高中人教B版 (2019)2.8 直线与圆锥曲线的位置关系说课课件ppt

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1.理解直线与圆锥曲线的三种位置关系;2.能用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题;3.掌握数形结合思想的应用.
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直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点.(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.
如消去y后得ax2+bx+c=0.
①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).②若a≠0,设Δ=b2-4ac.Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点;Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点.
过关自诊1.直线y=x+1与椭圆x2+ =1的位置关系是(　　)A.相离B.相切C.相交D.无法确定
因为Δ=22+12=16>0,所以直线与椭圆相交.
2.椭圆与圆类似,是封闭曲线,能否用中心到直线的距离来判断直线与椭圆的位置关系?
解 不能.椭圆虽然与圆类似,但中心到椭圆上各点的距离不完全相等.
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长
(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,利用轴上两点间距离公式直接运算.
过关自诊顶点在原点,焦点在x轴上且截直线2x-y+1=0所得弦长为 的抛物线方程为　　　　　　　　　　. 
y2=12x或y2=-4x
解析 设所求抛物线的方程为y2=ax(a≠0).①直线方程变形为y=2x+1,②设抛物线截直线所得弦为AB.将②代入①,整理得4x2+(4-a)x+1=0,
探究点一　判断位置关系
角度1.点与椭圆位置关系的判断【例1】 已知点P(k,1),椭圆 =1,点P在椭圆外,则实数k的取值范围为　　　 　　. 
变式探究若将本例中P点坐标改为“P(1,k)”呢?
规律方法　处理点与椭圆位置关系问题时,紧扣判定条件,然后转化为解不等式等问题,注意求解过程与结果的准确性.对于椭圆来说:
角度2.直线与圆锥曲线的位置关系判断【例2】 [北师大版教材例题]讨论直线l:y=kx+1与双曲线C:x2-y2=1的公共点的个数.
消去y,整理,得(1-k2)x2-2kx-2=0.(1)当k=1时,x=-1.(2)当k=-1时,x=1.(3)当k≠±1时,Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2.
规律方法　判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,可将直线l的方程代入曲线C的方程,消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).(1)当a≠0时,若Δ>0,则直线l与曲线C相交;若Δ=0,则直线l与曲线C相切;若Δ<0,则直线l与曲线C相离.(2)当a=0时,即得到一个一次方程,则直线l与曲线C相交,且只有一个交点.此时,若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的对称轴.(3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线或抛物线可能相切,也可能相交.
变式训练1[北师大版教材例题]已知直线l经过点A(0,1),且与抛物线C:y2=x有唯一的公共点,求直线l的方程.
解 如图.(1)当直线l的斜率不存在时,直线l:x=0(y轴)与抛物线C相切于原点,符合条件.(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1.
①当k2=0时,直线l的方程为y=1,此时,方程组有唯一的实数解,符合条件;②当k2≠0时,方程(*)有唯一的实数解的充要条件是Δ=(2k-1)2-4k2=0,解得
此时,方程组有唯一的实数解,符合条件.综上,满足题意的直线l有三条:x=0,y=1,y= x+1.
探究点二　相交弦长问题
【例3】 [北师大版教材例题]已知直线l过椭圆C: =1的中心,且交椭圆C于A,B两点,求|AB|的取值范围.
解 (1)当直线l的斜率不存在时,直线l:x=0,代入椭圆方程解得
(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx.将椭圆方程化简、整理,得x2+2y2=4.
将②代入①,得x2+2(kx)2=4,化简、整理,得(2k2+1)x2=4.③
规律方法　若直线l与圆锥曲线F(x,y)=0相交于A,B两点,求弦AB的长可用下列两种方法:(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点A,B的坐标,然后用两点间距离公式,便得到弦AB的长,一般来说,这种方法较为麻烦.(2)不求交点坐标,可用一元二次方程根与系数的关系求解.设直线方程为y=kx+m,与圆锥曲线F(x,y)=0交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则
当k=0时,直线平行于x轴,∴|AB|=|x1-x2|.
变式训练2[人教A版教材例题]如图,过双曲线 =1的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|.
解 由双曲线的标准方程可知,双曲线的焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).因为直线AB的倾斜角是30°,且经过右焦点F2,所以直线AB的方程为
(1)以P(2,-1)为中点的弦所在直线的方程;(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;(3)过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程.
解 设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为R(x,y),则2x=x1+x2,2y=y1+y2.又A,B两点均在椭圆上,
两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2),
规律方法　对中点弦问题,常用的解题方法——平方差法,其解题步骤为
变式训练3[人教A版教材习题]已知双曲线x2- =1,过点P(1,1)的直线l与双曲线相交于A,B两点,P能否是线段AB的中点?为什么?
解 P不能是线段AB的中点.理由:设A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,线段AB的中点为M(x0,y0),因为过点P(1,1)的直线l与双曲线x2- =1相交于A,B两点,易知,直线l的方程不是x=1.设经过点P的直线l的方程为y-1=k(x-1),即y=kx-k+1.与双曲线的方程联立并消去y,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).①
当k=2时,方程①变为2x2-4x+3=0,此时Δ=16-24=-8<0,所以方程①没有实数根.所以不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点,使P是线段AB的中点.
1.直线y=kx-k+1与椭圆 =1的位置关系为(　　)A.相交B.相切C.相离D.不确定
解析 ∵y=kx-k+1,∴y-1=k(x-1),过定点(1,1),定点在椭圆 =1内部,故选A.
2.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有(　　)A.1条B.2条C.3条D.4条
3.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2- =1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是　　　　　. 
解析 设线段AB的中点为M(x0,y0).
∴x0=m,∴y0=x0+m=2m.∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,∴m2+(2m)2=5,∴m=±1,检验可知判别式Δ>0,故m=±1.
4.抛物线x2=-y上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值为　　　　　. 
5. 如图,椭圆 =1的左、右焦点为F1,F2,一条直线l经过F1且与椭圆相交于A,B两点.(1)求△ABF2的周长;(2)若l的倾斜角是45°,求△ABF2的面积.
解 (1)由 =1,知a=4,△ABF2的周长=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=16.