中考数学压轴题（32）——抛物线性结合综合题

每周两题（六）

1．（2022春•长郡集团期中24T）如图1，抛物线与轴交于、两点，点为抛物线的顶点，连接．

（1）求的度数；

（2）如图2，以点为圆心，4为半径作，点在上．连接、，

①当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标；

②如图3，取的中点，连接，当点在上运动时，求线段长度的取值范围．

2．（2022春•长郡集团期中25T）如果以正实数，，为长度的三条线段能构成三角形，我们就称，，构成“三角形数组”．

（1）若4，，6构成“三角形数组”，求的取值范围；

（2）若的三边长分别为，，，且，，构成“三角形数组”，经过点的直线与抛物线有且仅有一个交点，判断的形状，并说明理由；

（3）若，，和，，均构成“三角形数组”，且，点，在函数为常数，的图象上，求的取值范围．

1．（2022春•长郡集团期中24T）如图1，抛物线与轴交于、两点，点为抛物线的顶点，连接．

（1）求的度数；

（2）如图2，以点为圆心，4为半径作，点在上．连接、，

①当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标；

②如图3，取的中点，连接，当点在上运动时，求线段长度的取值范围．

【分析】（1）利用二次函数的解析式求得点，的坐标，过点作于点，利用等腰直角三角形的性质即可得出结论；

（2）①利用等腰三角形的性质求得满足的点即可；

②设与轴交于点，则．连接，，，利用三角形的中位线和三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式，即可求得结论．

【解答】

解：（1）令，则，

解得：或8．

．．

，

．

过点作于点，如图，

则，，

，

；

（2）①设与轴交于点，则．连接，如图，

，

．

，

是以为底的等腰三角形．

点与点重合时，是以为底的等腰三角形．此时点；

过点作轴，交于点，延长交于点，连接，

过点作轴于点，如图，

则，，．

．

，

轴．

，．

，．

在和中，

，

．

．

是以为底的等腰三角形．此时点；

综上，当是以为底的等腰三角形时，点的坐标为或；

②设与轴交于点，则．连接，，，如图，

，

点是的中点．

为的中点，

是的中位线．

．

当点在上运动时，由三角形的三边的关系定理可知：

．

，

．

线段长度的取值范围为：．

【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．

2．（2022春•长郡集团期中25T）如果以正实数，，为长度的三条线段能构成三角形，我们就称，，构成“三角形数组”．

（1）若4，，6构成“三角形数组”，求的取值范围；

（2）若的三边长分别为，，，且，，构成“三角形数组”，经过点的直线与抛物线有且仅有一个交点，判断的形状，并说明理由；

（3）若，，和，，均构成“三角形数组”，且，点，在函数为常数，的图象上，求的取值范围．

【分析】（1）根据三角形的三边关系求解即可；

（2）根据经过点的直线与抛物线有且仅有一个交点，可得△，由直线过点得，代入△可得，即可判断的形状；

（3）由点，在函数为常数，的图象上，可得，根据三角形的三边关系以及“三角形数组”的定义即可求解．

【解答】

解：（1），，6构成“三角形数组”，

，

；

（2）是等边三角形，理由如下：

直线与抛物线有且仅有一个交点，

，即，△，

，

直线过点，

，

，

代△得，

，

，

是等边三角形；

（3）点，在函数为常数，的图象上，

，

，，构成“三角形数组”，

，，，

当时，；

当时，

，，构成“三角形数组”，

，

，

两边同乘以得，

，即，

，，

两边同乘以得，

，即，

两边除以得，

，

，解得，

，，

．

【点评】本题是二次函数综合题，考查了三角形的三边关系，一次函数、二次函数和反比例函数的性质，根的判别式，等边三角形的判定等，熟练掌握三角形的三边关系以及一次函数、二次函数和反比例函数的性质是解题的关键．

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