中考数学压轴题33

每周两题（八)

1．（2022•青竹湖二模24T）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线对称，则把该函数称为“函数”，其图象上关于直线对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各题：

（1）在下列关于的函数中，是“函数”的，请在相应题目后面的括号中打“”，不是“函数”的打“”

①　　；②　　；③　　．

（2）关于的函数是常数）是“函数”吗？如果是，写出距离为的一对“点”坐标；如果不是，请说明理由；

（3）若关于的“函数” ，，是常数，的一对“点”， 、分别位于轴、轴上，求同时满足下列两个条件的“函数”的解析式：

①该“函数”截轴所得的线段长为2；

②该“函数”截直线所得的线段长为．

2．（2022•青竹湖二模25T）如图，为的直径，弦于点，为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接、、、．为常数，且．

（1）求证：；

（2）求的值（用含的式子表示）；

（3）设，．

①求与的数量关系；

②当，且时，求的值．

1．（2022•青竹湖二模24T）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线对称，则把该函数称为“函数”，其图象上关于直线对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各题：

（1）在下列关于的函数中，是“函数”的，请在相应题目后面的括号中打“”，不是“函数”的打“”

①　　；②　　；③　　．

（2）关于的函数是常数）是“函数”吗？如果是，写出距离为的一对“点”坐标；如果不是，请说明理由；

（3）若关于的“函数” ，，是常数，的一对“点”， 、分别位于轴、轴上，求同时满足下列两个条件的“函数”的解析式：

①该“函数”截轴所得的线段长为2；

②该“函数”截直线所得的线段长为．

【分析】（1）根据定义判断即可求解；

（2）根据题意求得直线过定点，根据“函数“的定义确定的值，进而设，则，根据勾股定理求得两点坐标距离为，进而即可求解；

（3）根据新定义，以及2个条件，根据一元二次方程根与系数的关系，列出方程组，解方程组，待定系数法求解析式即可．

【解答】

解：（1）①不是轴对称图形，故不是“函数”；

②是轴对称图形，其中一条对称轴为，故满足定义，是“函数”；

③，关于对称满足定义，是“函数”．

故答案为：①，②，③；

（2），

当时，，则直线过定点，

根据定义，其图象关于直线对称，

如图，设直线与坐标轴分别交于点，，根据定义，，关于对称，

，

由，令，则，令，则，

，

解得或，

或时，是“函数”，

当时，，

当时，，

以为圆心，为半径作圆，则圆与，的交点的距离为，

如图，设，为与直线的交点，则，即为所求的点，

设，则，

即，

解得，，

一对点的坐标分别为与；

（3）该函数截轴所得的线段长为2，

令，设两根分别为，．

则，

，

即①，

该“函数”截直线所得的线段长为，

过点，分别作坐标轴的垂线交于点，如图，

，在上，则是等腰直角三角形，

则，

联立，

得，设两根分别为，，

，

，

即②，

根据定义可知一对“点“、分别位于轴、轴上，

则，

由，

令，得，

解得：或，

令，则，

则或，

即③，

联立①②③并整理得，，

解得：或或，

根据题意，，，

或．

同时满足两个条件的“函数”的解析式为或．

【点评】本题考查函数综合运用，主要考查了新定义，待定系数法求解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，理解新定义是解题关键．

2．（2022•青竹湖二模25T）如图，为的直径，弦于点，为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接、、、．为常数，且．

（1）求证：；

（2）求的值（用含的式子表示）；

（3）设，．

①求与的数量关系；

②当，且时，求的值．

【分析】（1）连接，由垂径定理可得，则，由圆周角定理及邻补角定义可得，再计算角度差即可证；

（2）由垂径定理可得，于是，由，可得，解可得，据此即可得解；

（3）设、交于点，连接，，，过点作于点，过点作于点，则，

①由垂直平分，可得，，则，根据全等三角形的性质得出，由，可得，由可得，再由，便可解答；

②由可得，则，由是等腰直角三角形可得，由，可得，由可得，于是，勾股定理求得，即可解笞．

【解答】

（1）证明：如图，连接，

直径弦，

，

，

是的直径，

，

，

，

即；

（2）解：由垂径定理可得，垂直平分，

，

，

，

，

又，

，

，

，

在中，，则，

，

；

（3）解：如图，设、交于点，连接，，，过点作于点，过点作于点，则，

①垂直平分，

，，

，

，

，

，

由 （2）知，

，

，

，

，

，

；

②，，，

，

，

四边形是矩形，

，

，

由①结论可得，，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，

，

即，

，

，

，

，

即，

在中，，

在中，，

，

．

【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，正确作出辅助线是解题的关键．

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