=(b+c)sin C,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(b+c)c,化简得b2+c2-a2=-bc,
所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccs A=16-12=4,解得a=2.
而0°显然0°6.(2023·衡阳模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2cs B(acs C+ccs A)=b,lg sin C= lg 3-lg 2,则△ABC的形状为A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形
∵2cs B(acs C+ccs A)=b,∴根据正弦定理得,2cs B(sin Acs C+cs Asin C)=sin B,∴2cs Bsin(A+C)=sin B,∴2cs Bsin(π-B)=sin B,即2cs Bsin B=sin B,∵B∈(0,π),∴sin B≠0,
设BD=k(k>0),则CD=2k.根据题意作出大致图形,如图.在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-
8.(2023·宜春模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为 .
∵bsin C+csin B=4asin Bsin C,sin Bsin C>0,结合正弦定理可得sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C,
结合余弦定理a2=b2+c2-2bccs A,可得2bccs A=8,
9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcs C=(2a-c)cs B.(1)求B;
由正弦定理,得sin Bcs C=2sin Acs B-cs Bsin C,即sin Bcs C+cs Bsin C=2sin Acs B,∴sin(B+C)=2sin Acs B,∴sin A=2sin Acs B,
(2)若b=3,sin C=2sin A,求△ABC的面积.
∵sin C=2sin A,∴由正弦定理得c=2a,∴由余弦定理得b2=a2+c2-2accs B=a2+4a2-2a2=9,即3a2=9,
(2)若b,a,c成等比数列,判断△ABC的形状.
∵b,a,c成等比数列,∴a2=bc,
即b2+c2-bc=bc,∴(b-c)2=0,∴b=c,
∴△ABC为等边三角形.
11.(多选)对于△ABC,有如下判断,其中正确的是A.若cs A=cs B,则△ABC为等腰三角形B.若A>B,则sin A>sin BC.若a=8,c=10,B=60°,则符合条件的△ABC有两个D.若sin2A+sin2B
即sin A>sin B成立,故B正确;
因为sin A>0,sin B>0,所以(sin A+sin B)2≥4sin Asin B,
14.在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边的中线AD= ,那么BC= .
由题意知BD=CD,∠ADB+∠ADC=π,所以cs∠ADB+cs∠ADC=0,
16.如图,△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知a2+c2=b2+ac,则B= .若线段AC的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,且BC=4,DE= .则△BCE的面积为 .
而a2+c2=b2+ac,
又AC的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,
新高考数学一轮复习讲练课件4.7 第1课时 系统知识牢基础——正弦定理、余弦定理及应用举例(含解析): 这是一份新高考数学一轮复习讲练课件4.7 第1课时 系统知识牢基础——正弦定理、余弦定理及应用举例(含解析),共13页。
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