新高考数学一轮复习精选讲练专题4.10 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题4.10 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用（含解析），共25页。

1．（5分）（2022·天津·高一期末）为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【解题思路】先将两函数转化为的形式，计算两者的差值，利用口诀“左加右减”可知如何平移.
【解答过程】因为，，
且，
所以由的图像转化为需要向右平移个单位.
故选：D.
2．（5分）（2021·全国·高一专题练习）某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（ ）A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【解题思路】根据表格中的数据，列出关于的方程组，解方程组得出函数的解析式，根据函数图象的变换即可得出结果.
【解答过程】由表中的数据可得，
，解得，
所以， ，
将 图象向左平移单位后
得到 的图象.
故选：A.
3．（5分）（2022·广东广州·高三阶段练习）已知函数，将的图像先向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图像，若图像关于对称，则为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据辅助角公式将化简，利用图像变换得到的解析式，再由对称和的范围求得的值.
【解答过程】由已知.
将的图像先向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度.
得到.若图像关于对称，
则，所以.
故，又因为，所以.
故选：B.
4．（5分）（2022·湖北·高三阶段练习）一个大风车的半径为8m，匀速旋转的速度是每12min旋转一周.它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，点离地面距离与时间之间的函数关系式是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】建立平面直角坐标系，设出函数解析式，再根据给定的条件求解其待定系数作答.
【解答过程】以过风车中心垂直于地面的竖直向上的直线为y轴，该直线与地面的交点为原点，建立坐标系，如图，
依题意，设函数解析式为，
显然，则，，
函数的周期，则，因当时，，即有，则，
于是得，
所以点离地面距离与时间之间的函数关系式是.
故选：C.
5．（5分）（2022·贵州·高二期中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍后，再向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】先根据函数图像求出函数的解析式，再由三角函数的变换过程求解即可
【解答过程】由图知：且，则，故，
则，
由，则，，
所以，，
又，故，
综上，，
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍得到，再向左平移个单位得到，
故选：B.
6．（5分）（2022·河北·高三阶段练习）已知函数的大致图像如图所示，将函数的图像向右平移后得到函数的图像，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据图象先求得A和，得到，再将代入求得，再利用平移变换得到即可.
【解答过程】解：依题意，，，故，
故，故，
将代入可知，，
解得，故，
故，
则.
故选：A.
7．（5分）（2022·江苏·高三阶段练习）已知函数（ ，） 的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．图像的对称中心为，
C．直线是图像的一条对称轴
D．将的图像向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图像
【解题思路】根据图像最高点得到，由周期得到，再将点代入函数解析式中求得，再根据正弦型函数的图像性质，对选项逐一判断即可得到结果.
【解答过程】由函数图像可知，，最小正周期为，
，将点代入函数解析式中，得：，
又，，
故．
对A，，所以正确,
对B，令，则，所以，即的对称中心为，故B错误；
对C，令，即，令，则，故C错误
对D，将的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，该函数不是偶函数，故D错误．
故选：A.
8．（5分）（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在区间的最小值为
C．在上的单调递增区间为
D．将图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到函数，若在上有且只有三个不等实根，则
【解题思路】由图象求出的解析式，再结合三角函数的性质与图像逐项分析即得.
【解答过程】由图可知，，
又，所以，
所以由五点作图法可知，
得，
所以，
对于A，由，所以A错误；
对于B，当时，，所以，
所以在区间的最小值为，所以B错误；
对于C，当，则，
由，可得，由，可得，
所以在上的单调递增区间为，，故C错误；
对于D，由题可得，因为在上有且只有三个不等实根，
所以在上有且只有三个不等实根，
由，可得，
作出正弦函数的图象，
由图象可知，即，故D正确.
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·湖南·高三阶段练习）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点A，B，C是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】先由平移变换得到 ，再同一坐标系中作出和的图象，求得两图象的相邻交点A，B，C的纵坐标，根据是锐角三角形求解.
【解答过程】解：向右平移个单位长度后得到，
函数 ，
如图所示：
，
由，
得，解得，
则，
又，且是锐角三角形，
所以，
则，
故选：AD.
10．（5分）（2022·山东·高三阶段练习）将函数图象向右平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．函数在上的值域为
B．函数的图象关于点中心对称
C．函数在区间上为增函数
D．
【解题思路】由图像平移伸缩变换可得，根据换元法求值域可判断A，根据整体代入法可判断BC，根据三角函数求值可判断D.
【解答过程】函数图象向右平移个单位长度，
得到，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，
得到.
对于A，，则，当时，有最大值，
当 ，有最小值，故的值域为，A错误；
对于B，有，所以函数的图象关于点中心对称，B正确；
对于C，令，得，，
当时，在上单调递增，C错误；
对于D，，D正确.
故选：BD.
11．（5分）（2022·江苏省高三阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递增
D．函数在区间上有4个零点
【解题思路】由图象得到，，从而求出，再代入特殊点坐标，结合求出，得到，A错误；
求出，B正确；
代入检验得到函数在上不单调，C错误；
将的零点问题转化为与交点个数问题，画出两函数图象，数形结合得到零点个数.
【解答过程】由图象可知：，，解得：，即最小正周期为，A错误；
所以，
故，
将代入中，得，
因为，解得：，
所以，
当时，，
故函数的图象关于直线对称，B正确；
当时，，由于在上不单调，
所以在区间上不单调，C错误；
令，得，
故的零点为与交点个数问题，
当时，，
画出与的图象，如下：
与有4个交点，故函数在区间上有4个零点，D正确.
故选：BD.
12．（5分）（2022·湖北·高三期中）水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为米，圆心距水面的高度为米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动圈，当其中的一个水斗到达最高点时开始计时，设水车转动（分钟）时水斗距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为（米），下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．若水车的转速减半，则其周期变为原来的D．在旋转一周的过程中，水斗距离水面高度不低于米的时间为秒
【解题思路】根据余弦函数，结合三角函数的性质依次判断选项即可.
【解答过程】由题意得，如图，轴，，
点经过分钟后到达点，则为点到水面的距离，且，
因为每分钟转2圈，所以，得角速度，
故，又，
所以，所以 ，
即 .故A正确，B错误；
若水车的转速减半，则每分钟转动圈，所以周期变为原来的倍，因此C错误；
令，得，
解得或，Z，
当时，或，
即旋转一周的过程中(30s)，有s，水斗A距离水面高度低于7米，
所以有s的时间不低于7米，故D正确.
故选：AD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021·全国·高一课时练习）用五点法画出在内的图象时，应取的五个点为 、、、、 .
【解题思路】利用正弦函数的五点法作函数的图象．
【解答过程】由题意可知，令，则，，列表，描点.
作图：
由列表可得，应取的五个点为 、、、、，
故答案为：、、、、．
14．（5分）（2022·北京市高一阶段练习）函数，的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ．
【解题思路】由图可得，，即可求出，再根据函数过点求出，即可求出函数解析式；
【解答过程】解：由图可知，，所以，
又，所以，
所以，又函数过点，所以，
所以，解得，因为，
所以，所以；
故答案为：.
15．（5分）（2022·全国·高一单元测试）一半径为4m的水车，水车圆心距离水面2m，已知水车每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水车上点从水中浮现时开始计时，即从图中点开始计算时间，当秒时，点离水面的高度是 4 m.
【解题思路】根据匀速圆周运动的数学模型进行求解.
【解答过程】因为=4，圆心到水面的距离为2，
所以到x轴的距离为2，
所以x轴与所成角为 ，
由题知水车转动的角速度为
因为水车的半径为4，设P点到水面的距离为y，
根据匀速圆周运动的数学模型有：

当t=10秒时，y=4，所以点离水面的高度是4m.
故答案为：4.
16．（5分）（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若在上没有零点，则的取值范围 ．
【解题思路】先根据图象的变换求出，进而结合三角函数的图象和性质求得答案.
【解答过程】解：由题意，，
因为在上没有零点，所以半周期，即，
因为，所以，
所以， 或，
解得：或
所以，的取值范围是
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像，并写出图像的对称中心；
(2)先将函数的图像向右平移个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域．
【解题思路】（1）通过列表得函数在内的关键点以及端点值，在所给的坐标系中，描点连线画出草图，并写出其对称中心；
（2）根据函数图像变换规则，求出函数的表达式，通过整体代换法，求出其在上的值域．
【解答过程】（1）
列表：
描点，连线，画出在上的大致图像如图：
由图可知函数图像的对称中心为；
（2）
将函数的图像向右平移个单位长度后，
得到的图像，
再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，
所以，，
当时，，
函数单调递增，而，，
所以函数在上的值域为．
18．（12分）（2022·福建省高三阶段练习）已知函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象．
(1)求函数在区间上的最值；
(2)若，，求的值．
【解题思路】（1）利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；
（2）由已知结合同角三角函数的基本关系式及三角恒等变换公式进行化简即可求解．
【解答过程】（1）
∵
∴函数的图象向右平移个单位后得到函数，即，
又，所以，
故，所以，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为；
（2）
因为，，所以，
所以，，
所以 ．
19．（12分）（2022·新疆·高三阶段练习（文））已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)若先将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再把图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象.求函数在上的值域.
【解题思路】（1）根据图像信息结合、、 的范围，分别求出、、 ，即可得到函数的解析式；
（2）先根据平移伸缩变换得到的表达式，再求函数在区间的最小值，即可得到实数的取值范围.
【解答过程】（1）由的部分图象可知，
，可得，所以，
由五点作图法可得，解得，
所以函数的解析式为.
（2）若先将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，再把后者图象上所有点向左平行移动个单位长度，
得到函数的图象.
当时，，
所以.所以函数在上的值域为.
20．（12分）（2022·全国·高一）我国明朝科学家宋应星所著《天工开物》中记载了水车，水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具，体现了中华民族的创造力．如图是水车示意图，其半径为6m，中心O距水面3m，一水斗从水面处的点处出发，逆时针匀速旋转，80s转动一周，经t秒后，水斗旋转到点P处，此时水斗距离水面高度为h．
(1)以O为坐标原点，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数；
(2)此水斗经过多长时间后再次到达水面？在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是多少？
【解题思路】（1）求出ts时刻对应的以x轴非负半轴为始边，OP为终边的角，再利用三角函数定义求解作答.
（2）由（1）的结论，求的解即可推理作答.
【解答过程】(1)
依题意，当时，以x轴非负半轴为始边，为终边的角是，
因80s转动一周，则水斗转动的角速度为，
因此，水斗转动ts到点P时的角为，以x轴非负半轴为始边，OP为终边的角是，
于是得点P的纵坐标为，则，
所以所求函数关系为：.
(2)
由（1）令，即，当再次到达水面时，，，
解得：，则有，即此水斗经过秒后再次到达水面，
在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是秒.
21．（12分）（2022·四川省高三阶段练习（理））已知函数的部分图象如图所示，
(1)求函数的解析式和单调递减区间；
(2)若函数在上有两个不同的零点求实数的取值范围，并计算的值.
【解题思路】（1）根据函数图象先确定A的值，将点代入函数解析式求得，利用点结合五点法求得，可得函数解析式，利用正弦函数的单调性求得函数单调减区间；
（2）作出函数在上的图象，数形结合，根据和 的图象有两个不同交点，确定m的范围，结合函数对称性，求得的值，即得的值.
【解答过程】（1）
由函数图象可知,由图象过点，可得，
因为，故，
由函数图象过点结合五点法可知，该点对应函数的图象中的点，
故，
故函数的解析式为；
令，即得，
即函数单调递减区间为;
（2）
作出函数在上的图象，
当时，，且，
函数在上有两个不同的零点
即和 的图象有两个不同交点，
由图象可知 ，不妨设，则关于直线对称，
故,所以.
22．（12分）（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知函数的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式.
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.
(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，求的值域.
【解题思路】（1）由二倍角公式和辅助角公式即可化简；
（2）利用三角函数的图像变换，可求出，由三角函数的性质求解在的值域；
（3）由方程，即，设，即，结合正弦函数的图象，，求出的范围，代入即可得出答案.
【解答过程】（1）
由题意，函数
，
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，
故函数.
（2）
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最大值为，
故函数的值域.
（3）
由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，如图所示：
可得方程在区间有5个解时，即，
其中，
即，，
解得，
所以.
从而. 0
0
5
0
x






0



y
0
2
0
﹣2
0
0

1
2
0
0
1