新高考数学二轮复习 第1部分 专题6 培优点20 抛物线的焦点弦问题（含解析）

培优点20　抛物线的焦点弦问题

直线与抛物线相交的问题，若直线过抛物线的焦点，可使用焦点弦长公式求弦长，利用焦点弦的特殊结论求解题目．

例1　(1)(2020·石家庄模拟)已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过F的直线与抛物线交于A，B两点，AB的中点为C，过C作抛物线准线的垂线交准线于C′，若CC′的中点为M(1,4)，则p等于(　　)

A．4  B．8  C．4  D．8

答案　B

解析　如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∵M(1,4)，∴y1＋y2＝8，

又C，F，

∴kAB＝2，

∴直线AB：y＝2，

代入y2＝2px，

得y2－py－p2＝0，

∴y1＋y2＝p＝8.

(2)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)

A．4  B.  C．5  D．6

答案　B

解析　不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于点E，

设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，

则|AF|＝2m，|AB|＝3m，

由抛物线的定义知

|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，

所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2.

则sin2θ＝8cos2θ，所以sin2θ＝.

由y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式得|AB|＝＝.

例2　已知抛物线C：y2＝8x，P为C上位于第一象限的任一点，直线l与C相切于点P，连接PF并延长交C于点M，过P点作l的垂线交C于另一点N，求△PMN的面积S的最小值．

解　由题意知F(2,0)，设P(x0，y0)(y0>0)，M，

N，切线l的方程为x－x0＝t(y－y0)，

则＝，＝，

由M，F，P三点共线，可知∥，

即y0－y1＝0，

因为y0≠y1，所以化简可得y0y1＝－16.

由可得y2－8ty＋8ty0－8x0＝0，

因为直线l与抛物线相切，故Δ＝64t2－32ty0＋4y＝0，故t＝.

所以直线PN的方程为y－y0＝－(x－x0)，

即y0x＋4y－4y0－＝0，

所以点M到直线PN的距离为

d＝，

将y1＝－代入可得

d＝＝，

联立消去x可得，

y0y2＋32y－y－32y0＝0，

所以y0＋y2＝－，y2＝－－y0，

|PN|＝|y0－y2|＝＝，

故S＝d|PN|

＝××

＝3＝3

≥3＝64，

当且仅当y0＝4时，“＝”成立，

此时，△PMN的面积S取得最小值，为64.

设AB是抛物线y2＝2px(p>0)的一条焦点弦，焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.

(2)＋＝.

(3)|AB|＝(α为弦AB所在直线的倾斜角)．

1．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30° 的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　由已知得焦点为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.

方法一　联立直线方程与抛物线方程，

化简得4y2－12y－9＝0，

故|yA－yB|＝＝6.

因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.

方法二　联立直线方程与抛物线方程得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝.

根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，

同时原点到直线AB的距离为d＝＝，

因此S△OAB＝|AB|·d＝.

2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120° 的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　记抛物线y2＝2px的准线为l′，如图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分别是A1，B1，C，则

cos∠ABB1＝＝

＝，

即cos 60°＝＝，

得＝.

3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M(－2,2)，过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若∠AMB＝90°，则k等于(　　)

A.  B.  C.  D．2

答案　D

解析　抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，

由题意可知直线AB的斜率一定存在，

所以设直线方程为y＝k(x－2)(k≠0)，

代入抛物线方程可得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4，

所以y1＋y2＝，y1y2＝－16，

因为∠AMB＝90°，所以M·M＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝－＋4＝0，

解得k＝2，故选D.

4.如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积为S1，S2.

(1)求p的值及抛物线的准线方程；

(2)求的最小值及此时点G的坐标．

解　(1)由题意可得＝1，则p＝2,2p＝4，

抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线AB的方程为y＝k(x－1)，k>0，

与抛物线方程y2＝4x联立可得，

k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

故x1＋x2＝2＋，x1x2＝1，

y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝，

y1y2＝－×＝－4，

设C(x3，y3)，由重心坐标公式可得，

xG＝＝，

yG＝＝，

令yG＝0可得，y3＝－，则x3＝＝，

即xG＝＝，

由斜率公式可得，kAC＝＝＝，

直线AC的方程为y－y3＝(x－x3)，

令y＝0，可得xQ＝x3＋＝＋＝－，

故S1＝×(xG－xF)×y1＝××y1＝×，

且S2＝×(xQ－xG)×(－y3)

＝－，

由y3＝－，代入上式可得S2＝，

由y1＋y2＝，y1y2＝－4可得

y1－＝，则k＝，

则＝＝

＝2－

≥2－

＝1＋，

当且仅当y－8＝，即y＝8＋4，y1＝＋时等号成立，此时k＝＝，xG＝＝2，

则点G的坐标为(2,0)．