2021届福建省连城县第一中学高三上学期月考（一）数学试题（解析版）

2021届福建省连城县第一中学高三上学期月考（一）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解不等式化简集合，再进行交集运算，即可得答案；

【详解】

，，

，

故选：A.

【点睛】

本题考查一元二次不等式和绝对值不等式、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.

2．“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】先利用指数函数和对数函数的单调性得出和的等价条件，然后再判断这两个条件之间的充分必要关系.

【详解】

，，

“”是“”的必要不充分条件，

故“”是“”的必要不充分条件，故选B．

【点睛】

本题考查必要不充分条件关系的判断，同时也涉及了指数函数与对数函数的单调性，一般转化为集合的包含关系来进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.

3．函数的定义域为，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意定义域为，讨论和两种情况，根据一元二次不等式恒成求解，即可得出结果.

【详解】

函数的定义域为，

即对任意，

若时，，解得，不满足题意；

若，只需，解得.

综上，则的取值范围为

故选：C.

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，属于常考题型.

4．已知函数，若，则实数（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】先求，再计算计算后可得结论．

【详解】

由题意，，解得．

故选：C．

【点睛】

本题考查求分段函数的函数值，解题时要注意根据自变量不同的范围选取不同的表达式计算．

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】由三视图可得该几何体为底面是等腰直角三角形，其中腰长为1，高为2的三棱锥，故其体积为，故选A.

6．函数的图象大致为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由于,故排除选项.,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除选项.,排除选项,故选B.

7．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过，则至少要洗的次数是（参考数据：）（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】由题意知每次清洗后所留下的污垢是原来的四分之一，由此知，剩余污垢的量是关于洗涤次数的指数型函数，由此给出洗次后存留的污垢的函数解析式，再由限制条件存留的污垢不超过，建立不等式关系解不等式即可

【详解】

由题意可知，洗次后存留的污垢为，

令，解得，

因此至少要洗4次．

故选：D

【点睛】

本题主要考查指数函数的实际运用，根据题设中的数量关系建立指数模型是解答的关键，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

8．已知定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则函数在内所有零点之和为（   ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】D

【解析】函数在零点之和就是与交点横坐标的和，作出函数的图象分析得解.

【详解】

函数在零点之和就是在内所有的根的和，

就是与交点横坐标的和，

函数的图象如图所示，

由图可知，

所以

故选：D

【点睛】

本题主要考查函数的图象的综合应用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

二、多选题

9．下列命题中是真命题的有（    ）

A．

B．，

C．已知，则

D．命题p的否定是“对所有正数x，”，则命题p可写为，

【答案】ACD

【解析】根据指数函数的性质，可判定A为真命题；由，可判定B为假命题；由指数幂和对数的运算性质，可判定C为真命题；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定D为真命题.

【详解】

对于A中，根据指数函数的性质，可得恒成立，所以命题“”为真命题；

对于B中，由当时，，所以命题“，”为假命题；

对于C中，由指数函数的性质，可得，

且，所以，

又由对数函数的性质，可得，所以，

所以是真命题；

对于D中，根据全称命题与存在性命题的关系，

可得命题p的否定是“对所有正数x，”，

则命题p可写为，所以是真命题.

故选：ACD.

【点睛】

本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中熟记指数函数与地上函数的图象与性质，以及全称命题与存在性命题的关系，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于基础题.

10．若，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】运用不等式的性质，对四个选项逐一分析

【详解】

对于A，，，，则，故A错误；

对于B，若，则，即，这与矛盾，故B错误；

对于C，，，，则，故C错误；

对于D，，，故D正确.

故选：AD.

【点睛】

本题主要考查不等式的性质，熟记不等式的性质即可，属于基础题．

11．已知函数，则函数的零点个数可能为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】BCD

【解析】根据题意，得到函数的零点即是函数与直线图像交点的横坐标，画出的大致图像如下，结合函数图像，即可得出结果.

【详解】

由可得，

则函数的零点即是函数与直线图像交点的横坐标，

画出的大致图像如下，

由得，所以曲线在点处的切线斜率为，

此时的切线方程为，即，恰好过点，

又直线也过点，

所以由图像可得，当时，直线与函数的图像有两个交点；即函数有两个零点；

当时，直线只与函数在的图像有一个交点，即函数有一个零点；

当时，直线与函数有三个不同的交点，即函数有三个零点；

综上，函数的零点个数可能为，，.

故选：BCD.

【点睛】

本题主要考查判定函数零点的个数问题，利用数形结合的方法求解即可，涉及导数的方法求曲线的切线方程，属于常考题型.

12．已知函数满足，，且与的图象交点为，则集合元素有（    ）

A．16 B．24 C．32 D．48

【答案】AB

【解析】依题意可得与均关于点中心对称，从而得解；

【详解】

解：函数满足，所以函数关于点中心对称，

化简，所以函数关于点中心对称，

所以与的图象交点，，…，关于点中心对称，所以，．

故选：AB

【点睛】

本题考查函数的对称性的应用，属于中档题.

三、填空题

13．若变量x，y满足约束条件，则的最大值等于______．

【答案】

【解析】画出约束条件所表示的平面区域，根据目标函数所表示的几何意义，结合图形，即可得出结果.

【详解】

画出约束条件所表示的平面区域如下，

由可得，

则表示直线在轴截距的三倍，

因此直线在轴截距越大，越大；

由图像可得，当直线过点时，在轴截距最大，

联立可得，

因此.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查求线性目标函数的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.

14．已知，，且，则的最小值是______．

【答案】4

【解析】由，结合基本不等式，即可求解.

【详解】

由题意，知，，且，

则，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值是.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，以及合理应用“1”的代换求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

15．已知函数为幂函数，且，则当时，实数a等于______．

【答案】4

【解析】由题意求出的表达式，由，代入可得关于的方程，可得答案.

【详解】

解：设，可得，，故，

由，可得，即，

可得，，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查幂函数的相关知识，考查学生的基础知识及基本的计算能力，属于基础题.

四、双空题

16．已知函数有两个不同的极值点，，则的取值范围是_____；若不等式有解，则的取值范围是______.

【答案】       

【解析】根据有两个不同极值点，可得两个不相等的正实数根，根据二次函数的性质即可求解；将不等式转化为，代入方程，化简整理，即可得结果.

【详解】

由题可得（），因为函数有两个不同的极值点，，所以方程有两个不相等的正实数根，

于是有解得.

若不等式有解，所以

因为

.

设，

，故在上单调递增，故，

所以，所以的取值范围是.

【点睛】

本题考查导函数的实际应用，重点在于将题干中“两个不同的极值点”转化为导函数等于0时，有两个不相等的实数根，然后进行求解，计算难度偏大，属中档题.

五、解答题

17．设条件p：实数x满足，；条件q：实数x满足．已知q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】

【解析】分别解不等式，得到；；根据题中条件，得到是的真子集；进而可求出结果.

【详解】

由，解得，所以；

由解得或，则；

因为q是p的必要不充分条件，

所以是的真子集；

又，所以只需，

即实数a的取值范围是．

【点睛】

本题主要考查由命题的必要不充分条件求参数，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题.

18．函数为R上的奇函数，

（1）求m的值

（2）若在上有解，求实数k的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）根据奇函数的性质，由题中条件，得到，求出，再代入解析式检验，即可得出结果；

（2）先由（1）得到，由求出，根据题中条件，即可得出结果.

【详解】

（1）由函数为R上的奇函数，得，

即，∴，

此时，则，所以函数为奇函数；

故；

（2）由（1）可得，．

若，则，∴，∴，

又在上有解，

∴只需．

【点睛】

本题主要考查由函数奇偶性求参数，考查由方程有解求参数，属于常考题型.

19．设（，），且．

（1）求a的值及的定义域与单调递增区间．

（2）求在区间上的最大值．

【答案】（1）2；定义域为，单增区间；（2）2．

【解析】（1）由题意知，从而解得定义域，再由求，再根据复合函数的单调性判断可得；

（2）由（1）知，函数在上的单调性，从而求最值．

【详解】

解：（1）因为，所以（，），所以．

由得，所以函数的定义域为．所以

因为在上单调递增，在上单调递减，又在定义域上单调递增；根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为；

（2），

所以当时，是增函数；当时，是减函数，

故函数在上的最大值是．

【点睛】

本题考查了求函数的定义域和在闭区间上的最值问题，解题时应根据函数的解析式，求出定义域，根据定义域求出最值，属于中档题．

20．定义域在R的单调函数满足，且，

（I）求 ；

（II）判断函数 的奇偶性，并证明；

（III）若对于任意都有成立，求实数的取值范围．

【答案】（I） ；（II）详见解析（III）

【解析】试题分析：

(Ⅰ)结合函数的关系式赋值可知 ；

(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论可得f(−x)=−f(x)，则函数f(x)是奇函数；

(Ⅲ)结合函数的奇偶性和函数的单调性脱去f符号，然后利用恒成立的条件讨论可得实数的取值范围是 .

试题解析：

(I)取x=0，得f(0+y)=f(0)+f(y)，

即f(y)=f(0)+f(y)，∴f(0)=0，

∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)

∴结合f(3)=6，得3f(1)=6，可得f(1)=2；

(II)取y=−x，得f(0)=f[x+(−x)]=f(x)+f(−x)=0，

移项得f(−x)=−f(x)，

∴函数f(x)是奇函数；

(III)∵f(x)是奇函数，且f(kx2)+f(2x−1)<0在x∈[,3]上恒成立，

∴f(kx2)<f(1−2x)在x∈[,3]上恒成立，

又∵f(x)是定义域在R的单调函数，且f(0)=0<f(1)=2，

∴f(x)是定义域在R上的增函数．

∴kx2<1−2x在x∈[12,3]上恒成立．

∴在x∈[,3]上恒成立．

令，

由于⩽x⩽3，∴.

∴g(x)min=g(1)=−1.∴k<−1.

则实数k的取值范围为(−∞,−1).

21．2020年9月3日，工业和信息化部消费品工业司发布2020年1-7月全国家用电冰箱产量4691.3万台，同比下降；房间空气调节器产量12353.0万台，同比下降；家用洗衣机产量3984.9万台，同比下降．为此，一公司拟定在2020年双11淘宝购物节期间举行房间空气调节器的促销活动，经测算该产品的年销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知2020年生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．

（1）试将2020年该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

（2）问：2020年该公司促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

【答案】（1）（）；（2）分类讨论，答案见解析．

【解析】（1）计算出销售收入减去投入成本可得利润y万元与促销费用x万元的函数；

（2）由（1）及基本不等式可得当时，厂家的利润最大，然后分与利用导数进行讨论可得厂家的最大利润为多少.

【详解】

解：（Ⅰ）由题意，得．

∵，将其代入上式并化简，得（）．

此即为所求产品的利润y关于促销费用x的函数关系式．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

当且仅当，即时，上式取等号．

①当时，促销费用需投入10万元，厂家的利润最大；

②当时，易得，

由于，，∴，∴

∴函数在上单调递增，

∴当时，函数有最大值．

即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大

综上，当时，促销费用投入10万元，厂家的利润最大；

当时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．

【点睛】

本题主要考查利用基本不等式、导数解决实际问题，考查学生建立数学模型解决实际问题的能力、数学计算能力，属于中档题.

22．已知函数，其中是自然对数的底数，．

（1）若函数为上的单调增函数，求m的取值范围；

（2）对任意的，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】（1）由已知，则函数为上的单调增函数转化为在上恒成立，根据二次函数的性质可得结果；

（2）由已知，记，通过求导可得在上单调递增，进而可得，则，将其代入计算即可.

【详解】

解：（1）当时，，

此时，

函数为上的单调增函数，

则在上恒成立，

，

解得；

（2）证明：依题意知，当时，，

所以

记，

因为，

所以在上单调递增，则，

从而，

又因为，所以，由式，知，即，

于是，

故当时，不等式成立.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，注意在内可导的函数在上递增（或递减）的充要条件应是 [或]在上恒成立，本题还考查了利用导数证明不等式，关键是构造函数及其最值的应用，是一道难度较大的题目.