高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.1 复数的概念课后练习题

7．1.2　复数的几何意义

必备知识基础练　

1．复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是(　　)

A．正数    B．负数C．实部不为零的虚数    D．纯虚数

2．已知O为复平面中直角坐标系的坐标原点，向量＝(－1，2)，则点M对应的复数为(　　)

A．1＋2i    B．－1＋2i

C．2－i    D．2＋i

3．已知复数z满足z＝3＋4i，则共轭复数在复平面内对应的点在(　　)

A．第四象限    B．第三象限

C．第二象限    D．第一象限

4．复数z＝2－i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)

A．1    B．C．    D．

5．在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应向量的模为3，且实部为，则复数z＝(　　)

A．3－i    B．－3i

C．＋2i    D．－2i

6．若复数z＝4＋3i，则的虚部是(　　)

A．    B．IC．－    D．－i

7．在复平面内，O是原点，向量对应的复数是3＋i，点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数是________．

8．写出一个同时满足下列条件的复数：z＝________．

①|z|＝；②在复平面内对应的点位于第二象限．

关键能力综合练　

1．(多选)复数z＝(m2－1)＋(m－1)i，m∈R，下列结论正确的是(　　)

A．若z对应复平面上的点在第四象限，则m<－1

B．若z是纯虚数，则m＝±1

C．当m≠1时，z是虚数

D．当m＝2时，|z|＝10

2．若复数a2－4＋(a＋2)i(a∈R)为纯虚数，则复数z＝4－ai在复平面所对应的点在(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第四象限    D．第一或第四象限

3．已知复数z1＝3＋2i，z2＝2＋i，z3在复平面上对应的点分别为A、B、C，若四边形OABC为平行四边形(O为复平面的坐标原点)，则复数z3的模为(　　)

A． B．C．2    D．5

4．设z1、z2∈C，则“|z1|＝|z2|”是“z1＝z2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5．已知m，n∈R，复数z1＝m＋3i，z2＝z1＋4－ni，且z2为纯虚数，|z2|＝1，则m＋n＝(　　)

A．0    B．0或－2

C．1    D．1或－2

6．已知i为虚数单位，复数z满足|z－2i|＝1，则|z|的最大值为(　　)

A．1    B．

C．2    D．3

7．已知m∈R，复平面内表示复数(m2－2m－3)＋(m2－4m)i的点位于第三象限内，则m的取值范围是________．

8．满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹围成的图形面积为________．

9．已知复数z＝(m－1)＋(2m＋1)i(m∈R).

(1)若z为纯虚数，求实数m的值；

(2)若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及|z|的最小值．

10．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且|z|＝.

(1)若z的实部和虚部相等，求z对应的点的坐标；

(2)在复平面内z对应的点的集合是什么图形？并画出此图．

核心素养升级练　

1．数学家欧拉通过研究，建立了三角函数和指数函数之间的联系，得到著名的欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)，此公式被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，e3i表示的复数在复平面中位于(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

2．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是________．

3．已知复数z＝(1＋ai)(1－2i)＋1＋2i(a∈R).

(1)若z在复平面中所对应的点在直线x－y＝0上，求a的值；

(2)求|z－1|的取值范围．

7．1.2　复数的几何意义

必备知识基础练

1．答案：D

解析：复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数实部为0，虚部不为0，故为纯虚数，故选D.

2．答案：B

解析：因O为复平面中直角坐标系的坐标原点，向量＝(－1，2)，则点M对应的复数为－1＋2i.故选B.

3．答案：A

解析：由z＝3＋4i得＝3－4i，其在复平面内对应的点为(3，－4)，在第四象限，故选A.

4．答案：D

解析：由已知|z|＝＝.故选D.

5．答案：D

解析：设z＝＋bi(b<0)，则|z|2＝()2＋b2＝32，解得b＝－2，所以z＝－2i.故选D.

6．答案：C

解析：∵z＝4＋3i，则＝4－3i，|z|＝＝5，∴＝－i的虚部为－，故选C.

7．答案：－3＋i

解析：向量对应的复数是3＋i，即A(3，1)，则点A关于虚轴的对称点为B(－3，1)，则向量对应的复数是－3＋i.

8．答案：－1－2i(答案不唯一)

解析：满足a＋bi(a2＋b2＝5，且a<0，b<0)即可．

关键能力综合练

1．答案：AC

解析：复数z＝(m2－1)＋(m－1)i，m∈R，对于A，z对应复平面上的点在第四象限，则，解得m<－1，A正确；对于B，z是纯虚数，则，解得m＝－1，B不正确；对于C，当m≠1时，复数z的虚部m－1≠0，z是虚数，C正确；对于D，当m＝2时，z＝3＋i，则|z|＝＝，D不正确．故选AC.

2．答案：C

解析：∵复数a2－4＋(a＋2)i(a∈R)是纯虚数，∴实部a2－4＝0　①，虚部a＋2≠0　②，由①②解得a＝2.故z＝4－ai对应的点为(4，－2)位于第四象限．故选C.

3．答案：B

解析：因为复数z1＝3＋2i，z2＝2＋i，z3在复平面上对应的点分别为A、B、C，所以A(3，2)，B(2，1)，设C(x，y)，因为OABC为平行四边形，所以＝，所以(－1，－1)＝(x，y)，所以，所以z3＝－1－i，所以|z3|＝＝，故选B.

4．答案：B

解析：设z1＝1，z2＝i，符合|z1|＝|z2|，但z1＝z2不成立，若z1＝z2，则|z1|＝|z2|，所以“|z1|＝|z2|”是“z1＝z2”的必要不充分条件；故选B.

5．答案：B

解析：因为z1＝m＋3i，所以z2＝z1＋4－ni＝m＋3i＋4－ni＝(m＋4)＋(3－n)i，因为z2为纯虚数，|z2|＝1，所以，解得或，所以m＋n＝－2或0.故选B.

6．答案：D

解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－2i|＝1，推出＝1，则x2＋(y－2)2＝1，于是A(x，y)可看成以(0，2)为圆心，半径为1的圆上运动，|z|＝，意为A到(0，0)的距离，距离最大值为3，所以|z|max＝3.故选D.

7．答案：(0，3)

解析：由题意可知，复数对应点的坐标为(m2－2m－3，m2－4m)，该点位于第三象限内，则满足，得，所以0<m<3.

8．答案：25π

解析：|z|＝|3＋4i|⇒|z|＝5，设z＝x＋yi，x、y∈R，则z在复平面对应点为(x，y)，则x2＋y2＝25，∴z在复平面上对应点的轨迹围成的图形为以原点为圆心，半径为5的圆，∴其面积为25π.

9．解析：(1)∵z＝(m－1)＋(2m＋1)i(m∈R)为纯虚数，

∴m－1＝0且2m＋1≠0，∴m＝1.

(2)z在复平面内的对应点为(m－1，2m＋1)，

由题意：，∴－<m<1.

即实数m的取值范围是(－，1).

而|z|＝＝

＝，

当m＝－∈(－，1)时，|z|min＝ ＝.

10．解析：(1)因为z的实部和虚部相等，

所以a＝b，因为|z|＝，所以＝⇒2a2＝2⇒a＝±1，

当a＝1时，b＝1；当a＝－1时，b＝－1，

因此z对应的点的坐标为(1，1)，(－1，－1).

(2)因为|z|＝，

所以有＝，它表示在复平面内z对应的点到原点的距离为，

即在复平面内z对应的点是以O为圆心，为半径的圆，图形如图：

核心素养升级练

1．答案：B

解析：由题，e3i＝cos 3＋isin 3，其对应点为(cos 3，sin 3)，因为<3<π知，cos 3<0，sin 3>0，所以点(cos 3，sin 3)在第二象限，故选B.

2．答案：1

解析：

设z＝a＋bi，则|z＋i|＋|z－i|＝|z－(－i)|＋|z－i|＝2的几何意义为复平面内点(a，b)到点(0，－1)及点(0，1)的距离和为2，

又1－(－1)＝2，设点A(0，－1)和点B(0，1)，则点(a，b)的轨迹为线段AB，

又|z＋i＋1|＝|z－[(－1)＋(－i)]|的几何意义为复平面内点(a，b)到点(－1，－1)的距离，

设P(－1，－1)，结合图象可知，当z＝－i时，|z＋i＋1|的最小值为1.

3．解析：(1)∵z＝1＋2a＋(a－2)i＋1＋2i＝2＋2a＋ai，

∴z在复平面中所对应的点的坐标为(2＋2a，a)，在直线x－y＝0上，

∴2＋2a－a＝0，得a＝－2.

(2)|z－1|＝|1＋2a＋ai|＝＝，

因为a∈R，且5a2＋4a＋1＝5＋≥，

所以|z－1|≥，所以|z－1|的取值范围为[，＋∞).