新高考数学二轮复习 第2部分 思想方法 第3讲 分类讨论思想 （含解析）

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第3讲　分类讨论思想思想概述　分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．方法一　由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．例1　(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q是(　　)A．－  B.  C．－  D.答案　C解析　若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，但a1≠0，即得S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，故q≠1.又S3＋S6＝2S9，①根据数列性质S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，②由①②可得S3＝2S6，∴q3＝＝－，∴q＝－.(2)已知函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的取值集合是________．思路分析　求a→代入f1，fa求解→讨论a答案　解析　f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1，所以a＝1.当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa2)＝1，所以πa2＝2kπ＋(k∈Z)．所以a2＝2k＋(k∈Z)，k只能取0，此时a2＝，因为－1<a<0，所以a＝－.则实数a的取值集合为.解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类.本题中，等比数列求和公式的两种情形，分段函数中自变量的不同范围均构成分类的标准.方法二　由图形位置或形状引起的讨论图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究．例2　设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P为椭圆上一点，已知点P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则＝________.思路分析　求→找|PF1|，|PF2|适合的条件→讨论Rt△PF1F2的直角顶点答案　或2解析　若∠PF2F1＝90°，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，又|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝.若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，又|PF1|>|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴＝2.综上知，＝或2.圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论.方法三　由参数变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全．例3　(1)若函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)A.   B.C．(－∞，0)   D．(0，＋∞)答案　D解析　函数f(x)＝aex－x－2a的导函数f′(x)＝aex－1，当a≤0时，f′(x)<0恒成立，函数f(x)在R内单调递减，不可能有两个零点；当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝ln ，函数在内单调递减，在内单调递增，所以f(x)的最小值为f ＝1－ln －2a＝1＋ln a－2a.令g(a)＝1＋ln a－2a(a>0)，则g′(a)＝－2，当a∈时，g(a)单调递增，当a∈时，g(a)单调递减，所以g(a)max＝g＝－ln 2<0，所以f(x)的最小值f <0，当x→－∞时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点．综上，实数a的取值范围是(0，＋∞)．(2)函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]·ex在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．思路分析　求f′x→看f′x＝0的解和1的关系→讨论a解　f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝1，若a>1，则当x∈时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在x＝1处取得极小值．若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－1<0，所以f′(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．含参数问题的求解要结合参数对题目结果的影响及参数的意义进行分类讨论.