2024届高考数学-第8讲 破解离心率问题之椭双共焦定理（解析版）

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第8讲 破解离心率问题之椭双共焦定理 参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则取最大值时的值为　　A． B． C． D．【解答】解：设，，由椭圆的定义得①，由双曲线的定义得②，①②得，，①②得，，由余弦定理可得，所以③，设，，所以，当即时，最大值为，此时，．故选：．2．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，则　　A． B． C． D．【解答】解：由椭圆与双曲线的几何性质可得，，则，所以．故选：．3．已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，分别为、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且两曲线在第二象限的公共点为点，且满足，则的值为　　A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：因为，设，，，设双曲线的实半轴长为，半个焦距，椭圆的长半轴长为，半个焦距为，由椭圆，双曲线的定义可得，，所以椭圆的离心率，所以双曲线的离心率，所以，故选：．4．已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为　　A． B． C．2 D．【解答】解：由题意可得双曲线与椭圆的焦距相同，设焦点在轴上，设椭圆的方程，双曲线的方程为：，由题意可得，设，，，在△中，由余弦定理，在双曲线中，，椭圆中，，所以，可得，因为足，，所以，可得，所以，所以，故选：．5．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，点是与的一个公共点，△是一个以为底的等腰三角形，，的离心率是，则的离心率是　　A． B． C． D．3【解答】解：根据题意知的离心率，又，，双曲线的离心率，故选：．6．已知椭圆与双曲线，有相同的左右焦点，．若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是　　A． B． C． D．以上答案都不对【解答】解：设椭圆与双曲线的焦距为，再设，由题意可得，，，，，，，，即．则．令，则．函数在上单调递增，可得（2）．的取值范围是．故选：．7．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线的一个公共点为点，且满足，则的值为　　A．3 B． C．7 D．【解答】解：由题意可得：．故选：．8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为与，则的取值范围是　　A． B． C． D．【解答】解：设，，由椭圆的定义可得，由双曲线的定可得，解得，，由，可得，即，由，，可得，由，可得，可得，即，则，可设，则，由在递增，可得，．则，．故选：．9．已知椭圆与双曲线的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线，的离心率分别为，，则的值为　　A．1 B． C． D．【解答】解：椭圆与双曲线的焦点重合，可得，即，①若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，可得，②由①②可得，，则．故选：．10．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，分别为，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且两曲线在第一象限的公共点满足，则的值为　　A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：如图， ，，得，，得．设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，则，即，得；，即，得．．故选：．11．已知椭圆与双曲线，有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是　　A． B． C． D．【解答】解：设，，由椭圆的定义可得，由双曲线的定可得，解得，，由，可得，即，由，，可得，由，可得，可得，即，则，可设，则，由在递增，可得，．故选：．二．多选题（共2小题）12．已知椭圆与双曲线的焦点重合，，分别为，的离心率，则　　A． B． C． D．【解答】解：由题意椭圆与双曲线的焦点重合，可得，即，又，，则，由，则．故选：．13．已知椭圆与双曲线，有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，则下列结论正确的有　　A． B．△的面积 C．若，则 D．若，则【解答】解：由是，的一个交点，所以①，②，①②得，所以，故正确；设，由椭圆焦点三角形面积公式可得，由双曲线焦点三角形面积公式可得，所以，所以，故正确；若，则有，①②得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故正确；若，可得，所以可得，所以，所以，故错误；故选：．三．填空题（共11小题）14．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则取最大值时的值为 　　．【解答】解：设，，由椭圆的定义得①，由双曲线的定义得②，①②得，，①②得，，由余弦定理可得，所以③，设，，所以，当即时，最大值为，此时，．故答案为：．15．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，若，则的最小值为 　　．【解答】解：由已知可设，，且，结合椭圆与双曲线的定义可知：，，所以，，设焦距为，则在△中，由余弦定理得，两边同除以得，即，当且仅当，即时取等号，故所求的最小值为．故答案为：．16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且两曲线在第一象限的交点为，若，且，则双曲线的离心率为　　．【解答】解：令，由椭圆的方程，可得，设，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，又，所以双曲线的离心率为．故答案为：．17．已知椭圆与双曲线的一条渐近线的交点为，若点的横坐标为1，则双曲线的离心率等于　　．【解答】解：当时，代入椭圆方程：，解得：，假设在第一象限，则，双曲线（的渐近线方程，则在直线，则，双曲线的离心率，双曲线的离心率为：，故答案为：．18．已知椭圆及双曲线，均以为右焦点且都经过点，则椭圆与双曲线的离心率之比为　　．【解答】解：由题意可得，，设都经过点为点，左、右焦点分别为、，则，，，，又，，，，，又，，椭圆与双曲线的离心率之比为，即，故答案为：．19．已知椭圆与双曲线，有相同的焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是　，　．【解答】解：设，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，可得，则，即，由，可得，且，则，令，即，可得，可得，由，可得，则的取值范围是，．故答案为：，．20．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其左，右焦点分别为、，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为，且，则双曲线的离心率为　　．【解答】解：如图：在椭圆中，，由椭圆定义得，在双曲线中，所以双曲线实轴长为：，实半轴长为，所以双曲线的离心率为．故答案为：．21．已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，，为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则椭圆的离心率为　　．【解答】解：设椭圆，双曲线，依题意，且，，则，①由圆锥曲线定义，得，且，，．在△中，由余弦定理，得：，，则，，双曲线的离心率分别为．且，则椭圆的离心率为：．故答案为：．22．已知椭圆与双曲线共焦点，、分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1．若，则该双曲线的离心率为　　．【解答】解：如图， 如图，由椭圆定义，，①由双曲线定义，，②联立①②，得，，在△中，由，得，即，则．．由，得，则，即，解得，双曲线的离心率大于1，该双曲线的离心率为．故答案为：．23．已知椭圆与双曲线的离心率分别为，，且有公共的焦点，，则　0　，若为两曲线的一个交点，则　　．【解答】解：由题意可知双曲线的焦点在轴上，故而椭圆的焦点在轴上，，即．椭圆的离心率，双曲线的离心率，．在椭圆上，，又在双曲线上，，不妨设，则，，．故答案为：0，3．24．已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，且在第一象限交点为，且．若与的离心率分别为、，则的最大值为　　．【解答】解：设，，则，，，，，，在△中，由余弦定理可得：，化为， 由柯西不等式得（或采用三角换元求解也行）故答案为：