新高考数学二轮复习考点突破讲义 第2部分 思想方法　第5讲　客观题的解法（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习考点突破讲义 第2部分 思想方法　第5讲　客观题的解法（含解析），共6页。
方法一 直接法
直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法．
例1 (1)(2022·邯郸模拟)若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2eq \r(3)，且a·b＝3，则向量b与b－a夹角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(2\r(5),9) C.eq \f(7\r(2),16) D.eq \f(3\r(30),20)
思路分析 根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.
答案 D
解析 因为|b|＝2eq \r(3)，且a·b＝3，
所以b·(b－a)＝b2－b·a＝(2eq \r(3))2－3＝9，
因为|b－a|＝eq \r(b－a2)＝eq \r(b2＋a2－2b·a)
＝eq \r(12＋4－6)＝eq \r(10)，
所以向量b与b－a夹角的余弦值为eq \f(b·b－a,|b|·|b－a|)＝eq \f(9,2\r(3)×\r(10))＝eq \f(3\r(30),20).
(2)(2022·湖北新高考协作体联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝n2＋n(n∈N*)，设bn＝eq \f(1,an·an＋1)，则数列{bn}的前2 023项和T2 023＝________.
思路分析 根据数列中前n项和与项的关系，即可求通项，再利用裂项相消法求和.
答案 eq \f(2 023,2 024)
解析 ∵2Sn＝n2＋n，∴Sn＝eq \f(n2＋n,2)，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝eq \f(nn＋1,2)－eq \f(n－1n,2)＝n，
a1＝S1＝eq \f(1＋1,2)＝1也符合上式，
∴an＝n，bn＝eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，
∴T2 023＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2 023)－eq \f(1,2 024)＝eq \f(2 023,2 024).
规律方法 直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解选择题、填空题的关键．
方法二 特例法
从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．
例2 (1)若a>b>c>1且aclgbc>lgca B．lgcb>lgba>lgac
C．lgbc>lgab>lgca D．lgba>lgcb>lgac
思路分析 利用特值法或利用对数函数的图象与性质即可得到结果.
答案 B
解析 取a＝5，b＝4，c＝3代入验证可知选项B正确．
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，B是A和C的等差中项，则a＋c与2b的大小关系是( )
A．a＋c>2b B．a＋c SKIPIF 1 < 0 的解集为( )
A．(－∞，2) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(2，＋∞)
思路分析 构造函数Fx＝fx· SKIPIF 1 < 0 ，利用导数，结合已知条件判断Fx的单调性，由此化简不等式2fx> SKIPIF 1 < 0 并求得其解集
答案 B
解析 设F(x)＝f(x)· SKIPIF 1 < 0 ，
则F′(x)＝f′(x)· SKIPIF 1 < 0 ＋eq \f(1,2) f(x)· SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2) fx＋f′x))>0，
所以函数F(x)在R上单调递增，
又f(1)＝eq \f(1,2)，
所以F(1)＝f(1)· SKIPIF 1 < 0
又2f(x)> SKIPIF 1 < 0 等价于f(x)· SKIPIF 1 < 0
即F(x)>F(1)，所以x>1，
即所求不等式的解集为(1，＋∞)．
规律方法 构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．
方法五 估算法
因为单选题提供了唯一正确的答案，解答又不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省了时间，从而显得更加快捷．
例5 (1)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是eq \f(\r(5)－1,2)(eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是eq \f(\r(5)－1,2).若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( )
A．165 cm B．175 cm
C．185 cm D．190 cm
思路分析 估计身高→人体各部分长度大致范围→题中长度关系估算
答案 B
解析 头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得咽喉至肚脐的长度小于42 cm，肚脐至足底的长度小于110 cm，则该人的身高小于178 cm，又由肚脐至足底的长度大于105 cm，可得头顶至肚脐的长度大于65 cm，则该人的身高大于170 cm，所以该人的身高在170 cm～178 cm之间．
(2)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq \r(3)，则三棱锥D－ABC体积的最大值为( )
A．12eq \r(3) B．18eq \r(3)
C．24eq \r(3) D．54eq \r(3)
思路分析 V三棱锥D－ABC最大值→三棱锥高的最大值→依据三棱锥和球的关系估算
答案 B
解析 等边三角形ABC的面积为9eq \r(3)，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥的高h应满足h∈(4,8)，所以eq \f(1,3)×9eq \r(3)×4