23版新高考一轮分层练案(五十)　最值、范围、证明问题

这是一份23版新高考一轮分层练案(五十)　最值、范围、证明问题，共5页。试卷主要包含了已知抛物线C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
一轮分层练案(五十)　最值、范围、证明问题 A级——基础达标1．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点E(－1,0)，圆x2＋y2＝r2(r＞0)与抛物线C交于A，B两点，直线BE与抛物线交点为D.(1)求证：直线AD过焦点F；(2)过F作直线MN⊥AD，交抛物线C于M，N两点，求四边形ANDM面积的最小值．解：(1)证明：由题意，设A(x0，y0)，B(x0，－y0)，直线BE的方程为y＝(x＋1)，联立得y2＋(x0＋1)y＋y0＝0，由题意可得，该方程有一个根为－y0，由根与系数关系得－y0yD＝4，yD＝－，所以D，则直线FD的斜率为＝，直线AF的斜率为＝，所以kAF＝kFD，故A，F，D三点共线，所以直线AD过焦点F.(2)设直线AD方程为y＝k(x－1)，则直线MN的方程为y＝－(x－1)，联立得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2＋，所以|AD|＝x1＋x2＋2＝4＋，同理可得|MN|＝4＋4k2，所以四边形ANDM面积为S＝|MN|·|AD|＝(4＋4k2)＝8≥32，当且仅当k＝±1时，四边形ANDM面积取得最小值，最小值为32.2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．解：(1)由题意可得2b＝2，所以b＝，e＝＝ ＝，解得a＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由于直线l平行于直线y＝x，即y＝x，设直线l在y轴上的截距为n，所以l的方程为y＝x＋n(n≠0)．联立得x2＋2nx＋2n2－4＝0，因为直线l与椭圆C交于A，B两个不同的点，所以Δ＝(2n)2－4(2n2－4)＞0，解得－2＜n＜2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2n，x1x2＝2n2－4.因为∠AOB为钝角等价于·＜0，且n≠0，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝x1x2＋(x1＋x2)＋n2＝(2n2－4)＋(－2n)＋n2＜0，即n2＜2，且n≠0，所以直线l在y轴上的截距n的取值范围为(－，0)∪(0，)．因为直线l在x轴上的截距m＝－2n，所以m的取值范围为(－2，0)∪(0,2)．3.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线与x轴的交点为E.过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，EA，EB分别与y轴相交于M，N两点，当AB⊥x轴时，EA＝2.(1)求抛物线的方程；(2)设△EAB的面积为S1，△EMN面积为S2，求的取值范围．解：(1)当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝，联立可得y＝|p|，则AF＝p，且EF＝p，∴EA＝＝p＝2，解得p＝，因此，抛物线的标准方程为y2＝2x.(2)设直线AB的方程为x＝my＋，由得y2－2my－2＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝2m，y1y2＝－2，直线AE方程为y＝，令x＝0，得yM＝＝，同理yN＝＝，所以|yM－yN|＝＝＝，其中(my1＋)(my2＋)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋2＝－2m2＋4m2＋2＝2m2＋2，则＝＝4m2＋4≥4，当m＝0时等号成立，因此的取值范围为[4，＋∞)．4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且|PF1|＝.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线l：x＝－2，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l，直线AB于M，N两点，当∠MAN最小时，求直线AB的方程．解：(1)设椭圆的左焦点F1(－c,0)(c＞0)，则|PF1|＝＝，解得c＝1，所以|PF2|＝，则由椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，∴a＝，b＝＝1，故椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)由题意直线AB的斜率必定不为零，于是可设直线AB：x＝ty＋1，联立方程得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0，∵直线AB交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴Δ＝4t2＋4(t2＋2)＝8(t2＋1)＞0.由根与系数关系得y1＋y2＝，y1y2＝－，则yN＝－，∴xN＝tyN＋1＝－＋1＝，∵MN⊥AB，∴kMN＝－t，∴|MN|＝·＝·，又|AN|＝|AB|＝ ·|y1－y2|＝·，∴tan∠MAN＝＝＝≥×2＝4，当且仅当 ＝即t＝±1时取等号．此时直线AB的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.B级——综合应用5．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点F到直线y＝－的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)设直线y＝kx＋1交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，分别过A，B两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P，求证：PF⊥AB.解：(1)由题意知F，则焦点F到直线y＝－的距离为－＝p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y.(2)证明：把直线y＝kx＋1代入x2＝4y消y得x2－4kx－4＝0，又Δ＝16k2＋16＞0，利用根与系数关系得由题意设切线PA的斜率为kPA，切线PB的斜率为kPB，点P坐标为(m，n)，由(1)可得y＝x2，则y′＝x，所以kPA＝x1，kPB＝x2，则切线PA的方程为y－n＝x1(x－m)，切线PB的方程为y－n＝x2(x－m)，则①－②化简整理得m＝2k，把m＝2k代入①整理得n＝－x＋kx1＝－x＋x1＝－x＋x1＝x1x2＝－1，则P(2k，－1)，F(0,1)，kPF·kAB＝×k＝－1，则PF⊥AB.6.如图，在矩形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝2，O为AB的中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足①＝，②直线AQ与BP的交点在椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)上．(1)求椭圆E的方程；(2)设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值．解：(1)设AQ与BP的交点为G(x，y)，P(－2，y1)，Q(x1，2)，由题可知，＝.因为kAG＝kAQ，kBG＝kBP，所以＝，＝－，从而有＝－＝－，整理得＋y2＝1，即椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知R(2,0)，设M(x0，y0)，则y0＝ ，从而梯形ORMN的面积S＝(2＋x0)y0＝ ，令t＝2＋x0，则2＜t＜4，S＝ .令u＝4t3－t4，则u′＝12t2－4t3＝4t2(3－t)，当t∈(2,3)时，u′＞0，u＝4t3－t4单调递增，当t∈(3,4)时，u′＜0，u＝3t3－t4单调递减，所以当t＝3时，u取得最大值，则S也取得最大值，最大值为.