高中数学高考7 第6讲　正弦定理和余弦定理　新题培优练

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[基础题组练]1．已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c＝(　　)A．1∶1∶　　 B．2∶2∶C．1∶1∶2 D．1∶1∶4解析：选A.△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，所以A＝，B＝，C＝π，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶＝1∶1∶.2．(2019·武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcos C＝2a＋c，则B＝(　　)A. B.C. D.解析：选D.因为2bcos C＝2a＋c，所以由正弦定理可得2sin Bcos C＝2sin A＋sin C＝2sin(B＋C)＋sin C＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin C，即2cos Bsin C＝－sin C，又sin C≠0，所以cos B＝－，又0<B<π，所以B＝，故选D.3．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)A. B.C. D. 解析：选C.根据题意及三角形的面积公式知absin C＝，所以sin C＝＝cos C，所以在△ABC中，C＝.4．(2019·江西赣州月考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝(　　)A. B.C. D．2解析：选C.因为A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°，所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，得c＝2，所以由正弦定理得S△ABC＝acsin B＝，故选C.5．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D.由已知＝＝＝，所以＝或＝0，即C＝90°或＝.当C＝90°时，△ABC为直角三角形．当＝时，由正弦定理，得＝，所以＝，即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B.因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.6．(2019·吉林四平质检)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝且2sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于(　　)A．5＋ B．12C．10＋ D．5＋2解析：选A.在△ABC中，∠A＝60°.因为2sin B＝3sin C，故由正弦定理可得2b＝3c，再由S△ABC＝＝bc·sin A，可得bc＝6，所以b＝3，c＝2.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝7，所以a＝，故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋，故选A.7．(2019·福州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(acos C－ccos A)＝b，B＝60°，则A的大小为________．解析：由正弦定理及(acos C－ccos A)＝b，得(sin A·cos C－sin Ccos A)＝sin B，所以sin(A－C)＝sin B，由B＝60°，得sin B＝，所以sin(A－C)＝.又A－C＝120°－2C∈(－120°，120°)，所以A－C＝30°，又A＋C＝120°，所以A＝75°.答案：75°8．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．解析：法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6.法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.答案：69．(2019·山东菏泽模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b>c，则＝________．解析：由acos B－c－＝0及正弦定理可得sin AcosB－sin C－＝0.因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以－－cos Asin B＝0，所以cos A＝－，即A＝.由余弦定理得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b>c，所以＝2.答案：210．(2019·昆明质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos C＝，c＝3，且＝，则△ABC的面积等于________．解析：因为＝，由正弦定理可知，＝⇒tan A＝tan B，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，所以A＋B＋C＝2B＋C＝π，得2B＝π－C，则cos 2B＝－cos C＝－＝1－2sin2 B，解得sin B＝，cos B＝，tan B＝.因为AB＝c＝3，所以C到AB的距离h＝×tan B＝×＝，所以△ABC的面积为×AB×h＝.答案：11．(2019·江西七校第一次联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)．(1)求角C；(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．解：(1)由a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)，即a2＋b2－c2＝ab.所以cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝.(2)由(1)知a2＋b2－c2＝ab，所以(a＋b)2－3ab＝c2＝7，又S＝absin C＝ab＝，所以ab＝6，所以(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5.所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.12．(2019·合肥质量检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcos C＝acos2B＋bcos Acos B.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)若cos A＝，且△ABC的周长为5，求△ABC的面积．解：(1)证明：根据正弦定理及b cos C＝acos2B＋bcos Acos B，可得sin Bcos C＝sin Acos2B＋sin Bcos Acos B＝cos B(sin Acos B＋sin Bcos A)＝cos Bsin(A＋B)，即sin Bcos C＝cos Bsin C，所以sin(B－C)＝0，由B，C∈(0，π)，得B－C∈(－π，π)，故B＝C，所以△ABC是等腰三角形．(2)由(1)知b＝c，则cos A＝＝＝，得b＝2a.△ABC的周长为a＋b＋c＝5a＝5，得a＝1，b＝c＝2.故△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×2×＝.[综合题组练]1．(应用型)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S＝(a＋b)2－c2，则sin等于 (　　)A．1 B．－C. D.解析：选C.因为S＝absin C，cos C＝，所以2S＝absin C，a2＋b2－c2＝2abcos C．又4S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，所以2absin C＝2abcos C＋2ab.因为ab≠0，所以sin C＝cos C＋1.因为sin2C＋cos2C＝1，所以(cos C＋1)2＋cos2 C＝1，解得cos C＝－1(不合题意，舍去)或cos C＝0，所以sin C＝1，则sin＝(sin C＋cos C)＝.2．(应用型)(2019·陕西质量检测一)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2＋b2－c2)(acos B＋bcos A)＝abc.若a＋b＝2，则c的取值范围为________．解析：在△ABC中，因为(a2＋b2－c2)(acos B＋bcos A)＝abc，所以(acos B＋bcos A)＝c，由正、余弦定理可得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，所以2cos Csin(A＋B)＝sin C，即2cos Csin C＝sin C，又sin C≠0，所以cos C＝，因为C∈(0，π)，所以C＝，B＝－A，所以由正弦定理＝＝，可得a＝，b＝，因为a＋b＝2，所以＋＝2，整理得c＝＝＝，因为A∈，所以A＋∈，可得sin∈，所以c＝∈[1，2)．答案：[1，2)3．(2018·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin  A＝asin B，又由bsin A＝acos，得asin B＝acos ，即sin B＝cos，可得tan B＝.又因为B∈(0，π)，可得B＝.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.由bsin A＝acos，可得sin A＝.因为a<c，故cos A＝.因此sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos2A－1＝，所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.4．(一题多解)(2019·郑州质量预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos B＝2a＋b.(1)求角C; (2)若△ABC的面积S＝c，求ab的最小值．解：(1)法一：由2ccos B＝2a＋b及余弦定理，得2c·＝2a＋b，得a2＋c2－b2＝2a2＋ab，即a2＋b2－c2＝－ab，所以cos C＝＝＝－，又0<C<π，所以C＝.法二：因为＝＝，所以由已知可得2sin Ccos B＝2sin A＋sin B，则有2sin Ccos B＝2sin(B＋C)＋sin B，所以2sin Bcos C＋sin B＝0，因为B为三角形的内角，所以sin B≠0，所以cos C＝－.因为C为三角形的内角，所以C＝.(2)因为S＝absin C＝c，所以c＝ab.又c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2＋ab，所以＝a2＋b2＋ab≥3ab，ab≥12，当且仅当a＝b时取等号．故ab的最小值为12.