人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.1 抛物线的标准方程学案及答案

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2.7 抛物线及其方程
2.7.1　抛物线的标准方程
(教师独具内容)
课程标准：1.经历从具体问题情境抽象出抛物线模型的过程，掌握抛物线的定义和标准方程.2.能利用抛物线的定义和标准方程解决有关问题．
学法指导：1.通过动手试验画出抛物线的模型，借助数形结合的思想，深刻理解抛物线的定义.2.要准确把握抛物线标准方程的四种形式，比较抛物线标准方程的四种形式，找出它们的联系与区别．
教学重点：抛物线的定义及其标准方程的应用．
教学难点：抛物线标准方程的四种形式.




我们知道，一个向上斜抛的篮球，其运动轨迹是抛物线的一部分；二次函数的图像是一条抛物线等等．到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、椭圆或双曲线的定义呢？

知识点一　抛物线的定义
一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．
知识点二　抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程

y2＝2px(p>0)

x＝－

y2＝－2px(p>0)

x＝

x2＝2py(p>0)

y＝－

x2＝－2py(p>0)

y＝
特别提醒：对抛物线标准方程的理解
(1)不要把抛物线的标准方程和二次函数的一般形式混为一谈；
(2)抛物线的标准方程是由焦点到准线的距离p以及焦点的位置确定的；
(3)焦点坐标中横(纵)坐标的值是抛物线标准方程中一次项系数的，准线方程中的数值是抛物线标准方程中一次项系数的－.

1．求抛物线方程的方法
(1)定义法
直接利用抛物线的定义求解．
(2)待定系数法
尽管抛物线的标准方程有四种，但方程中都只有一个待定系数，一是利用好参数p的几何意义，二是给抛物线定好位，即求抛物线方程遵循先定位，后定量的原则．
(3)统一方程法
对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定，也就是说，不必设为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，这样能减少计算量．同理，焦点在y轴上的抛物线的标准方程可统一设为x2＝ay(a≠0)．
2．在解决有关抛物线上的点P到焦点F的距离问题时，常利用抛物线的定义转化为点P到准线的距离
(1)若点M(x，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则|MF|＝x＋.
(2)若点M(x，y)在抛物线y2＝－2px(p>0)上，则|MF|＝－x.
(3)若点M(x，y)在抛物线x2＝2py(p>0)上，则|MF|＝y＋.
(4)若点M(x，y)在抛物线x2＝－2py(p>0)上，则|MF|＝－y.
3．如果一个点在抛物线上，常可利用抛物线的方程形式，灵活设点的坐标
(1)当抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)这一类型时，常可设该点坐标为.
(2)当抛物线的方程为x2＝2py(p≠0)这一类型时，可设抛物线上点的坐标为.
对抛物线上点的坐标进行计算时，还要注意抛物线上点的坐标的范围限制．如抛物线y2＝2px(p>0)上点的横坐标应大于或者等于零，这点在解题时常会被忽略．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　　)
(2)抛物线的标准方程中的p表示焦点到准线的距离．(　　)
(3)抛物线的方程都是二次函数．(　　)
(4)抛物线y＝－x2的准线方程是y＝.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知抛物线y2＝2x上一点P(m,2)，则m＝________，点P到抛物线的焦点F的距离为________.
(2)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________.
(3)若抛物线y2＝16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|＝________.
答案　(1)2　　(2)　(3)13



题型一 抛物线的定义及其应用
例1　(1)动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，求动圆的圆心M的轨迹方程；
(2)求到点A(2,0)的距离等于到直线x＝2的距离的动点P的轨迹方程．
[解]　(1)设动圆的圆心M的坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，
根据抛物线的定义，易知动圆的圆心M的轨迹方程为y2＝4x.
(2)由于点A(2,0)恰好在直线x＝2上，所以动点P的轨迹是直线，此直线过点A且垂直于直线x＝2，则动点P的轨迹方程为y＝0.

利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如：两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等．

[跟踪训练1]　定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点到y轴距离的最小值．
解　如图所示，线段AB的中点到y轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值，这是中点坐标问题，因此，只需研究A，B两点的横坐标之和最小即可．
于是，如图所示，F是抛物线y2＝x的焦点，A，B两点到准线的垂线分别是AC，BD，过AB的中点M作准线的垂线MN，C，D，N为垂足，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)，连接AF，BF，由抛物线的定义知|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.

所以|MN|＝(|AF|＋|BF|)≥|AB|＝.
设点M的横坐标为x，则|MN|＝x＋，
则x≥－＝.
当弦AB过点F时等号成立，此时点M到y轴的距离最小，为.
题型二 抛物线的标准方程
例2　根据下列条件，求抛物线的标准方程：
(1)焦点到准线的距离是4；
(2)过点(1,2)．
[解]　(1)由题意可得p＝4，抛物线的标准方程有四种形式：y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y.
(2)解法一：点(1,2)在第一象限，要分两种情形：当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则22＝2p·1，解得p＝2，抛物线的标准方程为y2＝4x；当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，则12＝2p·2，解得p＝，抛物线的标准方程为x2＝y.
解法二：设所求抛物线的标准方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点(1,2)代入，得m＝4，n＝.故所求抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝y.

所谓抛物线的标准方程是指抛物线放置于平面直角坐标系的“标准”状态(即顶点在原点，焦点在坐标轴上)下的方程，因而求抛物线标准方程的程序是：先确定抛物线标准方程的类型(即定位)，再确定焦参数p的值即可．
当抛物线标准方程的类型没有确定时，也可以设其标准方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可减少讨论情况的个数．

[跟踪训练2]　分别求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；
(3)以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为.
解　(1)∵点(－3,2)在第二象限，
∴设抛物线的标准方程为
y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)，
将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝，
故抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y.
(2)①令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2，
∴抛物线的焦点坐标为(0，－2)．
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
则由＝2，得2p＝8，
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－8y.
②令y＝0，由x－2y－4＝0得x＝4，
∴抛物线的焦点坐标为(4,0)．
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
由＝4得2p＝16，
∴所求抛物线的标准方程为y2＝16x.
(3)由题意可得p＝，
则所求抛物线的标准方程为
y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
题型三 利用抛物线的定义求轨迹方程
例3　已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P与圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．
[解]　解法一：设点P的坐标为(x，y)，圆P的半径为r，由题意知|AP|＝r＋1，即＝|x－1|＋1，化简，整理得y2＝－8x，y2＝－4x－4(舍去)．
解法二：设圆P的半径为r，如图，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K，PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，则|KQ|＝1，∴|PQ|＝r＋1，又|AP|＝r＋1，∴|AP|＝|PQ|，故点P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，∴点P的轨迹为抛物线，A(－2,0)为焦点，直线x＝2为准线．

∴＝2，∴p＝4，∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.

可利用直接法确定点P的轨迹方程；在利用抛物线的定义确定轨迹时，要注意转化方法的应用．

[跟踪训练3]　平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．
解　解法一：设点P的坐标为(x，y)，则有＝|x|＋1.两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|.
所以y2＝
即点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．
解法二：由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)的距离与点P到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．



1．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是(　　)
A．4 B．6
C．8 D．12
答案　B
解析　由抛物线的方程得＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
2．已知点F是抛物线y＝x2的焦点，点P是该抛物线上的动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是(　　)
A．x2＝8y－16 B．x2＝2y－
C．x2＝y－ D．x2＝2y－2
答案　A
解析　抛物线的方程可化为x2＝16y，焦点F(0,4)，设线段PF的中点E的坐标为(x，y)，P(x0，y0)，则x0＝2x，y0＝2y－4，代入抛物线的方程得，(2x)2＝16(2y－4)，即x2＝8y－16，故选A.
3．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则以下结论中正确的是(　　)
A．∠FQP＝60° B．|QM|＝1
C．|FP|＝4 D．|FR|＝4
答案　AC
解析　如图，连接FQ，FM，因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥FQ.又PQ∥x轴，∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°.由抛物线的定义知，|PQ|＝|PF|，所以△FQP为等边三角形，则FM⊥PQ，|QM|＝2，等边三角形FQP的边长为4，|FP|＝|PQ|＝4.由以上还可得四边形QFRM为平行四边形，所以|FR|＝|QM|＝2.故选AC.

4．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________.
答案　2
解析　抛物线y2＝2x的焦点为F，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB中点的横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.
5．已知抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
解　设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，
∵点A在抛物线上，
∴(－3)2＝2pm或(－3)2＝－2pm.
∴m＝±.①
又|AF|＝＋|m|＝5，②
把①代入②可得＋＝5，
即p2－10p＋9＝0.
∴p＝1或p＝9.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－4 D．4
答案　D
解析　因为抛物线的焦点坐标为，椭圆的右焦点坐标为(2,0)，依题意得＝2，解得p＝4.故选D.
2．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
答案　C
解析　方程5＝|3x＋4y－12|可化为＝，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，由抛物线的定义，可知动点M的轨迹是抛物线．故选C.
3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是抛物线C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
答案　A
解析　由题意知，抛物线的准线为x＝－，因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1.故选A.
4．已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
答案　C
解析　如图，抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1，∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9.当且仅当A，P，F三点共线时等号成立，即|PA|＋|PQ|的最小值为9.故选C.

5．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程可能为(　　)
A．y2＝4x B．y2＝2x
C．y2＝8x D．y2＝16x
答案　AD
解析　由已知得，抛物线的焦点为F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，解得y0＝4，M.
由|MF|＝5得 ＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8，故C的方程可能为y2＝4x，y2＝16x.故选AD.
二、填空题
6．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________.
答案　2　x＝－1
解析　因为抛物线y2＝2px的焦点坐标为，准线方程为x＝－，抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，所以p＝2，准线方程为x＝－1.
7．已知抛物线y＝x2－1上一定点B(－1,0)和两个动点P，Q，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是________.
答案　(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析　设P(t，t2－1)，Q(s，s2－1)，∵BP⊥PQ，∴·＝－1，即t2＋(s－1)t－s＋1＝0，∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点，∴必有Δ＝(s－1)2＋4(s－1)≥0，即s2＋2s－3≥0，解得s≤－3或s≥1.∴点Q的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
8．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.
答案　6
解析　因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，所以A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的3倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.
三、解答题
9．若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，求点M的轨迹方程．
解　由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(除去点(0,0))，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
10．已知抛物线y2＝2x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，点A(3,2)．
(1)求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标；
(2)求点P到点B的距离与到直线x＝－的距离之和的最小值．
解　(1)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴点A在抛物线的内部．
过点P作PQ垂直于抛物线的准线l：x＝－于点Q，
由抛物线的定义，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|，
当P，A，Q三点共线时，|PA|＋|PQ|的值最小，最小值为，
即|PA|＋|PF|的最小值为，
此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，
∴点P的坐标为(2,2)．
(2)设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d.
显然点B在抛物线的外部．
由抛物线定义，得|PB|＋d＝|PB|＋|PF|≥|BF|，
当B，P，F三点共线(P在线段BF上)时取等号．
又|BF|＝＝2，
∴所求最小值为2.
B级：“四能”提升训练
1．已知以向量v＝为方向向量的直线l过点，抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点(0,0)关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设A，B是抛物线C上的两个动点，过点A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若·＋p2＝0(O为坐标原点，A，B异于点O)，试求点N的轨迹方程．
解　(1)由题意可得直线l：y＝x＋，①
过原点且垂直于l的直线方程为y＝－2x，②
联立①②，得x＝－，y＝1.
∵抛物线上的点(0,0)关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，
∴－＝－×2，∴p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)，
由·＋p2＝0，得x1x2＋y1y2＋4＝0.
又y＝4x1，y＝4x2，解得y1y2＝－8，③
直线ON：y＝x，即y＝x.④
由③④及y＝y1，得点N的轨迹方程为x＝－2(y≠0)．
2．已知A，B是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的两个动点(AB不垂直于x轴)，F为抛物线的焦点，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6，0)，求此抛物线的方程．
解　抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AF|＋|BF|＝8，
∴x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p.
∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，∴|QA|＝|QB|，
即(x1－6)2＋y＝(x2－6)2＋y，
又y＝2px1，y＝2px2，
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.
∵AB与x轴不垂直，
∴x1≠x2，
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线的方程为y2＝8x.