福建省宁德第一中学2020-2021学年高一下学期第二次月考数学试题（解析版）

这是一份福建省宁德第一中学2020-2021学年高一下学期第二次月考数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

宁德一中2020-2021学年第二学期第二次月考
高一数学试卷
班级________ 姓名________ 座号________
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 若（i是虚数单位，）对应的点在复平面内位于第四象限，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的几何意义确定其在复平面上的点的坐标，由象限列不等式即可得的取值范围.
【详解】复数对应的点为在复平面内位于第四象限
则，解得.
故选：C.
2. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A等于（ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦定理化简得，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理可得，
又因为，可得，所以，
又由，所以或.
故选：D.
3. 已知，是不共线向量，且，，，则（ ）
A. ，，三点共线 B. ，，三点共线
C. ，，三点共线 D. ，，三点共线
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算性质，结合平面向量共线的性质进行判断即可.
【详解】因为，，，
所以，
所以，，三点共线，故A正确，
因为，是不共线向量，若存在实数使得，则，
所以，显然方程无解，
所以不存在实数使得，所以，，三点不共线，故B错误；
同理，，三点也不共线，故C错误；
又，
所以不存在实数使得，故，，三点不共线，故D错误；
故选：A
4. 居民消费价格指数(ConsumerPriceIndex，简称CPI)是反映居民购买生活消费品和服务价格水平随着时间变动的相对数字，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况.下图为国家统计局于2020年12月公布的2019年11月至2020年11月CPI数据同比和环比涨跌幅折线图：

(注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比较；环比表示本月与上月相比较，环比增长率，则下列说法正确的是（ ）
A. 2019年12月与2018年12月CPI相等
B. 2020年1月至2020年3月CPI持续下降
C. 2020年7月至2020年9月CPI持续增长
D. 2020年上半年CPI最高为1月，最低为3月
【答案】C
【解析】
【分析】根据图表中的数据，结合题意，逐项分析，即可求解.
【详解】由图可知，2019年12月比2018年12月CPI上涨4.5%，故A不正确；
2020年1月至2020年3月的环比有正有负，所以CPI有升有降，故B不正确；
2020年7月至2020年11月的环比均为正数，所以CPI持续增长，涨幅递减，故C正确；2020年上半年CPI最高为2月，最低为6月，故D不正确.
故选：C.
5. 三棱锥中，若，则在底面上的投影Q为的（ ）
A. 垂心 B. 外心 C. 内心 D. 中心
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，从而可得结论
【详解】解：由题意可得，，
因为，公共边，
所以≌≌，
所以，
所以Q为的外心，
故选：B
6. 甲船在湖中B岛的正南A处，，甲船以的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以的速度向北偏东方向驶去，则行驶半小时，两船的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意画出简图，由余弦定理求解.
【详解】如图，行驶半小时后，设甲船到达，乙船到达，依题意可知（km），
（km），且.在△中，由余弦定理得：
，
所以，（km）.即半小时后，两船的距离是km.

故选：C.
7. 圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算法则，得到，再由圆的性质，得到的最小值，即可得出结果.
【详解】由题意可得，
，
为使最小，只需，根据圆的性质可得，此时为中点时，
又，因此，
所以的最小值为.
故选：D.
8. 已知是正方体的中心关于平面的对称点，则下列说法中错误的是（ ）

A. 与是异面直线 B. 平面
C. D. 平面
【答案】D
【解析】
【分析】
根据线面平行、垂直的判定定理逐一判断即可.
【详解】对于A，因为与平面相交，平面，所以与是异面直线，A正确；

对于B，因为是中心关于平面的对称点，所以平行且等于，

即平面为平行四边形，所以
因为是正方体中心，所以经过点，即平面
因为平面，所以平面，B正确；
对于C，由题，，所以平面，所以，

又因为，所以，C正确；
对于D，由图可知，必不垂直于平面，又因为，所以必不垂直于平面，D错误.

故选：D.
【点睛】本题考查学生的空间想象能力，关键点在于要找到，进而将需要证明的线进行替换.
9. 已知是空间两个不同的平面，是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是（ ）
A. ，，且，则 B. ，，且，则
C. ，，且，则 D. ，，且，则
【答案】CD
【解析】
【分析】利用空间线面、面面平行、垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，即可得到正确答案.
【详解】A选项，若，，且，则可能相交或平行，故A错误；
B选项，若，，且，则可能相交，也可能平行，故B错误；
C选项，若，，则，又，则；即C正确；
D选项，若，，则或；又，根据面面垂直判定定理可得：，即D正确.
故选：CD.
10. 在中，下列结论正确的是
A.
B.
C. 若,则为等腰三角形
D. 若,则锐角三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据向量的数量积运算法则逐个辨析即可.
【详解】对于A,,故A中结论错误；
对于B,设为向量与的夹角,因为,而,故,故B中结论正确；
对于C,,故,所以为等腰三角形,故C中结论正确；
对于D,取,,满足,但为钝角三角形,故D中结论错误.
故选：BC.
【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算与性质判定.属于基础题.
11. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】计算的范围，由此判断出正确结论.
【详解】，
当且仅当时等号成立，
所以，
所以AB选项正确，CD选项错误.
故选：AB
12. 如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ）

A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为8
C. 的取值范围是
D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，此时三棱锥体积也最大，利用圆锥体积公式求解即可判断B；先用取极限的思想求出的范围，再利用，求范围即可判断C；利用图形展开及两点之间线段最短即可判断选项D.
【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径，
对于A，圆锥的侧面积为：，故A正确；
对于B，当时，的面积最大，此时，则三棱锥体积的最大值为：，故B错误；
对于C，当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值，又因为与不重合，则，又，可得，故C错误；
对于D，由，得，又，则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到，则为等边三角形，，如图可知，

因为，
，
则，故D正确；
故选：AD.
【点睛】关键点睛：取极限是解决本题角的范围问题的关键；利用将以为轴旋转到与共面是解决求的最小值的关键，考查学生的想象能力与运算求解能力，属于较难题.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角等于______
【答案】##
【解析】
【分析】根据数量积的定义求得的值，再利用数量积的运算及性质可得，利用夹角余弦公式即可求得向量与向量的夹角.
【详解】向量，的夹角为，且，，所以
所以
于是可得向量与向量的夹角余弦值
因为，所以，即向量与向量的夹角等于.
故答案为：.
14. 某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：

高一年级
高二年级
高三年级
泥塑
a
b
c
剪纸
x
y
z
其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．
【答案】6
【解析】
【分析】先按分层抽样求出高二年级人数，再按样本占总体的比例得解.
【详解】因为“泥塑”社团的人数占总人数的，故“剪纸”社团的人数占总人数的，所以“剪纸”社团的人数为.因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为，所以“剪纸”社团中高二年级人数为.由题意知，抽样比为，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为.
故答案为:6
15. 三棱锥中，平面，直线与平面所成角的大小为，，，则三棱锥的外接球的表面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据线面角定义，结合正弦定理、勾股定理、球表面积公式进行求解即可.
【详解】如图，设外接球的球心为O，设的外接圆圆心为，
因为平面，所以为直线与平面所成角，即，所以，又，所以，所以，
设的外接圆半径为R，则由正弦定理可得，解得，
则在中，，则三棱锥的外接球表面积为．
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用正弦定理求解的外接圆半径R是解题的关键.
16. 中，，则最大值______．
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦定理，列出方程，利用一元二次方程根的判别式，可得答案.
【详解】设，，，由余弦定理：，
所以，设，则，
代入上式得，方程有解，所以，故，
当时，此时，，符合题意，因此最大值为.
故答案为：.

三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 设复数，其中i为虚数单位，．
（1）若是纯虚数，求实数a的值；
（2）若，求复数的模．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）计算出，再由复数的分类求解；
（2）计算出，然后由模的定义得结论．
【详解】（1）由题意，它为纯虚数，
则，解得；
（2）若，则，所以．
18. 有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．某海鲜市场进口了一批这种鱼，质监部门对这种鱼进行抽样检测，在30条鱼的样本中发现的汞含量（乘以百万分之一）如下：
0.07 0.34 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02
1.44 1.58 0.54 1.08 0.71 0.70 1.20 1.24 1.62 1.68
1.85 1.30 0.81 0.82 0.84 1.39 1.26 2.20 0.91 1.31
（1）完成下面频率分布表，并画出频率分布直方图；
频率分布表：
分组
频数
频率













1

合计
30
1
频率分布直方图：

（2）根据频率分布直方图估算样本数据的平均值（保留小数点后两位，同一组中的数据用该组区间中点值代表），并根据频率分布直方图描述这批鱼身体中汞含量的分布规律．
【答案】（1）填表见解析；作图见解析；（2）平均值为：，答案见解析．
【解析】
【分析】（1）由样本数据，即可完善频率分布表中的数据，并画出频率直方图.
（2）由（1）的频率直方图计算样本均值，进而描述汞含量分布规律.
【详解】（1）由题设样本数据，则可得频率分布表如下，
分组
频数
频率

3


10


12


4


1

合计
30
1

（2）根据频率分布直方图估算平均值为：
，
分布规律：
①该频率分布直方图呈中间高，两边低，大多数鱼身体中汞含量主要集中在区间；
②汞含量在区间的鱼最多，汞含量在区间的次之，在区间的最少；
③汞含量超过的数据所占比例较大，这说明这批鱼被人食用，对人体产生危害的可能性比较大．
19. 如图，在直三棱柱中，，，，，点D为的中点.

（1）证明：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先由中位线证明线线平行，再证明线面平行即可；
（2）建立适当空间直角坐标系，再求出直线的方向向量与平面的法向量，继而可求线面角的正弦值.
【小问1详解】
连接交于，连接,

直三棱柱中四边形为平行四边形，
点为的中点，
又点D为的中点，
，
又平面，平面，
平面.
【小问2详解】
，，，
,
,
直三棱柱中平面，
平面，
,.
以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

，，，，
,,,，
,，
,，
设平面的法向量，
，令，则，，
可得法向量，
因,设直线和平面所成角，所以，
.


20. （1）已知向量，，，且，．求的值．

（2）如图所示，在中，D，F分别为线段，上一点，且，，和相交于点E，若，分别求出与的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用向量平行可求，利用向量垂直可求，再利用向量数量积的坐标形式可求．
（2）以为基底向量表示，根据平面向量基本定理可得关于的方程组，求解后可得与的值．
【详解】（1）因为，故，故．
因为，故，故．
，故．
（2）因为且F分别为线段上一点，故，
所以即．
而，故，
而不共线，故，解得 ．
【点睛】思路点睛：平面向量中与向量系数有关系的计算，可以利用基底法来处理，即选定一组不共线的向量，其他向量可以用前者来表示，再利用平面向量基本定理把系数问题转化为方程组问题.
21. 已知在中，，，分别是角A，，所对的边，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，，判断三角形的形状.
【答案】（1）；（2）三角形是等边三角形.
【解析】
【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简已知式得，再结合三角形内角的取值范围即得角A即可；
（2）先利用面积公式得到，利用余弦定理得到，再解方程即得，即可判断结果.
【详解】解：（1）∵，


，即，
又A为三角形的内角，有，
∴，解得；
（2）∵，，，
∴，即①，
由余弦定理得：，即，解得②，
联立①②，解得：.
所以三角形是等边三角形.
【点睛】方法点睛：
求解三角形中有关边长、角、面积的相关问题时，通常结合三角恒等变换，利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数、方程或基本不等式求解.
22. 点E，F分别是边长为6的正方形的边，的中点，沿图1中的虚线，，将，，，折起使A，B，C三点重合，重合后的点记为点P，如图2.


（1）顶点P在平面内的正投影为点Q，点Q在平面的正投影为点M，连接并延长交于点G证明：G是的中点；
（2）作出点M在平面的上的正投影R（说明做法的理由）并求四面体的体积
【答案】（1）证明见解析
（2）详见解析；
【解析】
【分析】（1）证明平面PQM即可证得，由是等腰直角三角形即可证明G是EF的中点；
（2）过M点作直线平行于与PF交于R，则R点即是M点在平面PDF内的正投影，再根据三棱锥体积公式求解.
【小问1详解】
平面DEF，平面DEF，，又平面PEF，平面PEF，
， ，平面PQM，平面PQM，
，又是等腰直角三角形，，是EF的中点；
【小问2详解】
在平面PEF内过M点作PE的平行线，与PF交于R，即，则R是M点在平面PDF的正投影，即平面PDF，理由如下：

由条件知：，
，，，
即，由（1）的分析知：平面DPG，平面DPG，，
平面PEF，平面PEF，平面PEF，，
又平面PDF，，平面PDF，即M点在平面PDF的正投影是R，
连接MF，QR如上图，
在中，，，
在中，，，
在中，，
；
综上，四面体PQMR的体积为.
【点睛】本题第二问的计算量较大，容易出错，需要仔细；在找R点的位置时需要首先考虑R点应该是在三角形PDF的边上，多试几个特殊点比较容易解决,