中考几何模型压轴题 专题29《函数与圆》

中考数学几何专项复习策略

在九年级数学几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的课题。本文试图从优质教学观的理论对课堂的结构和教师专业素养以及结合多年一线教学实践经验作出阐述、探究，举例谈几何专题复习的几点策略：

策略一 建构高效的课堂教学模式-----先学后教，当堂训练。

高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。

策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊

　  总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。

策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。

几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。  

专题29《函数与圆》

破解策略

    直线与圆位置关系的解题策略：

    （1）利用圆的切线性质“圆心到直线的距离等于半径”解决问题；

    （2）联立直线方程和圆的方程构成方程组，通过该方程组的解来解决问题；

    （3）利用勾股定理或勾股定理逆定理，建立未知量的方程解决问题；

    （4）构造相似三角形，列比例式解决问题．

例题讲解  

    例1 如图，直线l：y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，⊙O的半径为1，C是y轴正半轴上的一个点，如果⊙C与⊙D相切，又与直线l相切，求圆心C的坐标．

解 如图1，过点C作CD⊥AB于点D．易证△CDB∽△AOB．所以．

设CD＝ 3m，BC＝5m，则点C的坐标为（0，4－5m），⊙C的半径为3m．

所以⊙O与⊙C的圆心距为d＝OC＝4－5m．

①如图2，当两圆外切时．有3m＋1＝4－5m，

解得m＝，此时圆心C的坐标为（0，）．

②如图3．当两圆内切时，有3m－1＝4－5m．

解得m＝．此时圆心C的坐标为（0，），

综上可得，符合满足题意的圆心C的坐标为（0，）或（0，）

例2  在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点（1，1），（－2，－2），…都是梦之点，显然梦之点有无数个．点Q是反比例函数y＝上异于点P（2，2）的梦之点，过点Q的直线l与y轴交于点A，tan∠OAQ＝1．已知点M（m，3）．若⊙O的半径为，在⊙O上存在一点N，使得直线MN∥l或MN⊥l，求出m的取值范围．

解  因为tan∠OAQ＝1．

所以∠OAQ＝45°，

由已知MN∥l或MN⊥l，

所以直线MN为y＝－x＋b或y＝x＋b．

①若MN为y＝－x＋b时，将点M的坐标代入，可得m＝b－3

    （i）如图，当直线MN平移至与⊙O相

切，且切点在第三象限时，b取得最小值．

    此时MN记为M1N1，其中N1为切点，

T1为直线M1N1与y轴的交点，

    显然△OT1N1为等腰直角三角形，

    所以OT1＝ON1＝2，

    所以b的最小值是－2．

    所以m的最小值是－5．

    （ii）如图，当直线MN平移至与⊙O相

切，且切点在第一象限时，b取得最大值．

此时MN记为M2N2，其中N2为切点，T2为直线M2N2与y轴的交点，

同理可得b的最大值为2，m的最大值为－1．

所以m的取值范围为5≤rn≤－1，

②若直线MN为y＝x＋b．

同理可得m的取值范因为1≤m≤5．

综上所述，m的取值范围为－5≤m≤－1或1≤m≤5．

例3  设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R．对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，，2），B（－，－1），C（，－1）．

（1）如图1．过点A作直线交x轴正半轴于点M，使∠AMO＝30°．若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围；

   （2）如图1，将直线AM向下平移得到直线y＝kx＋b，当b满足什么条件时，直线y＝kx＋b上总存在等边△ABC的中心关联点？

    （3）如图2，Q为直线y＝－1上一动点，⊙Q的半径为，当点Q从点（－4，－1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒，是否存在某一时刻t，使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；

如果不存在，请说明理由．

  解 （1）由∠AMO＝30°．可得AM＝2OA＝4，OM＝OA＝2．

    如图3．过点O作OH⊥AM于点H．

    易求OH＝OM＝，

    即AM与外接圆相交，与内切圆相离，记AM与外

    接圆的另一个交点为G．

    连结OG，则△OAG为等边三角形，

    所以AC＝OG＝AM，

    即G为AM的中点，

    所以点G的坐标为（，1）．

    显然AG上的点都是△ABC的中心关联点，

    所以0≤M≤．

（2）直线AM向下平移的过程中，只要与△ABC

的外接圆和内切圆组成的圆环有交点，则直线

 y＝kx＋b上就存在等边△ABC的中心关联点．

    如图4，直线IJ∥AM，且与△ABC的外接圆相切

    于点K，此时为直线y＝kx＋b的临界状态．

    连鲒OK，则OK＝2．

    所以OJ＝，

    所以≤b≤2．

    （3）存在．符合题意的t的值为4－或4＋．

    如图5，当点Q移动到Q1．Q2住置时．即⊙Q内切

    圆环时，⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点．

    连结OQ1，OQ2，

    则OQ1＝OQ2＝．

    令直线y＝－1与y轴的交点为L，则OL＝1．

    所以Q1L＝Q2＝，

    所以，

进阶训练

1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x＝1，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，－3）．

（1）求抛物线的表达武；

（2）平行于x轴的一条直线交抛物线于M，N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．

答案：（1）抛物线的表达式为；（2）满足条件的圆有2个，其半径为或．

【提示】（2）令点M在点N的左侧，设圆的半径为r，则xN＝r＋1，yN＝r2－4，若以MN为直径的圆与x轴相切，则，解得，，如图，满足条件的圆有两个，其半径为或．

2．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），且m≠0，点B的坐标为（n，0），将线段AB绕点B旋转90°，分别得到线段BP1，BP2，称点P1，P2为点A关于点B的“伴随点”，图1为点A关于点B的“伴随点”的示意图．

图1                                           图2

（1）已知点A的坐标为（0，4），点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，求y与x之间的关系式；

（2）如图2，点C的坐标为（－3，0），以C为圆心，为半径作圆，若在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，求出点A纵坐标m的取值范围．

答案：（1）y＝－x－4；（2）－5≤m≤－1或1≤m≤5．

【提示】（1）如图，分别过点P1，P2向x轴作垂线，垂足分别为M、N，对于伴随点P1（x，y），有△AOB≌△BMP1，所以BM＝OA＝4，OB＝MP1＝－y，所以BM＝OB＋OM＝－y－x＝4，即y＝－x－4，对于伴随点P2（x，y）有△AOB≌△BNP2，所以BN＝OA＝4，OB＝NP2＝y，所以BN＝ON－OB＝x－y＝4，即y＝x－4．

（2）点A（0，m），点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，则y与x之间的关系式为y＝－x－m，或y＝x－m，所以⊙C与直线y＝－x－m，y＝x－m的位置关系为相交或相切，相切时的位置关系如图所示．当y＝x－m与⊙O相切时，得m＝5或1，当y＝－x－m与⊙O相切时，得m＝－5或－1，所以－5≤m≤－1或1≤m≤5．

3．在平面直角坐标系xOy中，绐出如下定义：对于⊙C及⊙C上两点M、N，当∠MPN最大时，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．

图1                                图2

（1）如图1，⊙O的半径为1，若点P在直线上，且点P关于⊙O的“视角”大于60°，求点P的横坐标xP的取值范围；

（2）如图2，⊙C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（0，－1），若线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，求点C的横坐标xC的取值范围．

答案：（1）0＜xP＜；（2）xC＜或xC＞．

【提示】（1）因为点P关于⊙O的视角为60°时，点P在以O为圆心，2为半径的圆上，而点P关于⊙O的“视角”大于60°，所以点P在以O为圆心，1位半径和以O为圆心，2为半径的圆环内，因为点P在直线上，如图，则半径为2的圆与直线的交点为临界点，此时xP＝0或，所以0＜xP＜．

（2）因为关于⊙C的“视角”小于120°，所以该点在以C为圆心，为半径的圆外，所以xC＜或xC＞．