新高考数学二轮复习考点突破讲义 第2部分 思想方法　第3讲　分类讨论思想（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习考点突破讲义 第2部分 思想方法　第3讲　分类讨论思想（含解析），共4页。
方法一 由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论
概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．
例1 (1)(2022·滁州质检)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝2eq \r(3)时，直线l的方程为( )
A．x＝0
B．15x－8y－8＝0
C．3x－4y＋4＝0或x＝0
D．3x＋4y－4＝0或x＝0
思路分析 设直线方程→k存在，l：y＝kx＋1→圆心到直线l的距离d＝1求解→斜率不存在，l：x＝0.
答案 D
解析 因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，
所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2，
因为|AB|＝2eq \r(3)，
所以圆心到直线的距离为d＝1，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时圆心(－1,3)到直线的距离为1，满足条件；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为y＝kx＋1，
圆心到直线l的距离为d＝eq \f(|－k－3＋1|,\r(1＋k2))，
所以eq \f(|－k－3＋1|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq \f(3,4)，
此时直线方程为3x＋4y－4＝0，
综上，所求直线方程为3x＋4y－4＝0或x＝0.
(2)已知数列{an}满足a1＝－2，a2＝2，an＋2－2an＝1－(－1)n，则下列选项不正确的是( )
A．{a2n－1}是等比数列
B.eq \i\su(i＝1,5, )(a2i－1＋2)＝－10
C．{a2n}是等比数列
D.eq \i\su(i＝1,10,a)i＝52
思路分析 an＋2－2an＝1－－1n→n为奇，{a2n－1}为等比数列；n为偶，{a2n}为等比数列
答案 B
解析 对于A，当n是奇数时，an＋2－2an＝2，
所以an＋2＋2＝2(an＋2)，
又因为a1＝－2，所以a1＋2＝0，
所以当n是奇数时，an＋2＝0，即an＝－2，
即{a2n－1}是以首项为－2，公比为1的等比数列，
即选项A正确；
对于B，由A知，当n是奇数时，an＋2＝0，
所以eq \i\su(i＝1,5, )(a2i－1＋2)＝0，
即选项B错误；
对于C，当n为偶数时，an＋2－2an＝0，
即an＋2＝2an，
又因为a2＝2，所以eq \f(an＋2,an)＝2，
所以{a2n}是以首项为2，公比为2的等比数列，
故选项C正确；
对于D，
eq \i\su(i＝1,10,a)i＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)
＝－10＋eq \f(2×1－25,1－2)＝52，即选项D正确．
批注 涉及数列中(－1)n的问题，一般需分奇偶讨论，当n为奇数时，首项是a1，an是第eq \f(n＋1,2)个奇数项；当n为偶数时，首项是a2，an是第eq \f(n,2)个偶数项．
规律方法 解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类．本例中，设直线方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(－1)n需分奇偶两种情况，要注意分类讨论要有理有据、不重不漏．
方法二 由图形位置或形状引起的讨论
图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究．
例2 设F1，F2为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，点P为椭圆上一点，已知点P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则eq \f(|PF1|,|PF2|)＝________.
eq 思路分析 求\f(|PF1|,|PF2|)→找|PF1|，|PF2|适合的条件→讨论Rt△PF1F2的直角顶点
答案 eq \f(7,2)或2
解析 若∠PF2F1＝90°，
则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
又|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2eq \r(5)，
解得|PF1|＝eq \f(14,3)，|PF2|＝eq \f(4,3)，∴eq \f(|PF1|,|PF2|)＝eq \f(7,2).
若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，
又|PF1|>|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
∴eq \f(|PF1|,|PF2|)＝2.
综上可知，eq \f(|PF1|,|PF2|)＝eq \f(7,2)或2.
批注 P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，并没有说明哪个点是直角顶点，所以需分类讨论，仔细审题，理解题意是关键．
规律方法 圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论．
方法三 由参数变化引起的分类讨论
某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全．
例3 (2022·湖北七市(州)联考)已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)(x>0)，若eq \f(fx,[fx]2＋a)的最大值为eq \f(2,5)，则正实数a＝________.
eq 思路分析 令fx＝t→\f(fx,[fx]2＋a)＝\f(t,t2＋a)＝\f(1,t＋\f(a,t))→利用函数y＝t＋\f(a,t)的单调性求最值.
答案 1
解析 令t＝x＋eq \f(1,x)(x>0)，则t≥2，
则eq \f(fx,[fx]2＋a)＝eq \f(t,t2＋a)＝eq \f(1,t＋\f(a,t))，
令y＝t＋eq \f(a,t)(a>0，t≥2)，
当0