新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案52第八章解析几何第八讲第二课时最值范围证明问题

这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案52第八章解析几何第八讲第二课时最值范围证明问题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
练案[52] 第二课时　最值、范围、证明问题A组基础巩固一、单选题1．(2023·安徽太阜阳和中学月考)设椭圆C：＋＝1的右焦点为F，过原点O的动直线l与椭圆C交于A，B两点，那么△ABF的周长的取值范围为( A )A．[2＋4,8)  B．C．[2＋2,8)  D．[解析]　△ABF的周长C△ABF＝|AB|＋|AF|＋|BF|，又因为A，B两点为过原点O的动直线l与椭圆C的交点，所以A，B两点关于原点对称，椭圆C的左焦点为F′，则|BF|＝|AF′|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝4，又因为A，B，F三点不共线，所以2≤|AB|<4，所以△ABF的周长的取值范围为[2＋4,8)，故选A.2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是( C )A．2  B． C．4  D．2[解析]　∵＝＋＝≥，即1≥，∴|AF|·|BF|≥4(当且仅当|AF|＝|BF|时取等号)．故选C.3．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( D )A．5  B．＋C．7＋  D．6[解析]　设Q点坐标为(m，n)(－1≤n≤1)，因为圆心C(0，6)，故|QC|＝①，因为＋n2＝1②，联立①②，|QC|＝，因为－1≤n≤1，故当n＝－时，|QC|有最大值，最大值为5，所以|PQ|max＝|QC|max＋＝6.4．(2022·河南新乡一中适应性考试)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A，B为C上的两个动点，设AB的中点到C的准线的距离为d，若|AB|＝d，则cos∠AFB的最小值为( D )A．－  B．－C.  D．[解析]　如图，由抛物线的定义知，|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝2|CM|＝2d，由2d＝|AF|＋|BF|≥2可得≥，当且仅当|AF|＝|BF|时等号成立，在△ABF中，cos∠AFB＝＝＝－1≥×－1＝(当且仅当 |AF|＝|BF|时取等号)，即cos∠AFB的最小值为.故选D.5．(2023·江苏南京一中模拟)已知圆C经过点P(1,0)，且与直线x＝－1相切，则其圆心到直线x－y＋3＝0距离的最小值为( D )A．3  B．2 C．  D．[解析]　依题意，设圆C的圆心C(x，y)，动点C到点P的距离等于到直线x＝－1的距离，根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为y2＝4x，设圆心C到直线x－y＋3＝0的距离为d，d＝＝＝＝，当y＝2时，dmin＝，故选D.6．(2023·浙江温州适应性考试)已知P为直线y＝－x－1上一动点，过点P作抛物线C：x2＝2y的两条切线，切点记为A，B则原点到直线AB距离的最大值为( B )A．1  B． C．  D．2[解析]　设P(x0，y0)，过P作抛物线x2＝2y的切线，切点为A，B切点弦AB：x0x＝y＋y0，即x0x－y－y0＝0.d＝＝＝＝≤，选B.7．(2023·重庆巴蜀中学适应性考试)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－3)2＋(y－1)2＝1没有交点，则双曲线C的离心率e的取值范围是( C )A．e>  B．e>C．1<e<  D．1<e<[解析]　因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线y＝±x与圆(x－3)2＋(y－1)2＝1没有交点，所以>1，解得>，又因为c2＝a2＋b2，所以e＝＝<.又e>1，∴1<e<，故选C.8．(2023·安徽十校质检)已知抛物线C：x2＝12y的焦点为F，其准线与y轴的交点为A，点B为抛物线上一动点，当取得最大值时，直线AB的倾斜角为( D )A.  B．C.或  D．或[解析]　抛物线C的准线为l：y＝－3，焦点为F(0，3)，易知点A(0，－3)，过点B作BM⊥l，垂足为M，由抛物线的定义可得|BM|＝|BF|，易知BM∥y轴，则∠BAF＝∠ABM，所以＝＝cos∠ABM＝cos∠BAF，当取得最大值时，cos∠BAF取最小值，此时∠BAF最大，则直线AB与抛物线C相切，由图可知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx－3，联立可得x2－12kx＋36＝0，则Δ＝144k2－144＝0，解得k＝±1，因此，直线AB的倾斜角为或.故选D.二、多选题9．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的点，若|F1F2|＝|PF2|，且∠PF1F2＝30°，则( AC )A．离心率为B．渐近线方程为y＝±xC．若a＝2，则|PF1|的最小值为3＋D．若a＝2，则|PF2|的最小值为3－[解析]　|F1F2|＝|PF2|，且∠PF1F2＝30°，又|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝2c，∠F1PF2＝30°，∠PF2F1＝120°，|PF1|＝2c，由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2(－1)c＝2a，所以e＝＝＝，A正确；＝＝＝＝，B错误；设a＝2，则c＝＋1，|PF1|的最小值为a＋c＝3＋，C正确；|PF2|的最小值是c－a＝－1，D错误．故选AC.10．(2022·湖北模拟)已知F是抛物线C1：y2＝4x的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是⊙C2：(x－4)2＋(y－1)2＝1上一动点，则下列说法正确的有( AC )A．|PF|的最小值为1B．|QF|的最小值为C．|PF|＋|PQ|的最小值为4D．|PF|＋|PQ|的最小值为＋1[解析]　由题意知，F(1,0)，C2(4,1)，圆C2的半径为r＝1，由抛物线的定义知，|PF|＝xP＋1≥1，所以|PF|的最小值为1，即选项A正确；点Q是圆上的动点，|QF|min＝|C2F|－r＝－1，即选项B错误；过点P作PM垂直准线于点M，则|PF|＋|PQ|＝|PM|＋|PQ|≥|MQ|，而|MQ|min＝|MC2|－r＝4＋1－1＝4，当且仅当M，Q，C2三点共线，且该直线与x轴平行时，等号成立，所以|PF|＋|PQ|的最小值为4，即选项C正确，D错误．故选AC.三、填空题11．(2022·山东济南三模改编)已知抛物线y2＝2px(p>0)，若过点(1,2)的直线l与抛物线恒有公共点，则p的取值范围是_[2，＋∞)__.[解析]　若点(1,2)在抛物线y2＝2px(p>0)的内部或在抛物线上，则过点(1,2)的直线l与抛物线恒有公共点，所以当x＝1时，y＝≥2，解得p≥2.12．(2023·浙江浙东北联盟期中)直线mx－y－2m＝0与曲线x2＋y|y|＝1恰有两个交点，则实数m的取值范围为 　.[解析]　由x2＋y|y|＝1，得当y≥0时，x2＋y2＝1，当y<0时，x2－y2＝1曲线如图．直线方程为y＝m(x－2)，直线过定点(2,0)，直线与半圆相切时，由＝1得m＝－；又双曲线x2－y2＝1一条渐近线的斜率为1，由图可知，m的取值范围－<m<1.13．(2023·河南安阳模拟)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为_4__.[解析]　因为椭圆＋＝1的两焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，离心率为，故双曲线C的离心率为2，c＝1，从而a＝，|PF2|≥，所以＝＝|PF2|＋＋4a＝|PF2|＋＋2≥2＋2＝4(当且仅当|PF2|＝1时，等号成立)．四、解答题14．(2022·辽宁辽南协作体模拟)设双曲线C：－y2＝1，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．(1)求直线l倾斜角θ的取值范围；(2)直线AO(O为坐标原点)与曲线C的另一个交点为D，求△ABD面积的最小值，并求此时l的方程．[解析]　(1)解法一：由双曲线C：－y2＝1得c2＝3＋1＝4，则右焦点F(2,0)，显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋2，由得(m2－3)y2＋4my＋1＝0，因为直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝16m2－4(m2－3)>0，y1＋y2＝，y1·y2＝，则解得－<m<，当m＝0时，直线l倾斜角θ＝，当m≠0时，直线l的斜率k>或k<－，综上，直线l倾斜角θ的取值范围为.解法二：由双曲线渐近线方程为y±x＝0知，直线l斜率的取值范围为∪，∴直线l倾斜角的取值范围为.(2)因为O是AD中点，由解法一知S△ABD＝2S△OAB＝2×|OF||y1－y2|＝2＝2＝2＝4，令t＝m2－3，则t∈[－3,0)，S△ABD＝4＝4＝4，其中u＝，且u∈，又y＝4u2＋u在上单调递减，所以S△ABD≥，当u＝－，即m＝0时取等号；即△ABD面积的最小值为.此时直线l的方程为x＝2.15．(2022·广东综合能力测试)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F为左焦点，上顶点P到F的距离为2，且离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设斜率为k的动直线l与椭圆C交于M，N两点，且|PM|＝|PN|，求k的取值范围．[解析]　(1)由上顶点P到F的距离为2，可得a＝2，又e＝＝，故c＝，从而b2＝a2－c2＝1.∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)当k＝0时，由椭圆的对称性，显然成立．当k≠0时，设直线l为y＝kx＋m，联立得(4k2＋1)x2＋8mkx＋4m2－4＝0，则Δ＝64m2k2－16(4k2＋1)(m2－1)＞0，即4k2－m2＋1＞0(*)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝－＋2m＝，故线段MN的中点为Q，从而直线PQ的斜率为kPQ＝＝，则|PM|＝|PN|，得PQ⊥MN，即kPQ·k＝－1，即＝－1，故m＝－.由(*)式，即4k2－m2＋1＞0，可得4k2＋1－＞0，即＞0，故8－4k2＞0，解得－＜k＜，且k≠0.综上所述，k的取值范围为.B组能力提升1．(2023·湖南长沙雅礼中学等十六校联考)已知双曲线x2－＝1，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率e的取值范围为( D )A.  B．C．(1，)  D．以上选项均不正确[解析]　设切线方程是y－2＝k(x－2)，由得(a2－k2)x2＋4k(k－1)x－4(k－1)2－a2＝0，显然a2－k2＝0时，所得直线不是双曲线的切线，所以k≠±a，由Δ＝0得，16k2(k－1)2＋4(a2－k2)[4(k－1)2＋a2]＝0，整理为3k2－8k＋4＋a2＝0，由题意此方程有两不等实根，所以Δ1＝64－12(4＋a2)>0，即a2<，则c2＝1＋a2<(c为双曲线的半焦距)，e＝＝c<，即1<e<，k＝±a代入方程3k2－8k＋4＋a2＝0，得a＝±1，此时e＝，综上，e的范围是(1，)∪.故选D.2．(2023·北京延庆统测)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为4，则C的焦距的最小值为 4　.[解析]　∵双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，∴双曲线的渐近线方程是y＝±x，∵直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，不妨设D在第一象限，E在第四象限，联立，解得即D(a，b)，联立解得即E(a，－b)，∴|ED|＝2b；∴△ODE面积为：S△ODE＝a×2b＝ab＝4；∵双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，∴其焦距为2c＝2≥2＝2＝4；当且仅当a＝b＝2时，取等号；∴C的焦距的最小值为4.3．(2023·福建溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学期中联考)抛物线C1：y2＝4x的焦点F，点P(3,2)，以点F，P为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为 　[解析]　由题意知F(1,0)，∴c＝＝，设椭圆与抛物线的公共点为A，则2a＝|PA|＋|FA|≥|PM|＝4，即a≥2.∴e＝≤.4．(2021·全国乙卷)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程；(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．[解析]　(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程为x＝－，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为－＝p＝2，所以该抛物线的方程为y2＝4x.(2)解法一：设Q，则＝9＝，所以P，由P在抛物线上可得2＝4，即x0＝，所以直线OQ的斜率kOQ＝＝＝，当y0＝0时，kOQ＝0；当y0≠0时，kOQ＝，当y0>0时，因为25y0＋≥2＝30，此时0<kOQ≤，当且仅当25y0＝，即y0＝时，等号成立；当y0<0时，kOQ<0；综上，直线OQ的斜率的最大值为.解法二：由(1)知F(1,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，＝(1－x2，－y2)，因为＝9，所以可得又点P在抛物线C上，所以y＝4x1，即(10y2)2＝4(10x2－9)，化简得y＝x2－，则点Q的轨迹方程为y2＝x－.设直线OQ的方程为y＝kx，易知当直线OQ与曲线y2＝x－相切时，斜率可以取最大，联立y＝kx与y2＝x－并化简，得k2x2－x＋＝0，令Δ＝2－4k2·＝0，解得k＝±，所以直线OQ斜率的最大值为.5．(2023·河北秦皇岛部分学校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为8.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：x－my－1＝0与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求△MNQ面积的最大值．[解析]　(1)设椭圆C的焦距为2c，则e＝＝，即＝＝，所以1－＝，即a＝2b，又C的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为8，所以2bc＝8，综上解得a2＝16，b2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)易知M(1,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则N(x1，－y1)，联立直线l与椭圆C的方程得(m2＋4)y2＋2my－15＝0，显然Δ>0，则y1＋y2＝－，y1y2＝－.又S△PQN＝×|2y1|×|x2－x1|，S△PMN＝×|2y1|×|1－x1|，易知x2－x1与1－x1同号，所以S△MNQ＝S△PQN－S△PMN＝|y1|×(|x2－x1|)－(|1－x1|)＝|y1|×|(x2－x1)－(1－x1)|＝|y1|×|x2－1|＝|y1|×|my2|＝|my1y2|＝＝≤＝，当且仅当|m|＝，即m＝±2时等号成立，所以△MNQ面积的最大值为.