高考数学一轮复习练58第八章解析几何第九讲第2课时最值范围证明问题含解析新人教版

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第二课时　最值、范围、证明问题
A组基础巩固
一、单选题
1．(2021·广西钦州、崇左质检)抛物线x＝上的点与其焦点的距离的最小值为(　B　)
A．2　　 B．1　　
C．　　 D．
[解析]　由题意，y2＝4x的焦点F(1,0)，准线为x＝－1，设抛物线上的动点P(x0，y0)，根据抛物线的定义可知，|PF|＝1＋x0，因为x0∈[0，＋∞)，所以|PF|＝1＋x0≥1，故抛物线y2＝4x上的点与其焦点的距离的最小值为1.故应选B.
2．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　D　)
A．5　　 B．＋
C．7＋　　 D．6
[解析]　设Q点坐标为(m，n)(－1≤n≤1)，因为圆心C(0，6)，故|QC|＝①，因为＋n2＝1②，联立①②，|QC|＝，因为－1≤n≤1，故当n＝－时，|QC|有最大值，最大值为5，所以|PQ|max＝|QC|max＋＝6.
3．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　C　)
A．9,12　　 B．8,11
C．8,12　　 D．10,12
[解析]　c＝＝4，椭圆的焦点为M′(－4,0)，N′(4,0)，又|PM′|＋|PN′|＝10，∴|PM|＋|PN|的最大值为|PM′|＋|PN′|＋1＋1＝12，最小值为|PM′|＋|PN′|－1－1＝8.故选 C．
4．(2021·四川宜宾模拟)M是抛物线y2＝4x上一点，N是圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线x－y－1＝0的对称圆上的一点，则|MN|的最小值是(　C　)
A．－1　　 B．－1
C．2－1　　 D．
[解析]　N是圆(x－1)2＋(y－2)2＝1，
设圆心为C(1,2)，半径为1，
圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心关于直线x－y－1＝0的对称点为C′(3,0)
则|MN|＝|C′M|－|C′N|＝|C′M|－1，C′点坐标(3,0)，
由于M在y2＝4x上，设M的坐标为(x，y)，
∴|C′M|＝＝≥2，
∵圆半径为1，
所以|MN|最小值为：2－1.
故选：C．

5．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是(　C　)
A．2　　 B．　　
C．4　　 D．2
[解析]　∵＝＋＝≥，即1≥，∴|AF|·|BF|≥4，(当且仅当|AF|＝|BF|时取等号)．故选 C．
6．(2021·绵阳二诊)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P在椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　B　)
A．　　 B．6　　
C．8　　 D．12
[解析]　设P(x，y)，则·＝x2＋y2＋x＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，(－2≤x≤2)，显然当x＝2时，·取得最大值6，故选B.
7．(2021·重庆巴蜀中学适应性考试)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－3)2＋(y－1)2＝1没有交点，则双曲线C的离心率e的取值范围是(　C　)
A．e>　　 B．e>
C．1，
又因为c2＝a2＋b2，所以e＝＝1，∴10)，
∴双曲线的渐近线方程是y＝±x，
∵直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点
不妨设D在第一象限，E在第四象限，
联立，解得，即D(a，b)
联立，解得，即E(a，－b)
∴|ED|＝2b；
∴△ODE面积为：S△ODE＝a×2b＝ab＝4；
∵双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，
∴其焦距为2c＝2≥2＝2＝4；
当且仅当a＝b＝2时，取等号；
∴C的焦距的最小值为4.
4．(2021·山西长治联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2交于点M.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若l1⊥l2，求三角形△MAB面积的最小值．
[解析]　(1)焦点到准线的距离为2，即p＝2，
所以求抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)抛物线的方程为x2＝4y，即y＝x2，
所以y′＝x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
l1：y－＝(x－x1)，
l2：y－＝(x－x2)，
由于l1⊥l2，所以·＝－1，即x1x2＝－4，
设直线l方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，
得所以x2－4kx－4m＝0，
Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，
x1x2＝－4m＝－4，所以m＝1，即l：y＝kx＋1，
联立方程得，
即M(2k，－1)，
M点到直线l的距离
d＝＝
|AB|＝＝4(1＋k2)，
所以S＝×4(1＋k2)×＝4(1＋k2)≥4，
当k＝0时，△MAB面积取得最小值4.
5．(2021·陕西质检)已知椭圆D：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率是.
(1)求椭圆D的方程；
(2)点E，轨迹D上的点A，B满足＝λ，求实数λ的取值范围．
[解析]　(1)由已知⇒a＝2，b＝1，c＝，
所以D的方程为＋y2＝1.
(2)过E的直线若斜率不存在，则λ＝或3.
设直线斜率k存在，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，
⇒(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
又＝λ，
则
由②④解得x1，x2代入③式得
·2＝，
化简得＝，
由(1)Δ≥0解得k2≥代入上式右端得