中考数学压轴题（30）——定义函数综合题

每周两题（四）

1．我们定义：对于一个函数，如果自变量与函数值，满足：若，则，为实数），我们称这个函数在上是同步函数．比如：函数在上是同步函数．理由：，，，得，是同步函数．

（1）若函数在上是同步函数，求的值；

（2）已知反比例函数在上是同步函数，求的值；

（3）若抛物线在上是同步函数，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于，点，与轴相交于点．若的内心为，外心为，试求的长．

2．在平面直角坐标系中，对于及内一点，给出如下定义：若存在过点的直线，使得它与相交所截得的弦长为，为的半径），则称点为的“近内点”．

（1）已知的半径为4，

①在点，，，中，的“近内点”是 　　   ；

②点在直线上，若点为的“近内点”，则点的纵坐标的取值范围是 　   　；

（2）的圆心为，半径为3，直线与轴，轴分别交于，，若线段上存在的近内点“”，则的取值范围是 　　      ．

1．我们定义：对于一个函数，如果自变量与函数值，满足：若，则，为实数），我们称这个函数在上是同步函数．比如：函数在上是同步函数．理由：，，，得，是同步函数．

（1）若函数在上是同步函数，求的值；

（2）已知反比例函数在上是同步函数，求的值；

（3）若抛物线在上是同步函数，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于，点，与轴相交于点．若的内心为，外心为，试求的长．

【分析】（1）根据同步函数的定义和一次函数的增减性可得答案；

（2）根据反比例函数的增减性可知，时，，从而得出答案；

（3）由，，得，则抛物线在上是递增的，可知时，，且最小值为，得出抛物线的解析式，从而得出点、、的坐标，设，根据，可得的坐标，再利用面积法求出点的坐标，从而解决问题．

【解答】

解：（1）由题意，，，且函数在上是递减的，

，

；

（2）由题意，当时，，

反比例函数在或上是递减的，

当时，取最大值，当，取最小值，

，

；

（3）抛物线的顶点式为，

顶点坐标为，

，，

，

抛物线在上是递增的，

当时，取最小值，

，

，

抛物线的函数表达式为，

抛物线与直线相交于、两点，设，，

假设点在点的左侧，即，

，

，，

在中，，，，

，，，

外心在线段的垂直平分线上，设，

则，

，

，

，

在中，根据内心的性质，设内心到各边距离为，得

，

，

是等腰三角形，轴为的角平分线，

内心在轴上，

，

，

．

【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内心的性质等知识，理解新定义，得出抛物线的解析式从而得出的顶点坐标是解题的关键．

2．在平面直角坐标系中，对于及内一点，给出如下定义：若存在过点的直线，使得它与相交所截得的弦长为，为的半径），则称点为的“近内点”．

（1）已知的半径为4，

①在点，，，中，的“近内点”是 　，　；

②点在直线上，若点为的“近内点”，则点的纵坐标的取值范围是 　　；

（2）的圆心为，半径为3，直线与轴，轴分别交于，，若线段上存在的近内点“”，则的取值范围是 　　．

【分析】（1）①求出过点的最短的弦的长，弦长小于等于4即可．

②如图2中，设点在直线上，且过点的的最短的弦长为4，此时，可得，和，．再求出与直线的交点坐标，即可判断．

（2）如图3中，当直线与相切时，，，，，点满足条件时，的值，可得，利用图象法可知，满足条件的的值为，再根据对称性，求出图4中，满足条件的的范围即可．

【解答】

解：（1）①如图1中，观察图象可知，，是的“近内点”．

故答案为：，．

②如图2中，设点在直线上，且过点的的最短的弦长为4，此时，可得，和，．

由题意，直线与的交点，，，

观察图象可知，满足条件的点的纵坐标的取值范围：或．

（2）如图3中，当直线与相切时，，，，，

当点的坐标为，时，点是的近内点“”，

观察图象可知，满足条件的的值为，

如图4中，根据对称性，同法可得，满足条件的的值为．

综上所述，满足条件的的值为或．

【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，解直角三角形，点为的“近内点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/3 15:43:39；用户：严平；邮箱：15111341689；学号：19129422