新高考数学一轮复习精选讲练专题4.9 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题4.9 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用（含解析），共27页。试卷主要包含了匀速圆周运动的数学模型等内容，欢迎下载使用。

1．匀速圆周运动的数学模型
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2).
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.
2． SKIPIF 1 < 0 , A对函数 SKIPIF 1 < 0 的图象的影响
(1) SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 的图象的影响
函数 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）的图象，可以看作是把正弦曲线 SKIPIF 1 < 0 上所有的点向左(当 SKIPIF 1 < 0 >0时)
或向右(当 SKIPIF 1 < 0 1时)或
伸长(当0< SKIPIF 1 < 0 1时)
或缩短(当00)的图象，即：
二是由诱导公式将余弦型函数 SKIPIF 1 < 0 转化为正弦型函数，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 的图象通过变换作图法得到 SKIPIF 1 < 0 的图象即可.
【题型1 函数 SKIPIF 1 < 0 的图象】
【方法点拨】
用“五点法”画函数 SKIPIF 1 < 0 (x∈R)的简图，先作变量代换，令X= SKIPIF 1 < 0 ，再用方程思想由X取
SKIPIF 1 < 0 来确定对应的x值，最后根据x,y的值描点、连线、扩展，画出函数的图象.
【例1】（2021·全国·高一专题练习）用五点法作函数f(x)＝sin的图象时，所取的“五点”是（ ）
A．，，，，
B．，，，，
C．，，，，
D．，，，，
【解题思路】令2x－＝0可得x＝，再由函数的最小正周期可得选项.
【解答过程】令2x－＝0可得x＝，又函数的最小正周期为，则，
所以五点的坐标依次是，，，，.
故选：A.
【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）用“五点法”作函数在一个周期内的图像时，第四个关键点的坐标是
A．B．
C．D．
【解题思路】利用余弦函数的五点作图求解即可
【解答过程】令，得.∴该点坐标为.
故选A.
【变式1-2】（2022·广东揭阳·高一期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
根据表格中的数据，函数的解析式可以是（ ）A．B．
C．D．
【解题思路】根据函数最值，可求得A值，根据周期公式，可求得值，代入特殊点，可求得值，即可得答案.
【解答过程】由题意得最大值为5，最小值为-5，所以A=5，
，解得，解得，
又，解得，
所以的解析式可以是，
故选：A.
【变式1-3】（2022·全国·高一课时练习）用五点法作函数的图象时，得到如下表格：
则，，的值分别为（ ）A．4，2，B．4，，C．4，2，D．4，，
【解题思路】由表中数据求出、的值，利用周期公式可求的值，根据图象过，，即可求得的值．
【解答过程】解：由表中的最大值为4，最小值为，可得，
由，则，，
，图象过，，
， ，，解得，
，当时，．
故选：．
【题型2 三角函数的图象变换】
【方法点拨】
可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.
【例2】（2022·山西临汾·高三期中）为了得到的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【解题思路】由函数图像平移的左加右减原则即可求解.
【解答过程】设，
由得：
只需将的图象向左平移个单位长度，
即可得到的图象.
故选：B.
【变式2-1】（2022·贵州遵义·高三期中（理））为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【解题思路】根据三角函数图象的平移变换规律，即可判断出答案.
【解答过程】因为，故为了得到函数的图象，
只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
故选：C.
【变式2-2】（2022·天津·高一期末）已知函数（其中）图像相邻两条对称轴的距离为，一个对称中心为，为了得到的图像，只需将的图像（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【解题思路】根据三角函数的性质得，再根据平移变换求解即可.
【解答过程】解：由题设，所以，
所以，，
因为一个对称中心为，且，
所以，将代入可得，解得,
所以，,
所以，函数的图像向右平移个单位可得到的图像.
故选：C.
【变式2-3】（2022·江西·高三阶段练习（文））为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
B．所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
【解题思路】根据三角函数平移和伸缩变换原则，结合诱导公式可得到结果.
【解答过程】对于A，将横坐标缩短到原来的，可得；再向右平移个单位，可得，A正确；
对于B，将横坐标伸长到原来的倍，可得；再向左平移个单位，可得，B错误；
对于C，将向右平移个单位，可得；再将所有点的横坐标伸长到原来的倍，可得，C错误；
对于D，将向左平移个单位，可得；再将所有点的横坐标缩短到原来的，可得，D错误.
故选：A.
【题型3 由图象确定函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式】
【方法点拨】
根据部分图象求出解析式中的A， SKIPIF 1 < 0 ，即可得解.
【例3】（2022·四川省高三阶段练习（文））函数 的部分图象如图所示，则的值分别是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据周期即可求解，代入最高点即可求解.
【解答过程】由图象知函数周期 ，
， 把​代入解析式，
得， 即​.
​
又​
故选：A.
【变式3-1】（2022·天津市高三期中）已知函数（其中，，）的部分图像如下图，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由图像最高的与最低点x的距离得出的周期，通过周期得到；
再由函数最小值点的x值与三角函数性质得出；
再由图像上两点代入得出，；
通过周期得到即可代入得出答案.
【解答过程】设图中最高点的，
由正弦型函数的性质可得是的一条对称轴，
则，
则由图可得，
则，
，
，
，且为最小值点的x值，
，即，
，
，
，
由图知上的点与，
代入得：，
化简为，解得，
则，
的周期为，
.
故选：B.
【变式3-2】（2022·江西·高三阶段练习（理））将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，得到如图所示的函数的图象，则（ ）
A．0B．1C．2D．
【解题思路】由三角函数的图象变换得到的解析式，再由其图象性质得出后计算原式
【解答过程】依题意，，
故，
又的周期满足，得，所以，
所以，
又，得，
又，所以，所以，
所以，
故选：C.
【变式3-3】（2022·四川·高三阶段练习（理））已知函数的部分图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．关于直线对称
D．将的图像向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
【解题思路】根据图象求出，和的值，然后利用三角函数的图象和性质即可求解．
【解答过程】解：由图可知，，即，故选项A正确；
由，可得，则，
因为，即，
所以，，得，，
因为，所以，所以，故选项B正确；
由，可得，
即关于直线对称，故选项C正确；
将的图象向左平移个单位长度后得到，
所以为偶函数，图象不关于原点对称.
故选：D.
【题型4 图象与性质的综合应用】
【方法点拨】
结合具体题目，研究函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与性质时，可将 SKIPIF 1 < 0 看作一个整体，利用换元法和数
形结合思想灵活求解.
【例4】（2022·山东·高二阶段练习）已知函数的部分图像如图所示．
(1)求的解析式及对称中心；
(2)若，求值；
(3)先将的图像横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到函数图像，再将图像右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间．
【解题思路】（1）根据函数图像得，，，进而根据，再将点代入求解得，最后求解对称中心即可；
（2）结合（1）得，再根据，结合二倍角公式求解即可；
（3）由函数图像平移变换得，进而得，再解不等式即可得答案.
【解答过程】（1）
解：由图可知，，，即，解得，
所以，
再将点代入得，即，
因为，所以，
所以.
令，解得，
所以，的对称中心为
（2）
解：由（1）知，
所以，即，
因为，
所以.
（3）
解：将的图像横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得，
再将图像右平移个单位后得到的图像，故，
因为，所以，
所以令，解得，
所以，函数在上的单调减区间为.
【变式4-1】（2022·江西·高二阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求函数的解析式；
(2)若对于恒成立，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）先根据函数图象求出的解析，再利用图象变换规律可求出的解析式；
（2）由，得，从而可得，然后分，和求解即可.
【解答过程】（1）
由的图象可得，，
所以，所以，得，
所以，
因为的图象过，
所以，所以，
所以，得，
因为，所以，
所以，
将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得，
再将所得函数图象向右平移个单位长度，得
，
所以
（2）
由，得，
所以，
所以，
所以，
当时，恒成立，
当时，则由，
得，
因为函数在上为增函数，
所以
所以，
当，则由，
得，
因为函数在上为增函数，
所以
所以，
综上，
即实数m的取值范围为.
【变式4-2】（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式，并求出图象的对称轴方程.
(2)是否存在实数，使得函数在上恰有2023个零点？若存在，求出和对应的的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）由图可得，由周期公式可得由图可得，的图象过点可得，求出的解析式可得对称轴方程；
（2）由（1）可得的图象与直线在上恰有2023个交点，分或、或、或、讨论可得答案.
【解答过程】（1）
由图可得，所以，
因为的图象过点，所以，
又，所以，则，
所求对称轴方程为，即；
（2）
由（1）可得的图象与直线在上恰有2023个交点，且函数的周期是，当时，.
①当或时，的图象与直线在上无交点.
②当或时，的图象与直线在上仅有一个交点，且在区间内部，根据周期性，在区间上各有一个交点.
此时的图象与直线在上恰有2023个交点，则.
③当或时，的图象与直线在上恰有2个交点，且在区间内部，根据周期性，在区间上各有2个交点.故的图象与直线在上有偶数个交点，不可能有2023个交点.
④当时，的图象与直线在上恰有3个交点，
且三个交点的横坐标为，根据周期性，在区间上各有2个交点.
由，解得，要使的图象与直线在上有2023个交点，此时.
综上，当或时，；当时，.
【变式4-3】（2022·江苏·高一单元测试）已知函数，（其中，，）的图象如图所示.
(1)求函数的解析式及其对称轴方程；
(2)若的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有两个不等的实根，，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）由图知、及，代入 及的范围可得，再由整体代入法可得的对称轴方程；
（2）由图象平移规律可得，根据的范围可得范围，转化为的图象与直线有两个不同的交点可得答案.
【解答过程】(1)
由图知，，，所以，，
由，即，故，，
所以，，又，所以，
故，
令则，
所以的对称轴方程为.
(2)
由题意可得，
因为，所以，
所以，
所以方程有两个不等实根时，
的图象与直线有两个不同的交点，
作图可得，所以.
故实数的取值范围为.
【题型5 函数的零点（方程的根）的问题】
【方法点拨】
函数的零点（方程的根）的个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与
性质以及数形结合思想进行解题.
【例5】（2022·广西北海·一模（理））已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】求得，换元转化为在上恰有5个不相等的实根，结合的性质列出不等式求解.
【解答过程】，令，由题意在上恰有5个零点，即在上恰有5个不相等的实根，由的性质可得，解得．
故选：D．
【变式5-1】（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知函数的部分图像如图所示，其中B，C两点的纵坐标相等，若函数在上恰有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据函数的部分图像及周期公式求出函数的解析式，进而得到，根据已知条件得出，再结合有三个零点即可求解.
【解答过程】由题意知,轴，所以的图像的一条对称轴方程为，，所以．
由于的图像过由，且，得，
所以．
故
因为，所以，其中
解得，则，
因为在上的零点为，
且在内恰有3个零点，所以或，
解得.
故选：D.
【变式5-2】（2022·全国·高三阶段练习（理））函数的图象向左平移个单位得到的图象，且当时，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】先将化为，即可得，讨论单调性和取值范围即可求出.
【解答过程】因为，
所以.
因为，所以.
当时，递减且；
当时，递增且；
当时，递减且.
因为有个不等实根，所以.
故选：B.
【变式5-3】（2022·湖南省高三阶段练习）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】先由三角函数图象平移规则求得函数，再利用正弦曲线的零点即可求得的取值范围.
【解答过程】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数，
由函数在上没有零点，则，则，
由，可得，
假设函数在上有零点，
则，则，
由，可得，
又，则，
则由函数在上没有零点，且，可得，
故选：A.
【题型6 三角函数模型】
【方法点拨】
利用三角函数模型解决实际问题时，首先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型；
其次是寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答.
【例6】（2022·全国·高三专题练习）一半径为的水轮（如图所示），水轮圆心O离水面，已知水轮逆时针转动，每转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
【解题思路】（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，进而设，再求解析式即可；
（2）令，解得，，进而当时，P第一次到达最高点，求得对应值即可.
【解答过程】（1）解：以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
设，则，，
∵，∴，
∴，
∵时，，∴，∴，
∵，∴，
∴.
（2）解：令，得，
∴，，∴，，
∴当时，P第一次到达最高点，
∴点P第一次到达最高点大约要.
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系．
(1)求的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
【解题思路】(1)根据三角函数的图像即可求的表达式；
(2)根据正弦函数的图像与性质解,结合即可求解.
【解答过程】解：(1)因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，
所以，，，
所以，解得．
所以，．
(2)由(1)得，，
所以，
所以，
解得，
因为，
所以，．
所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时．
【变式6-2】（2022·全国·高一课时练习）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．
(1)求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式；
(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，求当H取得最大值时t的值．
【解题思路】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式；
（2）由（1）中的解析式，结合正弦函数的性质计算可得；
（3）依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解；
【解答过程】（1）
设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为
则，
∴，
依题意，∴，
当时，∴，
∴．
（2）
令，即，
∴，
∵，∴，
∴或，
解得或，
∴或时，1号座舱与地面的距离为17米．
（3）
依题意，
∴
，
令，解得，
所以当时，H取得最大值.
【变式6-3】（2022·浙江省高二开学考试）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值.
【解题思路】对于小问1，根据离地面的最大值米、最小值米和周期为分钟，求出、、，再代入点解得.
对于小问2，令，解出即得答案.
对于小问3，根据题意，计算甲乙二人时间差，得到二人距离地面的高度表达式、，
写出两人距离地面的高度差为米，由时间的取值范围，化简求出最大值.
【解答过程】(1)
由题意，（其中）
摩天轮的最高点距离地面为米，最低点距离地面为米，
所以，得，
又函数周期为分钟，所以，
，
又，
所以，又，所以，
所以.
(2)
，
所以，整理，因为，所以，
所以,解得（分钟）.
(3)
经过分钟后甲距离地面的高度为，
乙与甲间隔的时间为分钟，
所以乙距离地面的高度为，
所以两人离地面的高度差
，
当或时，即或分钟时，取最大值为米. 0
x
0
5
0
0
0
4
0
-4
0