中考数学压轴题（29）——定义函数与函数运动点综合题

每周两题（三）

1．（2022•雅礼集团一模24T）定义：对于函数图象上任意一点，，当满足、为正实数）时，函数图象上都存在唯一的点，，其中，使得成立，则称该函数在时为“依赖函数”．

（1）判断函数在时是否为“依赖函数”，并说明理由；

（2）若函数在时是“依赖函数”，求的取值范围；

（3）已知函数在时是“依赖函数”，且在时不等式对于任意实数都成立，求实数的取值范围．

2．（2022•雅礼集团一模25T）已知二次函数的图象经过、两点，顶点为点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如二次函数的图象与轴交于点，抛物线上是否存在点，使得，若存在求出点坐标，若不存在请说明理由；

（3）经过点并且与直线平行的直线与二次函数图象的另一交点为，，垂足为，轴交直线于点，点是线段之间一动点，交直线于点，延长与线段的延长线交于点，点为的外心，求点从点运动到点的过程中，点经过的路线长．

1．（2022•雅礼集团一模24T）定义：对于函数图象上任意一点，，当满足、为正实数）时，函数图象上都存在唯一的点，，其中，使得成立，则称该函数在时为“依赖函数”．

（1）判断函数在时是否为“依赖函数”，并说明理由；

（2）若函数在时是“依赖函数”，求的取值范围；

（3）已知函数在时是“依赖函数”，且在时不等式对于任意实数都成立，求实数的取值范围．

【分析】（1）假设成立，则，再由是取值范围判定即可；

（2）由，可得，整理得，又由，，得到，，所以，，解得；

（3）由题意可得，再由，求出，将，整理后得，根据题意可得△，整理得，再由，可求．

【解答】

解：（1），

假设成立，则，

，

不存在使得，

函数在时不是“依赖函数”；

（2）函数在时是“依赖函数”，

，

，

，

，

，

，，

，，

，，

解得；

（3），

抛物线的对称轴为直线，

函数在时是“依赖函数”，

，

函数在上随值的增大而减小，

当时，，

当时，，

，

，

，

，

，

对于任意实数都成立，

△，

整理得，

，

．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解新定义，能够区分恒成立和成立时满足的条件是解题的关键．

2．（2022•雅礼集团一模25T）已知二次函数的图象经过、两点，顶点为点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如二次函数的图象与轴交于点，抛物线上是否存在点，使得，若存在求出点坐标，若不存在请说明理由；

（3）经过点并且与直线平行的直线与二次函数图象的另一交点为，，垂足为，轴交直线于点，点是线段之间一动点，交直线于点，延长与线段的延长线交于点，点为的外心，求点从点运动到点的过程中，点经过的路线长．

【分析】（1）将、代入，即可求解；

（2）设直线与轴的交点为，，可求出点坐标为或，分两种情况求出直线的解析式，再求直线与抛物线的交点即可为点坐标；

（3）根据题意，分别求出题中各点坐标，直线、直线，直线的解析式，由点在线段上运动，则点的运动轨迹是线段，分别当点在、时求出对应的点坐标，就可以找到点运动轨迹的线段端点坐标，即可求轨迹的长．

【解答】

解：（1）将、代入，

，

解得，

；

（2）存在点，使得，理由如下：

如图1，设直线与轴的交点为，

令，则，

，

，

，

，

，

，即，

，

，

或，

当时，设直线的解析式为，

，

解得，

，

联立方程组，

解得或（舍，

；

当时，同理可得；

综上所述：点坐标为或；

（3），

，

设直线的解析式为，

，

，

直线的解析式为，

，

直线的解析式为，

联立方程组，

解得或（舍，

，

直线与轴的交点坐标为，

，

，

直线与轴的夹角为，

直线的解析式为，

联立方程组，

解得，

，

轴，

，

当点与点重合时，如图2，

，

，点与点重合，

是的外心，

，

，

轴，

，

是的中点，

，

当点与点重合时，如图3，

设直线的解析式为，

，

解得，

解得，

联立方程组，

解得，

，

，

直线的解析式为，

联立方程组，

解得，

，

，

点从点运动到点的过程中，点经过的路线长为1．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式，会求函数的交点坐标，根据点的运动情况确定点的轨迹是线段是解题的关键．