新高考数学二轮复习 第2部分 思想方法 第1讲 函数与方程思想（含解析）

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第1讲 函数与方程思想
思想概述 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决．
方法一 运用函数相关概念的本质解题
在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质．
例1 若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋3a，x<0，,ax，x≥0))(a>0且a≠1)是R上的减函数，则实数a的取值范围为( )
A．(0,1) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))
思路分析 先求出fx＝ax是减函数时a的范围→满足－0＋3a≥a0时a的范围→取交集
答案 B
解析 ∵函数f(x)是R上的减函数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0∴实数a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)).故选B.
批注 在函数的第一段中，虽然没有x＝0，但当x＝0时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值f(0)，这是解题的一个易忽视点．究其原因，就是未把分段函数看成是一个函数，一个整体．
解答本题，首先要明确分段函数和减函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据减函数的定义，两段函数都是减函数，但这不足以说明整个函数是减函数，还要保证在两段的衔接处呈减的趋势，这一点往往容易被忽视．
方法二 利用函数性质求解方程问题
函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题．
例2 (1)(2020·全国Ⅰ)若2a＋lg2a＝4b＋2lg4b，则( )
A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a答案 B
解析 由指数和对数的运算性质可得
2a＋lg2a＝4b＋2lg4b＝22b＋lg2b.
令f(x)＝2x＋lg2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又∵22b＋lg2b<22b＋lg2b＋1＝22b＋lg22b，
∴2a＋lg2a<22b＋lg22b，
即f(a)(2)设x，y为实数，满足(x－1)3＋2 020(x－1)＝－1，(y－1)3＋2 020(y－1)＝1，则x＋y＝________.
思路分析 观察两方程形式特征→借助函数ft＝t3＋2 020t的单调性、奇偶性→fx－1＝f1－y→求出x＋y
答案 2
解析 令f(t)＝t3＋2 020t，则f(t)为奇函数且在R上是增函数．
由f(x－1)＝－1＝－f(y－1)＝f(1－y)，
可得x－1＝1－y，∴x＋y＝2.
批注 通过方程的特征构造函数，利用函数性质寻求变量间的关系．

函数与方程的相互转化：对于方程fx＝0，可利用函数y＝fx的图象和性质求解问题.
方法三 构造函数解决一些数学问题
在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简，化难为易的效果.
例3 求使不等式2x－1>m(x2－1)对于|m|≤2的一切实数m都成立的x的取值范围．
思路分析 恒成立问题→函数最值问题→构造关于m的一次函数
解 构造函数f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，m∈[－2,2]，
f(m)<0在m∈[－2,2]上恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－2<0，,f2<0))
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x2－1－2x－1<0，,2x2－1－2x－1<0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2＋2x－3>0，,2x2－2x－1<0))
⇔eq \f(\r(7)－1,2)所以x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7)－1,2)，\f(\r(3)＋1,2))).
例4 如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，AP＝AB＝2，∠AEF＝θ，当θ变化时，求三棱锥P－AEF体积的最大值．
思路分析 求VP－AEF的最值→用θ表示VP－AEF，构造函数→求函数的最值
解 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以PA⊥BC，
又BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，
而AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF.
又因为AF⊥PC，PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，
所以AF⊥平面PBC，
而EF⊂平面PBC，所以AF⊥EF.
所以EF是AE在平面PBC内的射影．
因为AE⊥PB，所以EF⊥PB，
又AE∩EF＝E，AE，EF⊂平面AEF，
所以PB⊥平面AEF，所以PE⊥平面AEF.
在Rt△PAB中，因为AP＝AB＝2，AE⊥PB，
所以PE＝eq \r(2)，AE＝eq \r(2)，AF＝eq \r(2)sin θ，EF＝eq \r(2)cs θ.
VP－AEF＝eq \f(1,3)S△AEF·PE＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \r(2)sin θ·eq \r(2)cs θ×eq \r(2)＝eq \f(\r(2),6)sin 2θ.
因为0<θ所以当2θ＝eq \f(π,2)，即θ＝eq \f(π,4)时，sin 2θ取得最大值1，
则VP－AEF取得最大值eq \f(\r(2),6).
批注 θ的变化是由AC，BC的变化引起的．三棱锥P－AEF的高PE为定值，只要S△AEF最大即可．
在构造函数求解数学问题的过程中，要确定合适的变量，揭示函数关系，使问题明晰化.