高考数学一轮复习练习案58第八章解析几何第九讲第2课时最值范围证明问题含解析新人教版

这是一份高考数学一轮复习练习案58第八章解析几何第九讲第2课时最值范围证明问题含解析新人教版，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2021·广西钦州、崇左质检)抛物线x＝eq \f(y2,4)上的点与其焦点的距离的最小值为( B )
A．2 B．1
C．eq \f(1,16) D．eq \f(1,2)
[解析] 由题意，y2＝4x的焦点F(1,0)，准线为x＝－1，设抛物线上的动点P(x0，y0)，根据抛物线的定义可知，|PF|＝1＋x0，因为x0∈[0，＋∞)，所以|PF|＝1＋x0≥1，故抛物线y2＝4x上的点与其焦点的距离的最小值为1.故应选B.
2．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆eq \f(x2,10)＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( D )
A．5eq \r(2) B．eq \r(46)＋eq \r(2)
C．7＋eq \r(2) D．6eq \r(2)
[解析] 设Q点坐标为(m，n)(－1≤n≤1)，因为圆心C(0，6)，故|QC|＝eq \r(m2＋n－62)①，因为eq \f(m2,10)＋n2＝1②，联立①②，|QC|＝eq \r(－9n2－12n＋46)，因为－1≤n≤1，故当n＝－eq \f(2,3)时，|QC|有最大值，最大值为5eq \r(2)，所以|PQ|max＝|QC|max＋eq \r(2)＝6eq \r(2).
3．设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( C )
A．9,12 B．8,11
C．8,12 D．10,12
[解析] c＝eq \r(a2－b2)＝4，椭圆的焦点为M′(－4,0)，N′(4,0)，又|PM′|＋|PN′|＝10，∴|PM|＋|PN|的最大值为|PM′|＋|PN′|＋1＋1＝12，最小值为|PM′|＋|PN′|－1－1＝8.故选 C．
4．(2021·四川宜宾模拟)M是抛物线y2＝4x上一点，N是圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线x－y－1＝0的对称圆上的一点，则|MN|的最小值是( C )
A．eq \f(\r(11),2)－1 B．eq \r(3)－1
C．2eq \r(2)－1 D．eq \f(3,2)
[解析] N是圆(x－1)2＋(y－2)2＝1，
设圆心为C(1,2)，半径为1，
圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心关于直线x－y－1＝0的对称点为C′(3,0)
则|MN|＝|C′M|－|C′N|＝|C′M|－1，C′点坐标(3,0)，
由于M在y2＝4x上，设M的坐标为(x，y)，
∴|C′M|＝eq \r(x－32＋y2)＝eq \r(x2－2x＋9)≥2eq \r(2)，
∵圆半径为1，
所以|MN|最小值为：2eq \r(2)－1.
故选：C．
5．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是( C )
A．2 B．eq \r(2)
C．4 D．2eq \r(2)
[解析] ∵eq \f(2,p)＝eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(|AF|＋|BF|,|AF|·|BF|)≥eq \f(2,\r(|AF|·|BF|))，即1≥eq \f(2,\r(|AF|·|BF|))，∴|AF|·|BF|≥4，(当且仅当|AF|＝|BF|时取等号)．故选 C．
6．(2021·绵阳二诊)若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P在椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))的最大值为( B )
A．eq \f(21,4) B．6
C．8 D．12
[解析] 设P(x，y)，则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))＝x2＋y2＋x＝eq \f(1,4)x2＋x＋3＝eq \f(1,4)(x＋2)2＋2，(－2≤x≤2)，显然当x＝2时，eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))取得最大值6，故选B.
7．(2021·重庆巴蜀中学适应性考试)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－3)2＋(y－1)2＝1没有交点，则双曲线C的离心率e的取值范围是( C )
A．e>eq \f(5,4) B．e>eq \f(5,3)
C．1eq \f(3,4)，
又因为c2＝a2＋b2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)1，∴10)，
∴双曲线的渐近线方程是y＝±eq \f(b,a)x，
∵直线x＝a与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点
不妨设D在第一象限，E在第四象限，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a,y＝\f(b,a)x))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a,y＝b))，即D(a，b)
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a,y＝－\f(b,a)x))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a,y＝－b))，即E(a，－b)
∴|ED|＝2b；
∴△ODE面积为：S△ODE＝eq \f(1,2)a×2b＝ab＝4；
∵双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
∴其焦距为2c＝2eq \r(a2＋b2)≥2eq \r(2ab)＝2eq \r(8)＝4eq \r(2)；
当且仅当a＝b＝2时，取等号；
∴C的焦距的最小值为4eq \r(2).
4．(2021·山西长治联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2交于点M.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若l1⊥l2，求三角形△MAB面积的最小值．
[解析] (1)焦点到准线的距离为2，即p＝2，
所以求抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)抛物线的方程为x2＝4y，即y＝eq \f(1,4)x2，
所以y′＝eq \f(1,2)x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
l1：y－eq \f(x\\al(2,1),4)＝eq \f(x1,2)(x－x1)，
l2：y－eq \f(x\\al(2,2),4)＝eq \f(x2,2)(x－x2)，
由于l1⊥l2，所以eq \f(x1,2)·eq \f(x2,2)＝－1，即x1x2＝－4，
设直线l方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m,x2＝4y))所以x2－4kx－4m＝0，
Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，
x1x2＝－4m＝－4，所以m＝1，即l：y＝kx＋1，
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(x1,2)x－\f(x\\al(2,1),4),y＝\f(x2,2)x－\f(x\\al(2,2),4)))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2k,y＝－1))，
即M(2k，－1)，
M点到直线l的距离
d＝eq \f(|k·2k＋1＋1|,\r(1＋k2))＝eq \f(2|k2＋1|,\r(1＋k2))
|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝4(1＋k2)，
所以S＝eq \f(1,2)×4(1＋k2)×eq \f(2|k2＋1|,\r(1＋k2))＝4(1＋k2)eq \f(3,2)≥4，
当k＝0时，△MAB面积取得最小值4.
5．(2021·陕西质检)已知椭圆D：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率是eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆D的方程；
(2)点Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2))，轨迹D上的点A，B满足eq \(EA,\s\up6(→))＝λeq \(EB,\s\up6(→))，求实数λ的取值范围．
[解析] (1)由已知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝b2＋c2,b＝1,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)))⇒a＝2，b＝1，c＝eq \r(3)，
所以D的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)过Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2))的直线若斜率不存在，则λ＝eq \f(1,3)或3.
设直线斜率k存在，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2,x2＋4y2－4＝0))⇒(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
又eq \(EA,\s\up6(→))＝λeq \(EB,\s\up6(→))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝16k2－481＋4k2≥0， ①,x1＋x2＝\f(－16k,1＋4k2)， ②,x1x2＝\f(12,1＋4k2)， ③,x1＝λx2， ④))
由②④解得x1，x2代入③式得
eq \f(λ,1＋λ2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－16k,1＋4k2)))2＝eq \f(12,1＋4k2)，
化简得eq \f(λ,1＋λ2)＝eq \f(3,64)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k2)＋4))，
由(1)Δ≥0解得k2≥eq \f(3,4)代入上式右端得
eq \f(3,16)