中考数学压轴题（28）——定义函数与圆综合题

每周两题（二）

1．（2022秋•广益月考）我们定义：点在一次函数上，点在反比例函数上，若存在、两点关于轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，、两点关于轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”．

（1）判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不是，请说明理由；

（2）若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；

（3）已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点” 、在左侧），其“向光函数” 与轴交于、两点在左侧），若有以下条件：①②“向光函数”经过点③，记四边形的面积为，求的取值范围．

2．（2022秋•广益月考）如图1，半径为3的中任作一个圆内接，为劣弧上一动点，连接，，且，相交于点．

（1）求证：；

（2）如图2，当过圆心时，有，，求此时的长；

（3）如图3，当运动到某一位置时，过作直线垂直于，垂足为，与边交于点，恰有，若，且，求此时的长．

1．（2022秋•广益月考）我们定义：点在一次函数上，点在反比例函数上，若存在、两点关于轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，、两点关于轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”．

（1）判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不是，请说明理由；

（2）若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；

（3）已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点” 、在左侧），其“向光函数” 与轴交于、两点在左侧），若有以下条件：①②“向光函数”经过点③，记四边形的面积为，求的取值范围．

【分析】（1）设一次函数上任意一点，则点关于轴的对称点，根据题意可得，求出的值即可求“幸福点”；

（2）设一次函数上任意一点，则点关于轴的对称点，根据题意可得，再由△，求出的值即可确定“向光函数”的解析式；

（3）由题意可得，，，，再由已知条件得到，，则，求得，再由，求出．

【解答】

解：（1）存在“向光函数”，理由如下：

设一次函数上任意一点，则点关于轴的对称点，

当时，解得或，

或是“幸福点”，一次函数和反比例函数存在“向光函数”；

（2）设一次函数上任意一点，则点关于轴的对称点，

当时，，

一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，

△，

解得或，

当时，，，则“向光函数”为；

当时，，，则“向光函数”为；

（3）设一次函数上任意一点，则点关于轴的对称点，

当时，，

一次函数与反比例函数有两个“幸福点”，

△，，，

“向光函数” 与轴交于、两点，

，，

“向光函数”经过点，

，

，

，，

，

，

，

，

，，

，

，

，

．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，一元二次方程根与系数的关系，弄清新定义是解题的关键．

2．（2022秋•广益月考）如图1，半径为3的中任作一个圆内接，为劣弧上一动点，连接，，且，相交于点．

（1）求证：；

（2）如图2，当过圆心时，有，，求此时的长；

（3）如图3，当运动到某一位置时，过作直线垂直于，垂足为，与边交于点，恰有，若，且，求此时的长．

【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等可得，然后根据对顶角相等可证问题；

（2）过点作于点，由题意可知，则，设，则，然后根据含30度直角三角形的性质可得，，进而根据射影定理可得，则可求出的值，最后根据相似三角形的性质可求解；

（3）连接并延长，交于点，连接，由题意易证，然后可得，则可得，设，则，进而根据勾股定理可建立方程求解．

【解答】

（1）证明：，，

；

（2）解：过点作于点，如图，

，

是的直径，

，

，

，

，

．即，

，，，

，，

设，则，，

，

，

，

解得：（负根舍去），

，

由（1）可知，

，即，

；

（3）解：，，

，

，

，

，即，

，

连接并延长，交于点，连接，如图，

是的直径，

，

，

，

，

，

，

设，

，

，

在中，，由勾股定理得：，

解得：，，，

，

，即．

【点评】本题主要考查圆周角定理、勾股定理、相似三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、勾股定理、相似三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键．

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