中考数学压轴题39

每周两题（十三）

1．如图，已知直线与抛物线相交于，两点，且点为抛物线的顶点，点在轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点，使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点是轴上一点，且为直角三角形，求点的坐标．

2．如图①，线段，交于点，连接和，若与，与中有一组内错角成两倍关系，则称与为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角．

（1）如图②，在四边形中，对角线，交于点，已知，为等边三角形．求证：，为倍优三角形．

（2）如图③，已知边长为2的正方形，点为边上一动点（不与点，重合），连接和，对角线和交于点，当和为倍优三角形时，求的正切值．

（3）如图④，四边形内接于，和是倍优三角形，且为倍优角，延长，交于点．

①若，，求的半径；

②记的面积为，的面积为，，，当时，求关于的函数表达式．

1．如图，已知直线与抛物线相交于，两点，且点为抛物线的顶点，点在轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点，使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点是轴上一点，且为直角三角形，求点的坐标．

【分析】（1）已知点坐标可确定直线的解析式，进一步能求出点的坐标．点是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点的坐标，依据待定系数法可解．

（2）首先由抛物线的解析式求出点的坐标，在和中，已知的条件是公共边，若与不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若等于，那么还要满足的条件为：，各自去掉一个直角后容易发现，点正好在第二象限的角平分线上，联立直线与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点在第二象限的限定条件．

（3）分别以、、为直角顶点，分类进行讨论．找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可．

【解答】

解：（1）把代入，得，

，

令，解得：，

的坐标是．

为顶点，

设抛物线的解析为，

把代入得：，

解得，

．

（2）存在．，，当时，，

此时平分第二象限，即的解析式为．

设，则，解得，舍），

，．

（3）①如图，当时，，

，即，，

，即；

②如图，当时，，

，即，

，即；

③如图，当时，作轴于，

则△，

，即，

，或3，

即，．

综上，点坐标为或或或．

【点评】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式的方法、直角三角形的判定、全等三角形与相似三角形应用等重点知识．（3）题较为复杂，需要考虑的情况也较多，因此要分类进行讨论．

2．如图①，线段，交于点，连接和，若与，与中有一组内错角成两倍关系，则称与为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角．

（1）如图②，在四边形中，对角线，交于点，已知，为等边三角形．求证：，为倍优三角形．

（2）如图③，已知边长为2的正方形，点为边上一动点（不与点，重合），连接和，对角线和交于点，当和为倍优三角形时，求的正切值．

（3）如图④，四边形内接于，和是倍优三角形，且为倍优角，延长，交于点．

①若，，求的半径；

②记的面积为，的面积为，，，当时，求关于的函数表达式．

【分析】（1）是等边三角形，得到，又，故，即可求解；

（2）①若，得到，进而求解；②若，得到，则，即可求解；

（3）①证明，则，则，设的半径为，则，解得，即可求解；

②由，则，即可求解．

【解答】

解：（1）证明：是等边三角形，

，

，

又，

，

，

与为倍优三角形．

（2）由题意，，．

①若，

则，

平分．

过点作于，

得，

不妨设，则．

则，

，

，

．

②若，

过点作交于，

则．

又，

，

则，

故，

．

综上，的正切值为或；

（3）①过作于点，交于点，连接，．

为倍优角，

，

．

，

，

，

．

，，

，

．

设的半径为，

，解得，

的半径为．

②，，

．

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

则，

，

，即．

【点评】本题为圆的综合题，主要考查了圆的基本知识、三角形相似、解直角三角形、新定义等，综合性强，难度较大．

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