中考数学压轴题（27）——抛物线与函数综合题

每周两题（一）

1．（2021秋•明德期中24T）若“子函数” 、满足，则称函数是“子函数” 、的“母函数”．例如，“子函数”分别为一次函数和二次函数，则“子函数” 、的“母函数”为．

（1）“子函数”分别为反比例函数和一次函数，它们的“母函数”过点，求的值；

（2）若“子函数” 为二次函数，且，在时取得最值，“子函数” 是一次函数，且“母函数”为，当时，求“子函数” 的最小值（用含的式子表示）；

（3）“子函数”分别为二次函数与一次函数，其中且，若它们的“母函数”与轴交点为，、，，求的取值范围．

2．（2021秋•明德期中25T）已知抛物线过点和坐标原点，一次函数与轴交于点．

（1）求出抛物线的对称轴；

（2）如图1，以线段为直径作，在第一象限内的圆上存在一点，使得为等边三角形，求过点的切线的函数解析式；

（3）如图2，在（2）的条件下，当时，若抛物线上有且只存在三点、、，使得，过点的切线与抛物线交于、两点，试问：在直线下方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

1．（2021秋•明德期中24T）若“子函数” 、满足，则称函数是“子函数” 、的“母函数”．例如，“子函数”分别为一次函数和二次函数，则“子函数” 、的“母函数”为．

（1）“子函数”分别为反比例函数和一次函数，它们的“母函数”过点，求的值；

（2）若“子函数” 为二次函数，且，在时取得最值，“子函数” 是一次函数，且“母函数”为，当时，求“子函数” 的最小值（用含的式子表示）；

（3）“子函数”分别为二次函数与一次函数，其中且，若它们的“母函数”与轴交点为，、，，求的取值范围．

【分析】（1）根据子函数的定义求．

（2）先用表示，在用二次函数性质求最值．

（3）先求，再求的范围即可．

【解答】

解：（1）由题意得：，的“母函数”为：

．

．

将点代入得：

．

．

（2）由题意：

．

是二次函数，是一次函数．

，

．

在取得最值．

．

．

．

．

．

．

．

开口向上，对称轴：．

．

当时，，

．

当时，，．

．

，

当时，，

．

综上：

（3）设与轴交于，，，．

则，是方程的两根．

．

．

，．

，

．

，．

．

．

．

．

．

．

．

．

．

．

．

【点评】本题考查新定义及二次函数的最值，理解新定义，找到字母的关系和范围是求解本题的关键．

2．（2021秋•明德期中25T）已知抛物线过点和坐标原点，一次函数与轴交于点．

（1）求出抛物线的对称轴；

（2）如图1，以线段为直径作，在第一象限内的圆上存在一点，使得为等边三角形，求过点的切线的函数解析式；

（3）如图2，在（2）的条件下，当时，若抛物线上有且只存在三点、、，使得，过点的切线与抛物线交于、两点，试问：在直线下方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法求出抛物线表达式，进而求解；

（2）利用为边长为2的等边三角形，得到点的坐标为，在中，，故，则点的坐标为，进而求解；

（3）抛物线上有且只存在三点、、，使得，则有一个点为抛物线的顶点，得到，利用，进而求解．

【解答】

解：（1）令，解得，故点，

抛物线过原点，则，

故抛物线的表达式为，

将点的坐标代入上式得：，即，

故抛物线的表达式为①，

则抛物线的对称轴为；

（2）由（1）知，，则为边长为2的等边三角形，

则该三角形的高为，故点的坐标为，

在中，，

故，则点的坐标为，

设切线的表达式为，则，解得，

故直线的表达式为②，

（3）存在，理由：

抛物线上有且只存在三点、、，使得，

则有一个点为抛物线的顶点，如下图，

根据函数的对称轴，则为边长为4的等边三角形，

同理可得，点，即抛物线的顶点为，

将点的坐标代入①得：，解得，

则抛物线的表达式为③，

联立②③并整理得：，

解得，则，

过点作轴交于点，

设点，则点，

则，

，故抛物线开口向下，的面积存在最大值，

此时，则点的坐标为，．

【点评】本题是二次函数综合题，主要考查的是一次函数的性质、等边三角形的性质、圆的基本的性质、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．

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