高考数学一轮复习考点突破讲与练 第2章 第2节　第1课时　系统知识 函数的单调性与最值、奇偶性、周期性 (含解析)

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第二节　函数的性质
[考纲要求]
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．
2．会利用函数的图象理解和研究函数的单调性．
3．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
4．会利用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
5．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．　　　
第1课时　系统知识——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性

函数的单调性
1.单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x10时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k0得x2.
又u＝x2－4在(－∞，－2)上为减函数，
在(2，＋∞)上为增函数，
y＝logu为减函数，
故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
4.设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．

答案：[－1,1]，[5,7]
5．若函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．
解析：由于y＝log3(x－2)的定义域为(2，＋∞)，
且为增函数，
故函数y＝＝＝2＋在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k＜0，得k＜－4.
答案：(－∞，－4)
6．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)0)在上是增函数，
∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2.
即解得
答案：1　
4.函数y＝的值域为________．
解析：由y＝，可得x2＝.由x2≥0，知≥0，解得－1≤y0时，－x0)，则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．

1.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(－1,1)时，f(x)＝则f＝________.
答案：1
2.若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.
解析：由f(x)是R上周期为2的函数知，f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，
∴f(3)－f(4)＝－1.
答案：－1
3.已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2 019)＝________.
解析：由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)，故函数f(x)的周期为4.∴f(2 019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝3.
答案：3
4.函数f(x)的周期为4，且x∈(－2,2]，f(x)＝2x－x2，则f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)的值为________．
解析：由f(x)＝2x－x2，x∈(－2,2]，知f(－1)＝－3，f(0)＝0，f(2)＝0，又f(x)的周期为4，所以f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)＝f(2)＋f(－1)＋f(0)＝0－3＋0＝－3.
答案：－3
5．已知f(x)是R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 019)＝________.
解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，∴当x＝－3时，有f(3)＝f(－3)＋f(3)＝0，∴f(－3)＝0，f(3)＝0，∴f(x＋6)＝f(x)，周期为6.故f(2 019)＝f(3)＝0.
答案：0
6．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.
解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.
答案：3
[课时跟踪检测]
1．下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝　　　　　　　　　 B．y＝|sin x|
C．y＝cos x D．y＝ex－e－x
解析：选D　因为函数y＝的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y＝为非奇非偶函数，排除A；因为y＝|sin x|为偶函数，所以排除B；因为y＝cos x为偶函数，所以排除C；因为y＝f(x)＝ex－e－x，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，所以函数y＝ex－e－x为奇函数，故选D.
2．(2019·南昌调研)已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
解析：选B　设t＝x2－2x－3，由t≥0，得x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
3．设f(x)－x2＝g(x)，x∈R，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可以为(　　)
A．g(x)＝x3 B．g(x)＝cos x
C．g(x)＝1＋x D．g(x)＝xex
解析：选B　因为f(x)＝x2＋g(x)，且函数f(x)为偶函数，所以有(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)，即g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项B中的函数为偶函数，故选B.
4．(2019·三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)＝(　　)
A．－2x B．2－x
C．－2－x D．2x
解析：选C　x>0，－x0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.故选C.
5．函数f(x)＝的图象关于(　　)
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线y＝x对称
解析：选B　f(x)的定义域为[－3,0)∪(0,3]关于原点对称，且f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
6．(2019·石家庄高三一检)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为(　　)
A．{x|00时，f(x)单调递增，f(1)＝0，故由f(x－1)>0，得－1