必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）教学设计

《函数y＝Asin(ωx＋φ)（习题）》教学设计

1．通过习题的训练，加深对函数y＝Asin(ωx＋φ)的理解，体会这类函数的重要性．

2．通过函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象进一步理解它的性质，在解决问题中，逐步发展数学建模、数学抽象、逻辑推理、数学运算与直观想象等数学核心素养．

教学重点：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用．

教学难点：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用．

PPT课件．

（一）新知探究

例1　如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点B开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（　　）

A．ω＝，A＝3  B．ω＝，A＝3

C．ω＝，A＝5  D．ω＝，A＝5

预设的师生活动：学生进行分析并回答．

追问：在这个实际问题中，ω、A分别与哪个量有关？

预设答案：ω与周期有关，也就是与角速度有关；A为水轮的半径．

解析：由1 min旋转4圈，则转1圈的时间为T＝ min＝×60＝15（s），则ω＝＝．又由图可知，A＝3．故选A．

设计意图：熟悉函数y＝Asin（ωx＋φ）表达式中参数A、ω、φ的实际意义，这样才能真正提升数学抽象、数学建模等素养．

例2　函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一段图象过点（0，1），如图所示．

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，得函数y＝g（x）的图象，求y＝g（x）的最大值，并求出此时自变量x的集合．

预设的师生活动：学生们通过独立思考以后，再分小组讨论，然后展示小组的讨论结果．

追问：在图象中，ω、A、φ分别与哪些因素有关？如何确定它们的值？

预设答案：ω与周期有关，可以由关键点间的横坐标距离来确定；φ与左、右平移距离有关，可以由第一关键点来确定；A与函数的最值有关，可以由图中所给的（0，1）点来确定．

解：（1）由图知，T＝π，于是ω＝＝2．

将y＝Asin 2x的图象向左平移，得y＝Asin 2(x＋)＝Asin(2x＋)，∴φ＝．

将（0，1）代入y＝Asin(2x＋)，得A＝2．故f（x）＝2sin(2x＋)．

（2）依题意，g（x）＝2sin [2(x－)＋]＝－2cos(2x＋)．

当2x＋＝2kπ＋π，即x＝kπ＋（k∈Z）时，ymax＝2．

∴此时x的值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．

设计意图：通过本例，让学生清楚函数y＝Asin(ωx＋φ)表达式中参数A、ω、φ在其图象中是如何表现的，怎样根据图象确定函数的解析式，这类题目在解答时其规律性是什么，可以让学生课下进行归纳总结．另外，图象变换中需要注意哪些常见的问题，通过这些问题的解决，加深对函数y＝Asin(ωx＋φ)的理解和认识．

例3　如图所示，某游乐园的一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20分钟转一圈，当摩天轮上某人经过P0处时开始计时（按逆时针方向转），∠POP0＝（其中OP平行于地面）．

（1）求开始转动5分钟时此人相对于地面的高度；

（2）开始转动分钟时，摩天轮上此人经过点P1，求|P0P1|的值．

预设的师生活动：可以先让学生思考如何建立函数模型，然后回答，其他同学补充．

追问：我们知道，解决这个问题，首先应该建立函数模型，而建立函数模型就需要建立直角坐标系，建在什么地方比较合适呢？

预设答案：可以考虑以圆心O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系，这样建系求出的函数表达式比较简单．

解：（1）以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：

设摩天轮上某人所在的点为Q，则在t分钟内OQ转过的角为，

摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，

所以t分钟时，Q点的纵坐标为y＝10 sin，

所以在t分钟时此人相对于地面的高度为h＝10 sin＋12，

所以5分钟后的高度为h＝10 sin＋12＝＋12（米）．

（2）由（1）可知，在分钟内OQ转过的角为，∠POP1＝，

由题意可知P1（0，22），

由∠POP0＝可求得P0（，17），

则由两点间距离公式可得|P0P1|＝＝10．

设计意图：通过本题，让学生知道求解这种实际问题的依据是问题中所涉及量的实际意义与三角函数的相关知识，求解时注意分析清楚实际问题中的量之间的关系，以及与数学知识之间有什么关系，如何转化？通过这类题目提高自己分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象等数学核心素养．

（二）归纳小结

问题：通过这节课的学习，请你谈谈在解决与函数y＝Asin(ωx＋φ)有关的问题时需要注意哪些方面？你获得了怎样的学习经验？

预设的师生活动：学生自我总结，并交流分享．

预设答案：（1）理解函数y＝Asin(ωx＋φ)表达式中参数A、ω、φ的实际意义；（2）参数A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象分别有什么影响；（3）在图象中参数A、ω、φ分别与哪些因素有关，如何确定它们的值；（4）图象变换时哪些地方容易出错，等等．

设计意图：通过归纳研究方法，积累学习的经验，提高分析问题、解决问题的能力，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象等素养；

（三）课后作业：

1．函数f（x）＝2sin(ωx＋φ)（ω＞0，－＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是（　　）

A．2，－  B．2，－

C．4，－  D．4，

2．已知函数f（x）＝3sin(x－)，x∈R．

（1）列表并画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；

（2）将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f（x）的图象？

3．如图所示，某游乐园的一个摩天轮的半径为10米，轮子的底部到地面的距离为2米，该摩天轮沿逆时针方向旋转，且每20分钟旋转一圈，当摩天轮上某人经过点P0（到地面的高度为17米）时开始计时，∠POP0＝ ．

（1）求此人转动5分钟后相对于地面的高度；

（2）当摩天轮上此人经过点P1时，|P0P1|＝，∠POP1＝β ，求cos β．

预设答案：

1．T＝－（－）＝，∴T＝＝π，∴ω＝2．

当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝－．

2．（1）函数f（x）的周期T＝＝4π．

由x－＝0，，π，，2π，

解得x＝，，，，．

列表如下：

描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图．

图象如下：

（2）方法一：先把y＝sin x的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f（x）的图象．

方法二：先把y＝sinx的图象所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，然后把所有点的横坐标扩大为原来2倍，再把图象向右平移个单位，得到f（x）的图象．

3.（1）以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

此人在摩天轮上每分钟转过的角为，

所以t分钟时，此人的纵坐标为，

所以t分钟时，此人相对于地面的高度为h＝＋12．

当t＝0时，10 sin ＋12＝17，则sin ＝，所以＝，

则h＝＋12．

所以5分钟后的高度为h＝＋12＝＋12（米）．

（2）由（1）可知，P0（，5），P1（10 cos β，10 sin β），

则|P0P1|＝＝，

即，

所以2－，所以．

又因为β＞所以，

故cos β

．

（五）目标检测设计

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则（　　）

A．y＝2sin(2x－) B．y＝2sin(2x－)

C．y＝2sin(x＋) D．y＝2sin(x＋)

2．某巨型摩天轮．其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第35分钟时他距地面大约为（　　）米．

A．75 B．85 

C．100 D．110

预设答案：1．A；2．B．

设计意图：考查学生对三个参数A，ω，φ分别对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象影响的初步掌握情况．