数学选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系导学案

这是一份数学选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系导学案，共21页。
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
(教师独具内容)
课程标准：1.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系，并掌握判断方法.2.掌握直线与圆锥曲线相交时弦长的计算，弦的中点以及与之相关的问题等．
学法指导：通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，能用坐标法解决直线与圆锥曲线有关的问题，体会数形结合思想．
教学重点：直线与圆锥曲线的位置关系及直线与圆锥曲线相交时弦长、弦中点等问题．
教学难点：直线与圆锥曲线的综合问题.




我们知道，通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，而且这些问题都可以转化为方程组的解的问题．那么，在平面直角坐标系中我们可以通过方程组的解的问题来探讨直线与圆锥曲线的位置关系吗？

知识点一　直线与圆锥曲线的位置关系
(1)判断方法
①代数法：将问题转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数问题，进而转化为一元二次(或一次)方程解的情况去研究．
ax2＋bx＋c＝0.

方程特征
交点个数
位置关系
直线与椭圆
a≠0，Δ>0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δb>0)
k＝－
双曲线：－＝1(a>0，b>0)
k＝
抛物线：y2＝2px(p>0)
k＝
其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标．
3．与圆锥曲线的切线有关的直线方程

椭圆
双曲线
抛物线
圆锥曲线的方程
＋＝1
(a>b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
曲线上一点P(x0，y0)处的切线方程
＋＝1
－＝1
y0y＝p(x＋x0)
从曲线外一点P(x0，y0)所引的两条切线的切点弦方程
＋＝1
－＝1
y0y＝p(x＋x0)

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切．(　　)
(2)直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立所得方程组的解的个数．(　　)
(3)直线y＝x与双曲线x2－y2＝1有一个公共点．(　　)
(4)直线y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1相交．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为________.
(2)若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是________.
(3)已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________.
答案　(1)1或0　(2)　(3)



题型一 公共点的个数问题
例1　k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？
[解]　联立方程
得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
因为Δ＝24(3k2－2)，
当Δ>0，即k>或k或k2，即4>2.
∴k2>，即k>或k0建立不等关系，再由对称两点的中点在所给直线上，建立相等关系，由相等关系消参，由不等关系确定范围．
(2)用参数表示中点坐标，利用中点在圆锥曲线的内部建立关于参数的不等式，解不等式得参数范围．

[跟踪训练4]　试确定m的取值范围，使得椭圆＋＝1上有两点关于直线y＝4x＋m对称．
解　如图所示，设椭圆＋＝1上以A(x1，y1)，A′(x2，y2)为端点的弦关于直线y＝4x＋m对称，且AA′的中点M(x0，y0)是椭圆

＋＝1内的点，从而有x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.
由
由①－②得，4(y－y)＝－3(x－x)，
所以kAA′＝＝－＝－.
由kAA′＝－得－＝－，所以y0＝3x0.
由M(x0，y0)在直线y＝4x＋m上，
得x0＝－m，y0＝－3m，
所以M(－m，－3m)．
从而有＋0得a2＋b2>1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.
∴x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝0.
∴2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.
即－＋1＝0.
∴a2＋b2＝2a2b2，即＋＝2.
∴＋等于定值．
(2)∵e＝，∴b2＝a2－c2＝a2－a2e2.
又a2＋b2＝2a2b2，
∴2－e2＝2a2(1－e2)，
即a2＝＝＋.
∵≤e≤，
∴≤a2≤，即≤a≤，
∴≤2a≤ ，即椭圆长轴长的取值范围是[，]．



1．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是(　　)
A．－＜k＜ B．k＝或k＝－
C．k＞或k＜－ D．k＜且k≠－
答案　C
解析　由可得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)＞0，即k＞或k＜－时，直线与椭圆有两个公共点．故选C.
2．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，则|AB|等于(　　)
A．3 B．4
C．3 D．4
答案　C
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝x＋b，由消去y化简整理得x2＋x＋b－3＝0，∴x1＋x2＝－1，∴AB的中点M，又由M在直线x＋y＝0上，可得b＝1，∴x2＋x－2＝0，∴x1＋x2＝－1，x1x2＝－2，
∴|AB|＝＝＝＝3.故选C.
3．(多选)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是(　　)
A．直线AB与OM垂直
B．若点M的坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0
C．若直线方程为y＝x＋1，则点M的坐标为
D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝
答案　BD
解析　对于A，因为在椭圆中，根据椭圆中点弦的性质有kAB·kOM＝－＝－2≠－1，故A错误；对于B，根据kAB·kOM＝－2，kOM＝1，得kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，故B正确；对于C，若直线方程为y＝x＋1，点M，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，故C错误；对于D，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程＋＝1联立，得2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以|AB|＝·|－－0|＝，故D正确．故选BD.
4．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________.
答案　
解析　如图，双曲线的一条渐近线方程为

y＝x，F(5,0)，
∴直线过F且斜率为，
∴直线方程为y＝(x－5)，
由得－＝1，
整理得10x＝34，
∴x＝，y＝－，
而|AF|＝c－a＝5－3＝2，
∴S△AFB＝·|AF|·|y|＝×2×＝.
5．已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B，C两点．当直线l的斜率是时，＝4.
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
解　(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，直线l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.
联立
得2y2－(8＋p)y＋8＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝4.
由已知＝4得y2＝4y1.
∴y1＝1，y2＝4，p＝2，
∴抛物线G的方程为x2＝4y.
(2)设直线l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，
由
得x2－4kx－16k＝0，
由Δ>0得k0，
∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k，
∴BC的中垂线为y－2k2－4k＝－(x－2k)，
∴b＝2(k＋1)2，∴b>2.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
答案　C
解析　因为通径为2p＝8，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.故选C.
2．直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点(　　)
A．至多有一个 B．有2个
C．有1个 D．没有
答案　B
解析　∵直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴>2，∴m2＋n2b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________.
答案　－1
解析　因为tan∠MF1F2＝，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，F1M⊥F2M，且|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以c＋c＝2a，所以＝e＝－1.
8．双曲线的中心在原点，一个焦点坐标为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则双曲线的方程为________，弦MN的长为________.
答案　－＝1　
解析　由题意可得MN中点的坐标为，
设双曲线的方程为－＝1，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，则－＝1，①
－＝1，②
由①－②得＝，
即＝·，
所以＝，解得a2＝2，
故双曲线的方程为－＝1.
联立
得3x2＋4x－12＝0，则
x1＋x2＝－，x1x2＝－4，
故|MN|＝ ＝.
三、解答题
9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点的横坐标为2，求k的值．
解　(1)由题意，设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，
由抛物线的定义，得4－＝6，解得p＝4，
∴抛物线C的方程为y2＝8x.

(2)将抛物线C的方程与直线的方程联立，得

消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
∵直线y＝kx－2与抛物线C相交于不同的两点A，B，则有k≠0，Δ＝64(k＋1)>0，解得k>－1且k≠0.
∴x1＋x2＝.
∵AB中点的横坐标为2，
∴＝＝2，解得k＝2或k＝－1(舍去)．
∴k的值为2.
10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，直线l过A(a,0)，B(0，－b)两点，原点O到直线l的距离是.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点B作直线m交双曲线于M，N两点，若·＝－23，求直线m的方程．
解　(1)依题意，直线l的方程为＋＝1，
即bx－ay－ab＝0.
由原点O到直线l的距离是，得＝＝，
又e＝＝，所以b＝1，a＝.
故所求双曲线的方程为－y2＝1.
(2)显然直线m不与x轴垂直，
设直线m的方程为y＝kx－1，
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
联立方程
消去y得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0.①
依题意知1－3k2≠0，由根与系数的关系知
x1＋x2＝，x1x2＝.
则·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1)＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－23，解得k＝±，
当k＝±时，判别式Δ＝15>0，方程①有两个不相等的实数根，满足条件．
故直线l的方程为y＝x－1或y＝－x－1.
B级：“四能”提升训练
1．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是椭圆C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与椭圆C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求椭圆C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b的值．
解　(1)根据c＝及题意可得
M，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
解得＝，＝－2(舍去)．
故椭圆C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，
故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1