高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系习题

课时跟踪检测 （二十六） 直线与平面平行

层级(一)　“四基”落实练

1．下列结论正确的是(　　)

①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；

②平行于同一条直线的两条直线平行；

③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；

④空间中有四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.

A．①②③　　　 　　　　　 B．②④

C．③④   D．②③

解析：选B　①错误，可以异面．②正确．③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行线的传递性可知．故选B.

2．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝30°，则β为(　　)

A．30°  B．150°

C．60°  D．30°或150°

解析：选D　∵空间两个角α，β的两边对应平行，

∴这两个角相等或互补．

∵α＝30°，∴β＝30°或150°.故选D.

3．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论正确的是(　　)

A．OB∥O1B1且方向相同

B．OB∥O1B1

C．OB与O1B1不平行

D．OB与O1B1不一定平行

解析：选D　OB与O1B1不一定平行，反例如图．故选D.

4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是(　　)

A．5  B．10

C．12  D．不能确定

解析：选B　

如图所示，由三角形中位线的性质可得EH綉BD，FG綉BD，再根据基本事实4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.故选B.

5．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形(　　)

A．全等  B．相似

C．仅有一个角相等  D．无法判断

解析：选B　由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似．

6．在三棱台A1B1C1­ABC中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH与B1C1的位置关系是__________．

解析：

如图所示，因为G，H分别是AB，AC的中点，所以GH∥BC.又由三棱台的性质得BC∥B1C1，所以GH∥B1C1.

答案：平行

7.如图所示，在空间四边形ABCD中，＝＝，＝＝，则EH与FG的位置关系是________．

解析：连接BD.在△ABD中，

＝＝，∴EH∥BD.

同理可得FG∥BD.∴EH∥FG.

答案：平行

8.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AD1，CD1，BC，AB的中点．求证：E，F，G，H四点共面．

证明：如图，连接AC.

∵E，F分别是AD1，CD1的中点，

∴EF∥AC.

∵G，H分别是BC，AB的中点，

∴GH∥AC.

∴EF∥GH.∴E，F，G，H四点共面．

层级(二)　能力提升练

1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是(　　)

A．相交  B．异面

C．平行  D．垂直

解析：

选C　如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC.可理可得GH∥AC，所以EF∥GH.故选C.

2．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则(　　)

A．1＜MN＜5  B．2＜MN＜10

C．1≤MN≤5  D．2＜MN＜5

解析：选A　取AD的中点H，连接MH，NH(图略)，则MH∥BD，且MH＝BD，NH∥AC，且NH＝AC，且M，N，H三点构成三角形．由三角形中三边关系，可得MH－NH<MN<MH＋NH，即1<MN<5.故选A.

3．在三棱锥P­ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝________.

解析：由题意可知DE∥PB，EF∥BC，所以∠DEF＝∠PBC＝90°.

答案：90°

4.

如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，点E1，F1分别是棱A1D1，C1D1的中点．求证：EE1∥FF1.

证明：如图，连接EF，E1F1，A1C1，AC.

由长方体ABCD­A1B1C1D1得AC∥A1C1.

∵点E，F分别是棱AB，BC的中点，

∴由三角形中位线定理，得EF∥AC，EF＝AC.

同理E1F1∥A1C1，E1F1＝A1C1.

∴EF綉E1F1，则四边形EFF1E1为平行四边形．

∴EE1∥FF1.

5.

如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：

(1)四边形MNA1C1是梯形；

(2)∠DNM＝∠D1A1C1.

证明：(1)如图，连接AC.

因为在△ACD中，M，N分别是CD，AD的中点，

所以MN是△ACD的中位线．

所以MN∥AC，MN＝AC.

由正方体的性质得：

AC∥A1C1，AC＝A1C1.

所以MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1.

所以四边形MNA1C1是梯形．

(2)由(1)可知MN∥A1C1.

又因为ND∥A1D1，所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，

所以∠DNM＝∠D1A1C1.

层级(三)　素养培优练

1.

(多选)如图，在四棱锥A­BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则(　　)

A．PQ＝MN　　　　　B．PQ∥MN

C．M，N，P，Q四点共面  D．四边形MNPQ是梯形

解析：选BCD　由题意知PQ＝DE，且DE≠MN，

所以PQ≠MN，故A不正确；

又PQ∥DE，DE∥MN，

所以PQ∥MN，故B正确；由基本事实的推论3，故C正确；又PQ≠MN，所以D正确．故选B、C、D.

2.

如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.

(1)求证：E，F，G，H四点共面．

(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？

解：(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.

又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.

所以E，F，G，H四点共面．

(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，

四边形EFGH为平行四边形．

因为＝＝，所以EH＝BD.

同理可得FG＝BD.由EH＝FG，得m＝n.

故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．