高考数学一轮复习考点突破讲与练 第5章 第3节　第1课时　系统知识 平面向量的数量积 (含解析)

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第三节　平面向量的数量积及其应用
[考纲要求]
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影 的关系．
2．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
3．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
4．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．　　
第1课时　系统知识——平面向量的数量积

平面向量的数量积
1.向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b| cos θ的乘积．
[提醒]　(1)数量积a·b也等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos θ的乘积，这两个投影是不同的．
(2)a在b方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负也可为0，它的符号取决于θ角的范围．
3．向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，e是单位向量，α是a与e的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：
(1)e·a＝a·e＝|a||e|cos α＝|a|cos α.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)a，b同向⇔a·b＝|a||b|；
a，b反向⇔a·b＝－|a||b|.
特别地a·a＝|a|2＝a2或|a|＝.
(4)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝.
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2；
a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
以上结论可作为公式使用．
　　　
4．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·λ(b)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[提醒]　对于实数a，b，c有(a·b)·c＝a·(b·c)，但对于向量a，b，c而言，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，即不满足向量结合律．这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．

1.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
答案：－2
2.已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.
解析：a·b＝|a||b|cos 30°＝2××＝3.
答案：3
3.在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点，则在方向上的投影为________．
答案：－
4.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·的值是________．
答案：－1
5．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2且a·b＝－2，则向量a与b的夹角为________．
答案：
6．已知矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，则·＝________.
解析：设＝a，＝b，则a·b＝0，∵|a|＝，|b|＝1，∴·＝(a＋b)·(－b)＝－a·b－b2＝－1.
答案：－1

平面向量数量积的坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤

1.已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.
答案：12
2.向量a＝(3,4)在向量b＝(1，－1)方向上的投影为________．
解析：a在b上的投影为＝＝－.
答案：－
3.a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于________．
解析：设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，
所以解得故b＝(－5,12)，
所以cosa，b＝＝.
答案：
4.已知向量a＝(2,7)，b＝(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为____________________．
解析：由a·b＝2x－2111，解得m>7.
答案：(7，＋∞)