新高考数学一轮复习课时讲练 第4章 第8讲　正弦定理和余弦定理的应用举例 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习课时讲练 第4章 第8讲　正弦定理和余弦定理的应用举例 (含解析)，共19页。试卷主要包含了实际问题中的常用述语，解三角形应用题的一般步骤等内容，欢迎下载使用。
第8讲　正弦定理和余弦定理的应用举例


1．实际问题中的常用述语
(1)仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

(2)方位角
从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B点的方位角为α)．
(3)方向角
相对于某一正方向的角(如图③)．

①北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向．
②东北方向：指北偏东45°.
③其他方向角类似．
2．解三角形应用题的一般步骤


[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向．(　　)
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)
(5)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，)．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
[教材衍化]
1．(必修5P11例1改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则可以计算出A，B两点的距离为________m.
解析：由正弦定理得＝，又因为∠B＝30°，
所以AB＝＝＝50(m)．
答案：50
2．(必修5P13例3改编)如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝________米．
解析：由题图可得∠PAQ＝α＝30°，
∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，
又∠PBC＝γ＝60°，
所以∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，
所以＝，所以PB＝a，
所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β
＝a×sin 60°＋asin 15°＝a.
答案：a
[易错纠偏]
(1)方向角与方位角概念不清；
(2)仰角、俯角概念不清；
(3)不能将空间问题转化为解三角形问题．
1.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向上，则灯塔A相对于灯塔B的方向为(　　)
A．北偏西5° B．北偏西10°
C．北偏西15° D．北偏西20°
解析：选B.易知∠B＝∠A＝30°，C在B的北偏西40°的方向上，又40°－30°＝10°，故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10°.
2．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC＝________．
答案：130°
3．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部所连的线成30°角，则两条船相距________m.
解析：由题意画示意图，如图，
OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，MN＝
＝＝10(m)．
答案：10


　　　　　　测量距离
如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)
【解】　在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1，因为∠ABD＝120°，由正弦定理得＝，解得AD＝，在△ACD中，
由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，
得9＝3＋CD2＋2×CD，
即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝，
BC＝BD＋CD＝，
两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500米，即2.5千米，而