2024届高考数学-第13讲 破解离心率问题之第二、三定义及双曲线交点个数类（解析版）

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1．已知椭圆的左、右顶点分别为和，是椭圆上不同于，的一点．设直线，的斜率分别为，，则当取最小值时，椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意可得，，设，
则，
而，，
所以，
又
，
令，
则，
所以，
所以当时，最小，即，
所以，
故选：．
2．已知椭圆的左、右顶点分别为和，是椭圆上不同于，的一点．设直线，的斜率分别为，，则当取最小值时，椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：，，设，，则，
则，，，
则．
令，，
，
故时，取最小值，
椭圆的离心率为．
故选：．
3．已知椭圆的左，右顶点分别为，，点是椭圆上与，不重合的动点，若直线，斜率之积为，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得，，设，，
则由在椭圆上可得，①
直线与的斜率之积为，
，②
把①代入②化简可得，
，
故选：．
4．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的点，直线，的斜率分别为，，若，则该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得，，设，，
则由在椭圆上可得，①
直线与的斜率之积为，
，②
把①代入②化简可得，，离心率．
故选：．
5．已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，，若的最小值为2，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：设，，，
，，
两式相减，得，，
，
，当且仅当时取等号，
又当时，，，三点共线不符合条件，当时取等号，
的最小值为2，，
，离心率．
故选：．
6．双曲线，为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，且直线，斜率分别为，，若，则双曲线离心率为
A．B．2C．D．
【解答】解：由题意，设，，，，则，
，
，，
两式相减可得，即，
，
，
，
．
故选：．
7．双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，且直线、斜率分别为、，若，则双曲线离心率为
A．B．C．2D．
【解答】解：由题意，设，，，，则，
，
，，
两式相减可得
，
，
，
，
．
故选：．
8．设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线是坐标原点）的斜率的乘积等于2，则此双曲线的离心率为
A．2B．3C．D．
【解答】解：设，，，，
是线段的中点，，，
把，，，分别代入双曲线，
得，
，
直线的斜率，
，，，
的斜率，
与的斜率的乘积等于2，
，
，
此双曲线的离心率．
故选：．
9．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线右支于，两点，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．2D．
【解答】解：设双曲线的左焦点为，连结，，设，则，
所以，．
在△中，由余弦定理得，
，
化简消去，可得，
解得．
故选：．
10．已知双曲线的右焦点为，若存在过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点，与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点，且，则双曲线的离心率的取值范围是
A．，B．C．，D．
【解答】解：设，根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点，且，
，，
若存在过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点，需保证．
，则，
．
根据双曲线的渐近线为，则，
根据双曲线的离心率，
根据双曲线的离心率，
．
故选：．
11．已知斜率为的直线分别交双曲线的左、右支于点，，线段的中点为，若（点为坐标原点）的斜率为2，则双曲线的离心率为
A．B．C．2D．
【解答】解：设，，，，，，则，，
因为（点 为坐标原点）的斜率为2，
所以，所以，
因为，，，在双曲线 上，
所以，
两式相减得，
所以，
所以，所以，
所以，
所以离心率为，
故选：．
12．已知椭圆上关于原点对称的两点为，，点为椭圆上异于，的一点，直线和直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，
设，，，，，，
，，两式相减得：，即．
直线，斜率之积为，，．
椭圆的离心率．
故选：．
13．如图，已知，，是双曲线上关于原点对称的两点，点为双曲线上异于，且不与，关于坐标轴对称的任意一点，若直线，的斜率之积为，且双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为
A．2B．C．D．
【解答】解：设，，，则，，
则，，
由题意知，
所以，
故选：．
14．已知，分别为椭圆的左、右顶点，，是椭圆上的不同两点且关于轴对称，设直线，的斜率分别为，，若，则该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得，，设，，则，，
因为在椭圆上，所以，
所以
由题意，
所以可得，
所以椭圆的离心率，
故选：．
15．已知、分别是椭圆的左、右顶点，、是椭圆上两点关于轴对称，若、的斜率之积为，则椭圆的离心率是
A．B．C．D．
【解答】解：由已知、两点关于轴对称，设，，则，，且，
即．又，，
故、的斜率之积为，故，
所以椭圆离心率是．
故选：．
二．填空题（共10小题）
16．椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是 ．
【解答】解：由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，
即点到点与点的距离相等，
而，，
于，，即，
，又，故
故答案为：
17．已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 ．
【解答】解：如图，，
作轴于点，则由，得，所以，，
即，由椭圆的第二定义得
又由，得，，解得，
故答案为：．
18．如图，已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为 ．
【解答】解：如图，，
作轴于点，则由得：
，
所以，，
即，
由椭圆的第二定义得，
又由，得，，解得，
故答案为：
19．已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为 ．
【解答】解：如图，，
作轴于点，则由，得，所以，，
即，由椭圆的第二定义得
又由，得，，解得，
故答案为：．
20．设椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上且异于，两点，为坐标原点．若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为 ．
【解答】解：设点的坐标为，．
由题意，有，①
由，，得，．
由，可得，
代入①并整理得．
由于，故，于是，
椭圆的离心率．
故答案为：．
21．已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，，若的最小值为1，则双曲线的离心率为 ．
【解答】解：由题意，可设点，，．
，且．
两式相减得．
再由斜率公式得：．
根据的最小值为1，可知，
，
故答案为：．
22．在平面直角坐标系中，已知点是双曲线上的异于顶点的任意一点，过点作双曲线的切线，若，则双曲线离心率等于 ．
【解答】解：设，，则，
由于双曲线在点的切线方程为：，即在点切线的斜率，
因为，所以，
所以，又，
所以，可得离心率，
故答案为：
23．过双曲线右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为 ．
【解答】解：由题意过双曲线 ， 右顶点且斜率为 2 的直线，
与该双曲线的右支交于两点，可得双曲线的渐近线斜率，
，
，
双曲线离心率的取值范围为．
故答案为：．
24．经过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线与双曲线有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为 2 ．
【解答】解：经过双曲线的右焦点，
倾斜角为的直线与双曲线有且只有一个交点，
根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线平行，
，即，
，
．
故答案为：2．
25．已知双曲线，若存在过右焦点的直线与双曲线相交于、两点，且，则双曲线的离心率的最小值为 2 ．
【解答】解：由题意，在双曲线的左支上，在右支上，
设，，，，右焦点，
，，
．
，，，
，，
双曲线离心率的最小值为2，
故答案为：2．