新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案49第八章解析几何第六讲双曲线

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练案[49]　 第六讲　双曲线A组基础巩固一、单选题1．(2023·浙江A9协作体期中)已知圆M：(x＋2)2＋y2＝4，M为圆心，P为圆上任意一点，定点A(2,0)，线段PA的垂直平分线l与直线PM相交于点Q，则当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为( D )A.－＝1(x≤－2)B.－＝1C．x2－＝1(x≤－1)D．x2－＝1[解析]　因为线段PA的垂直平分线l与直线PM相交于点Q，所以有|QA|＝|QP|，由(x＋2)2＋y2＝4，得M(－2,0)，该圆的半径为2，因为点P在圆上运动时，所以有||QP|－|QM||＝2，于是有||QA|－|QM||＝2，所以点Q的轨迹是以A，M为焦点的双曲线，所以2c＝4,2a＝2⇒c＝2，a＝1⇒b2＝c2－a2＝3，所以点Q的轨迹方程为x2－＝1，故选D.2．(2020·新课标Ⅲ)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P，若△PF1F2的面积为4，则a＝( A )A．1  B．2 C．4  D．8[解析]　由题意，设|PF2|＝m，|PF1|＝n，可得m－n＝2a，mn＝4，m2＋n2＝4c2，可得4c2＝16＋4a2，又e＝＝，解得a＝1，故选A.3．(2020·新课标Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积是( B )A.  B．3 C．  D．2[解析]　由题意可得a＝1，b＝，c＝2，∴|F1F2|＝2c＝4，∵|OP|＝2，∴|OP|＝|F1F2|，∴△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝16，∵||PF1|－|PF2||＝2a＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，∴|PF1|·|PF2|＝6，∴△PF1F2的面积为S＝|PF1|·|PF2|＝3，故选B.4．(2020·天津)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为( D )A.－＝1  B．x2－＝1C.－y2＝1  D．x2－y2＝1[解析]　抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，则直线l的方程为y＝－b(x－1)，∵双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，∴－＝－b，·(－b)＝－1，∴a＝1，b＝1，∴双曲线C的方程为x2－y2＝1，故选D.5．(2023·广西摸底、江苏南京一中期中)已知F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，y＝kx与双曲线C交于A(A在第一象限)，B两点，|BF|＝3|AF|，且∠AFB＝，则该双曲线的离心率为( D )A.  B． C．  D．[解析]　设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′，根据双曲线的对称性可知，四边形AFBF′为平行四边形，由题意以及双曲线定义，可得|BF|－|AF|＝|AF′|－|AF|＝3|AF|－|AF|＝2a，则|AF|＝a，|BF|＝3a，∠F′AF＝60°，所以|FF′|2＝|AF′|2＋|AF|2－2|AF′|·|AF|·cos∠F′AF，即4c2＝9a2＋a2－6a2×，即4c2＝7a2，所以双曲线C的离心率为：e＝＝.6．(2023·河南新乡模拟)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上一点．PF2⊥F1F2，若PF1交于y轴于点A，且AF2垂直于∠F1PF2的角平分线，则双曲线的离心率为( A )A.  B． C．  D．[解析]　因为AF2垂直于∠F1PF2的角平分线，所以|PA|＝|PF2|，由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，可知|AF1|＝2a，因为PF2⊥F1F2，所以|PF2|＝，且AO∥PF2，所以|AF1|＝|AP|，即＝2a，又b2＝c2－a2，解得c＝a，所以e＝＝.7．(2022·江西九江模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0)的左右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为x＋y＝0，若点M在双曲线C上，且|MF1|＝5，则|MF2|＝( A )A．9  B．1C．1或9  D．1或7[解析]　双曲线C的渐近线方程为y＝±x，∴＝，∴a＝2，从而c＝＝4，又，∴|MF2|＝9.故选A.8．(2023·山东滨州二模)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为( A )A．(1,2)  B．(1,3) C．(3，＋∞)  D．(2,3)[解析]　在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，又因为点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|>2c得，3a＋a>2c，即2a>c，所以e＝<2，又因为e>1，所以1<e<2，故选A.二、多选题9．(2023·山东聊城模拟)已知双曲线C：－＝1的左、右顶点分别为A，B，点P是C上的任意一点，则( BCD )A．双曲线C的离心率为B．焦点到渐近线的距离为3C．点P到两条渐近线的距离之积为D．当P与A、B不重合时，直线PA，PB的斜率之积为3[解析]　双曲线C：－＝1的a＝，b＝3，c＝2，则e＝＝2，故A错误；焦点(±2，0)到渐近线3x±y＝0的距离为＝3，故B正确；设P(m，n)，可得3m2－n2＝9，则点P到两条渐近线的距离之积为＝＝＝，故C正确；设P(m，n)，可得3m2－n2＝9，又A(－，0)，B(，0)，可得kPA·kPB＝·＝＝＝3，知D正确．故选BCD.10．(2022·湖南衡阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线交C于点A，交另一条渐近线于点B.若＝2，则下列说法正确的是( BCD )A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2xB．双曲线C的离心率为C．点A到两渐近线的距离的乘积为D．O为坐标原点，则tan∠AOB＝[解析]　双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设过点F的直线与直线y＝x平行，交C于点A.对于A：设双曲线半焦距为c，过点F与直线y＝x平行的直线的方程为y＝(x＋c)，与y＝－x联立，解得B，由＝2，设A(x，y)，所以(x＋c，y)＝2，可得A，依题：－＝1，得＝3，＝2，故渐近线方程为y＝±x，A错误；对于B：由＝3可得e＝，B正确；对于C：A到两渐近线距离的乘积d1d2＝＝＝，C正确；对于D：kOA＝－＝－，kAB＝＝，kOA·kAB＝－1，故OA⊥AB，|OA|＝＝c，|AB|＝＝，故tan∠AOB＝＝， D正确．故选BCD.11．(2023·福建四地市质检)下图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C与坐标轴交于D，E，则( ABD )A．双曲线C的方程为－＝1B．双曲线－x2＝1与双曲线C共渐近线C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3[解析]　依题意可知M，N，将M、N的坐标分别代入－＝1，得解得a2＝3，b2＝9，所以双曲线C的方程为：－＝1，其渐近线为y＝±x，故A正确；对于B，由－x2＝1，可知其渐近线为y＝±x，故B正确；对于C，由双曲线的性质可知，渐近线与双曲线没有交点，与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，故不存在点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，故C错误；对于D，设双曲线上一点P(x0，y0)，y0≠0，则－＝1，即y＝3x－9，由题可知D(－，0)，E(，0)，则kPD＝，kPE＝，kPDkPE＝·＝＝3，即存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，故D正确．故选ABD.三、填空题12．(2021·全国高考)双曲线－＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为 　.[解析]　由已知，c＝＝＝3，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线x＋2y－8＝0的距离为＝＝.13．(2022·湖北七市(州)联合调研)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F关于它的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为_2__.[解析]　根据题意及图形的对称性知一条直线的倾斜角为.∴＝.∴e＝＝2.14．(2023·安徽宣城调研)已知双曲线－＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且倾斜角为的直线l与双曲线的左、右支分别交于点A，B.且|AF2|＝|BF2|，则该双曲线的离心率为 　.[解析]　过F2作F2N⊥AB于点N，设|AF2|＝|BF2|＝m，因为直线l的倾斜角为，所以在直角三角形F1F2N中，|NF2|＝|F1F2|＝c，|NF1|＝c，由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋m，同理可得|AF1|＝m－2a，所以|AB|＝|BF1|－|AF1|＝4a，即|AN|＝2a，所以|AF1|＝c－2a，因此m＝c，在直角三角形ANF2中，|AF2|2＝|NF2|2＋|AN|2，所以(c)2＝4a2＋c2，所以c＝a，则e＝＝.四、解答题15．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30°.(1)求双曲线C的方程；(2)经过点F的直线与双曲线的右支交于A，B两点，与y轴交于P点，点P关于原点的对称点为点Q，求证：S△QAB>.[解析]　(1)由题意得c＝2，＝tan 30°＝，c2＝a2＋b2，解得a2＝3，b2＝1，所以双曲线C的方程为：－y2＝1.(2)证明：由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：y＝k(x－2)，得P(0，－2k)，Q(0,2k)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理可得(3k2－1)x2－12k2x＋12k2＋3＝0，∴x1＋x2＝，x1·x2＝，所以S△QAB＝|S△QPB－S△QPA|＝|PQ||x1－x2|＝2|k||x1－x2|，所以S＝4k2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝4k2＝，直线与双曲线右支有两个交点，所以x1＋x2＝>0，x1·x2＝>0，所以3k2>1，设t＝3k2－1>0，S＝48＝＝2－3>×－3＝，所以S△QAB>.B组能力提升1．(2022·山西太原模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，若△AOF是边长为2的等边三角形(O为坐标原点)，则双曲线方程为 x2－＝1　.[解析]　由题意知＝tan 60°＝，a2＋b2＝c2＝4，∴a2＝1，b2＝3，故双曲线方程为x2－＝1.2．(2023·山西吕梁模拟)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)作圆x2＋y2＝a2的一条切线，切点为B，交y轴于D，若＝3，则双曲线C的离心率为( C )A.  B． C．2  D．[解析]　因为|OB|＝a，|OF|＝c，且切点为B，所以|FB|＝＝b，因为＝3，所以|BD|＝，故|OD|＝＝，因为|OD||OF|＝|OB||FD|，故·a＝·c，化简可得2－8＋16＝0，即＝4，所以e＝2，故选C.3．(2023·陕西西安中学模拟)已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论错误的是( C )A．曲线C的方程为－y2＝1B．左焦点到一条渐近线距离为1C．直线x－y－1＝0与曲线C有两个公共点D．过右焦点截双曲线所得弦长为2的直线只有三条[解析]　因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线方程为－y2＝m，又双曲线过点(3，)，所以m＝－()2＝1，所以双曲线方程为－y2＝1，A正确；由双曲线方程知a2＝3，b2＝1，c＝＝2，左焦点为F1(－2,0)，渐近线方程为x±y＝0，左焦点到渐近线的距离为d＝＝1，B正确；由x－y－1＝0得x＝y＋1，代入双曲线方程整理得y2－2y＋2＝0，解得y＝，所以x＝×＋1＝3，直线与双曲线只有一个公共点(3，)，C错误；双曲线的通径长为＝＝<2，因此过右焦点，且两顶点都右支上弦长为2的弦有两条，又两顶点间距离为2a＝2，因此端点在双曲线左右两支上且弦长为2的弦只有一条，为实轴，所以共有3条弦的弦长为2，D正确．故选C.4．(多选题)(2022·福建南平模拟)已知双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过F1且与x轴垂直的直线交双曲线C于M，N两点，又|MN|＝8a，则( AB )A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2xB．双曲线C的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方C．双曲线C的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列D．双曲线C上存在点P，满足|PF1|＝3|PF2|[解析]　易知双曲线C的方程为－＝1，令x＝c得y＝±，故|MN|＝＝8a，解得b＝2a，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即y＝±2x，A正确；双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，由双曲线的对称性，不妨取右顶点(a,0)，右焦点(c,0)，则顶点到两渐近线距离的积为·＝，焦点到渐近线距离的平方为2＝，又b＝2a，c2＝a2＋b2＝5a2，故＝×5，B正确；(2b)2＝(4a)2＝16a2,2a·2c＝4a2，显然(2b)2≠2a·2c，C错误；若|PF1|＝3|PF2|，又由双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a，解得|PF2|＝a<(－1)a＝c－a，故不存在点P，满足|PF1|＝3|PF2|，D错误．故选AB.5．(2022·江苏泰州一模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，四点M1，M2(3，)，M3，M4中恰有三点在C上．(1)求C的方程；(2)过点(3,0)的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x＝1的垂线，垂足为A.证明：直线AQ过定点．[解析]　(1)因为四点M1，M2(3，)，M3，M4中恰有三点在C上，而点M3，M4关于原点对称，所以M3，M4一定在双曲线上，而M1，∵4>3，但<，所以M1不在双曲线．所以点M2，M3，M4在曲线上，代入可得解得所以C的方程为：－y2＝1.(2)证明：当直线斜率l不存在时，得P(3，)，Q(3，－)，A(1，)，则直线AQ方程为y＝－x＋2，过点T(2,0)；当直线斜率l存在时，设为y＝k(x－3)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则A(1，y1)，联立整理得(1－3k2)x2＋18k2x－27k2－3＝0,1－3k2≠0，x1＋x2＝－，x1x2＝－，则kQT＝，kAT＝－y1，所以kQT－kAT＝－(－y1)＝，又y2＋x2y1－2y1＝k(x2－3)＋k(x2－2)(x1－3)＝k[x1x2－2(x1＋x2)＋3]＝k＝0，所以kQT＝kAT，即直线AQ过点T(2,0)．