高中人教B版 (2019)第二章　平面解析几何2.1 坐标法学案

第二章　平面解析几何

2．1　坐标法

(教师独具内容)

课程标准：1.掌握数轴上向量的坐标公式，会用向量法推导出数轴上两点之间的距离公式、中点坐标公式.2.了解并掌握平面直角坐标系内的两点之间的距离公式、中点坐标公式及其推导过程.3.能用坐标法解决几何问题．

学法指导：经历运用向量法推导平面直角坐标系中的基本公式的过程，体会利用坐标法研究几何问题的思想，并学会运用坐标法来解决几何问题．

教学重点：两点之间的距离公式、中点坐标公式；坐标法．

教学难点：用坐标法解决相关问题.

我们知道，在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内的点的集合具有一一对应关系，那么在平面直角坐标系中，如果已知两点的坐标，你能计算出这两点的距离吗？如果已知一条线段两端点的坐标，你能求出这条线段中点的坐标吗？

知识点一　　　数轴上的基本公式

如果数轴上点A(x1)，B(x2)，线段AB的中点为M(x)，则|AB|＝||＝|x2－x1|；x＝.

知识点二　　　平面直角坐标系中的基本公式

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两点，M(x，y)是线段AB的中点．

(1)|AB|＝||＝ ；

(2)x＝，y＝.

知识点三　　　坐标法

通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题．这种解决问题的方法称为坐标法．

1．对两点间距离公式的几点说明

(1)公式中，点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB|＝.

(2)坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广．

(3)若B点为原点，则|AB|＝|OA|＝.

(4)若A，B两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，此时|AB|＝|x2－x1|.

(5)若A，B两点在y轴上，或在与y轴平行的直线上，此时|AB|＝|y2－y1|.

注意：(4)(5)在应用时，可根据实际情况去掉绝对值号，解题更容易．

(6)在数轴上，点A(x1)，B(x2)，用绝对值定义两点间的距离，表示为d(A，B)＝|x1－x2|.若A，B，C是数轴上任意三点，则d(A，B)≤d(A，C)＋d(B，C)．

2．中点公式的两个应用

(1)知二求一．从公式上看，只要知道公式等号两边的任意两个量，可求第三个量．

(2)从图像上看，只要知道图像上任意的两点，可求第三个点．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)A，B两点的距离与A，B的顺序无关．(　　)

(2)中点坐标公式中两点位置没有先后顺序．(　　)

(3)数轴上点P(x)到O(0)的距离为x.(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)×

2．做一做

(1)已知△ABC的三个顶点是A(－a,0)，B(a,0)和C，则△ABC的形状是(　　)

A．等腰三角形  B．等边三角形

C．直角三角形  D．斜三角形

(2)设A(3,4)，在x轴上有一点P(x,0)，使得|PA|＝5，则x等于________.

(3)点P(2，－1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为________.

答案　(1)C　(2)0或6　(3)(4,9)

题型一　数轴上基本公式的运用

例1　已知数轴上三点A(－1)，B(5)，C(x)．

(1)当|AB|＋|BC|＝8时，求x；

(2)若B是AC的中点，求x.

[解]　(1)由A(－1)，B(5)，C(x)，可知|AB|＝|5－(－1)|＝6，|BC|＝|x－5|.当|AB|＋|BC|＝8时，有6＋|x－5|＝8，解得x＝3或x＝7.

(2)由B是AC的中点，得5＝，解得x＝11.

熟记公式并正确地理解数学符号的含义．

[跟踪训练1]　已知数轴上的三点A，B，P的坐标分别为A(－1)，B(3)，P(x)．

(1)当P与B的距离是P与A的距离的3倍时，求P(x)；

(2)点P到A，B两点的距离都是2时，求P(x)，此时点P与线段AB是什么关系？

(3)在线段AB上是否存在一点P(x)，使得P到A和B的距离都是3？若存在，求P(x)；若不存在，请说明理由．

解　(1)由题意得，|x－3|＝3|x＋1|，

即3(x＋1)＝x－3或3(x＋1)＝3－x，

解得x＝－3或x＝0，所以P(－3)或P(0)．

(2)由题意知可以化为或

或或

解得x＝1.

所以点P的坐标为P(1)，此时P为AB的中点．

(3)不存在这样的P(x)，因为|AB|＝|3＋1|＝4<6，因而在线段AB上找一点P使|PA|＋|PB|＝3＋3＝6是不可能的.

题型二　平面直角坐标系内两点之间距离公式的应用

例2　已知平面直角坐标系中的点A(3,6)，x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标．

[解]　设点P的坐标为(x,0)，

由|AP|＝10，得 ＝10，

解得x＝11或x＝－5，所以点P的坐标为(－5,0)或(11,0)．

求平面直角坐标系中两点距离的步骤

(1)给两点的坐标赋值：x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？；

(2)代入公式求解．

[跟踪训练2]　已知三点A(2,1)，B(6,3)，C(1,3)，求证：△ABC为直角三角形．

证明　由两点间的距离公式，得|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC为直角三角形.

题型三　中点坐标公式的应用

例3　已知△ABC的顶点坐标是A(2,1)，B(－2，3)，C(0,1)，求△ABC的三条中线的长．

[解]　设AB，BC，CA的中点坐标分别为D(x1，y1)，E(x2，y2)，F(x3，y3)，

则x1＝＝0，y1＝＝2，即D(0,2)．

x2＝＝－1，y2＝＝2，即E(－1,2)．

x3＝＝1，y3＝＝1，即F(1,1)．

故|CD|＝＝1，

|AE|＝＝，

|BF|＝＝.

中点坐标公式的应用

(1)线段的中点问题是常见问题，中点法也是数形结合中常考查的方法，这一方法常借助于图像的线段中点特征加以研究，确定解题策略．

(2)若点P的坐标为(x，y)，则点P关于点M(x0，y0)对称的点的坐标为(2x0－x,2y0－y)．利用中点公式可求得以A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)为顶点的△ABC的重心坐标为.

[跟踪训练3]　已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(2,4)，B(3,5)，C(4,8)，求顶点D的坐标．

解　平行四边形的两条对角线相交且互相平分，即AC与BD的中点重合．设D的坐标为(x，y)，由中点坐标公式，得解得即D点坐标为(3,7).

题型四　坐标法的应用

例4　如图所示，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|＝|CD|.

[证明]　如图所示，以B为坐标原点，取AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．

设△ABD和△BCE的边长分别为a和c，

则A(－a,0)，E，C(c,0)，D，

于是|AE|＝

＝＝，

|CD|＝＝

＝.

所以|AE|＝|CD|.

对于平面几何的有关证明问题，如线段成比例、中点等等，可把几何图形放到坐标系中，利用距离公式证明比较简捷．

[跟踪训练4]　已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系．求证：|AM|＝|BC|.

证明　如图所示，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．因为点M是BC的中点，故点M的坐标为，即.由两点间距离公式得|BC|＝，|AM|＝＝，所以|AM|＝|BC|.

题型五　构造几何模型解决代数问题

例5　求函数y＝ －的值域．

[解]　显然函数的定义域为R，

y＝－

设P(x,0)，A，B为平面上三点，

则|PA|＝＝，

|PB|＝＝.

y＝|PB|－|PA|.

∵||PB|－|PA||<|AB|，且|AB|＝1，

∴|y|<1，即－1<y<1，故函数的值域为(－1,1)．

对于涉及无理式，其中含二次三项式的，我们可以联想到两点间的距离公式，即构造两点间的距离公式，再结合平面几何知识求解(证)．

[跟踪训练5]　求函数y＝＋的最小值．

解　∵函数的解析式可化为y＝＋

令A(0,1)，B(2,2)，P(x,0)，则问题转化为在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|取最小值．

∵A关于x轴的对称点为A′(0，－1)，

∴|PA|＝|PA′|，

∵|PA′|＋|PB|≥|A′B|，

∴(|PA|＋|PB|)min＝|A′B|＝＝＝.

即函数y＝＋的最小值为.

1．已知点B(－2，－2)，C(4,3)，则线段BC的中点坐标为(　　)

A．  B．

C．  D．

答案　C

解析　依据中点坐标公式，易得线段BC的中点坐标为M，即M.

2．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点为P(2，－1)，则|AB|＝(　　)

A．5  B．2

C．4  D．2

答案　B

解析　根据点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点为P(2，－1)，可得A(4,0)，B(0，－2)，因此|AB|＝＝2.

3．数轴上一点P(x)，它到点A(－8)的距离是它到点B(－4)的距离的2倍，则P点的坐标x＝________.

答案　0或－

解析　|x－(－8)|＝2|x－(－4)|，

解得x＝0或x＝－.

4．函数y＝|－|的最小值为________，最大值为________.

答案　0　

解析　函数可化为

y＝|－|，表示点M(x,0)到定点A(1,2)与B(2,1)的距离之差的绝对值．当|MA|＝|MB|时，y取最小值0；当A，B，M三点共线且点M不在线段AB上时，||MA|－|MB||＝|AB|，

此时ymax＝|AB|＝＝.

5．已知AD是△ABC底边的中线，用坐标法证明：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．

证明　以BC所在直线为x轴，中点D为原点建立平面直角坐标系，如图：

令B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，A(x，y)．

∵|AB|2＝(x＋a)2＋y2，

|AC|2＝(x－a)2＋y2，

又∵|AD|2＝x2＋y2，|DC|2＝a2，

∴|AB|2＋|AC|2＝2(x2＋y2＋a2)

＝2(|AD|2＋|DC|2)．

命题得证．

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．已知A(3,1)，B(2,4)，C(1,5)，且点A关于点B的对称点为D，则|CD|等于(　　)

A．2  B．4

C．  D．

答案　A

解析　设D(x，y)，由题意知∴

∴D(1,7)．∴|CD|＝＝2.故选A．

2．已知两点A(x，－)和B(y，)，则|AB|等于(　　)

A．x＋y  B．|x－y|

C．－x－y  D．|x＋y|

答案　D

解析　|AB|＝

＝＝＝|x＋y|.

3．已知平面上两点A(x，－x)，B，则|AB|的最小值为(　　)

A．3  B．

C．2  D．

答案　D

解析　∵|AB|＝

＝≥(当且仅当x＝时等号成立)，∴|AB|min＝.

4．已知菱形的三个顶点分别为(a，b)，(－b，a)，(0,0)，则它的第四个顶点是(　　)

A．(2a，b)  B．(a－b，a＋b)

C．(a＋b，b－a)  D．(a－b，b－a)

答案　B

解析　令A(a，b)，B(－b，a)，C(0,0)，因为三条线段AB，AC，BC中必有一条为对角线，另两条为相邻两边，由菱形的性质(相邻两边长度相等)及|AC|＝|BC|＝，得AB为对角线．设D(x0，y0)，由中点坐标公式，得解得

5．(多选)已知A(1,2)，B(－3，b)两点间的距离为4，则b的值可以是(　　)

A．3  B．－2

C．5  D．6

答案　BD

解析　|AB|＝＝4，解得b＝6或－2.

二、填空题

6．已知两点P(1，－4)，A(3,2)，则点A关于点P的对称点的坐标为________.

答案　(－1，－10)

解析　设对称点为A′(x，y)，则P为线段AA′的中点，即解得

7．若点A(x,5)关于点C(－2，－3)的对称点是点B(1，y)，则点P(x，y)到原点的距离是________.

答案　

解析　由中点坐标公式，得

解得

则P(－5，－11)．设原点为O，

所以|PO|＝＝.

8．已知M(x，－x－a)，A(2,0)．若a＝0，则|MA|的最小值为________；若|MA|＝2|MO|(O为坐标原点)，则实数a的取值范围为________.

答案　　

解析　由a＝0，得M(x，－x)，A(2,0)，

|MA|＝＝＝≥(当且仅当x＝1时等号成立)，故|MA|的最小值为.

由|MA|＝2|MO|，得

(x－2)2＋(－x－a)2＝4x2＋4(－x－a)2，

整理，得6x2＋(6a＋4)x＋3a2－4＝0.

由Δ≥0得9a2－12a－28≤0，

解得≤a≤，

故a的取值范围为.

三、解答题

9．已知四边形ABCD的顶点A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，E，F分别为边AB，BC的中点，求|CE|，|DE|，|AF|，|DF|.

解　设线段AB的中点E的坐标为(x，y)，

则x＝＝－1，y＝＝4，

则|CE|＝＝5，

|DE|＝＝2，

设线段BC的中点F的坐标为(m，n)，

则m＝＝4，n＝＝4，

则|AF|＝＝，

|DF|＝＝.

10．如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.

证明　如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．

因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE.

B级：“四能”提升训练

1．已知函数f(x)＝＋，求f(x)的最小值．

解　f(x)＝＋

＝＋，它表示点P(x,0)到点A(1,1)的距离与点P(x，0)到点B(2,2)的距离之和，问题转化为在x轴上求一点P(x,0)，使它与点A(1,1)，B(2,2)的距离之和最小．

如图，作点A(1,1)关于x轴的对称点A′，则A′的坐标为(1，－1)，连接A′B，则A′B与x轴的交点即点P，

∴f(x)的最小值为点A′与点B的距离，

即＝.

2．在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC为等腰三角形．

证明　如图，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d，0)(b<d<c)．

因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以由距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，

即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．

又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c.

所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形．