中考数学压轴题35

每周两题（七）

1．（2022•青竹湖一模24T）我们不妨定义：有两边之比为的三角形叫敬“勤业三角形”．

（1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是 　　    ；（填序号）

①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形．

（2）如图1，是的内接三角形，为直径，为上一点，且，作，交线段于点，交于点，连接交于点．试判断和是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出的值；如果不是，请说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的余弦值．

2．（2022•青竹湖一模25T）如图1，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点．

（1）求、、三点的坐标（可用含的式子表示）；

（2）当时，若点是抛物线上一点，且，求所有满足条件的点的坐标；

（3）在（2）的条件下，若将抛物线沿着轴向右平移个单位后得到抛物线，如图2，与原直线交于、两点在的左侧），且，求的值．

1．（2022•青竹湖一模24T）我们不妨定义：有两边之比为的三角形叫敬“勤业三角形”．

（1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是 　③④　；（填序号）

①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形．

（2）如图1，是的内接三角形，为直径，为上一点，且，作，交线段于点，交于点，连接交于点．试判断和是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出的值；如果不是，请说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的余弦值．

【分析】（1）根据“勤业三角形”的定义进行计算，即可一一判定；

（2）如图，连结，设，可证得，，可得，结合，可得，即可判定和都是“勤业三角形“，再根据相似三角形的性质即可求得的值；

（3）如图，过点作交于点，可得，，可证得，

设，则，利用，可求得，，从而可得答案．

【解答】

解：①等边三角形各边的比值为1，故等边三角形不是“勤业三角形“；

②等腰直角三角形两直角边的比值为1，直角边与斜边的比为，故等腰直角三角形不是“勤业三角形”；

③设含30角的直角三角形的最短边长为，则斜边长为，另一条直角边长为，，故含角的直角三角形是“勤业三角形“；

④如图：中，，，过点作于点，

，

设，则，，

，

，

含角的等腰三角形是“勤业三角形”，

故答案为：③④；

（2）解：和都是“勤业三角形”，

证明如下：

如图：连接，设，

，

，

，

又，

，即，

，

又，

，

，

，

，

，

，，

，，

和都是“勤业三角形“，

；

（3）解：如图：过点作交于点，

，，

，，

，

，

，

，

设，，

由（2）知，，

，

，，

，

，

在中，

，

即．

【点评】本题考查了新定义问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数的定义等有关知识，作出辅助线是解题的关键．

2．（2022•青竹湖一模25T）如图1，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点．

（1）求、、三点的坐标（可用含的式子表示）；

（2）当时，若点是抛物线上一点，且，求所有满足条件的点的坐标；

（3）在（2）的条件下，若将抛物线沿着轴向右平移个单位后得到抛物线，如图2，与原直线交于、两点在的左侧），且，求的值．

【分析】（1）由可求得：，，由可求得；

（2）先根据，可求得，得出，再分两种情况：当点在轴下方时，利用平行线的判定可得轴，即可利用抛物线的对称性求得；当点在轴上方时，利用“等角对等边”可得，设，建立方程求解即可得出，再利用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组求解可得，；

（3）运用平移变换的性质可得抛物线，利用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组可得出：点的横坐标为，点的横坐标为，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，再证得，得出，结合，可得，即可建立方程求得答案．

【解答】

解：（1）当时，，

解得：或，

，，

当时，，

；

（2），，

，，

，

，

解得：，

，

当点在轴下方时，如图，

，

，即轴，

抛物线对称轴为直线，点与点关于抛物线对称轴对称，

；

当点在轴上方时，设交轴于点，如图，

，

，

设，则，，

在中，，

，

解得：，

，

设直线的解析式为，

则，

解得：，

直线的解析式为，

联立方程组，

解得：（舍去），，

，；

综上所述，点的坐标为或，；

（3）由（2）知：，

抛物线，

将抛物线沿着轴向右平移个单位后得到抛物线，

抛物线，

设直线的解析式为，把，代入，

得：，

解得：，

直线的解析式为，

联立方程组，

解得：，

点的横坐标为，点的横坐标为，

如图，过点作轴于点，过点作轴于点，

则，，

轴，

，

，

，

，

，

，，，

解得：或，

，

．

【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、求一次函数的解析式、相似三角形的性质、一元二次方程等知识的综合应用，解题的关键是通过正确地作出辅助线，构造所需要的图形，从而列出方程，求得结果．此题综合性强，难度较大，属于中考压轴题．

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