2024届高考数学-第12讲 破解离心率问题之内切圆问题（解析版）

这是一份2024届高考数学-第12讲 破解离心率问题之内切圆问题（解析版），共30页。
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，△的内切圆的圆心为，且，则双曲线的离心率为
A．B．C．2D．
【解答】解：过点作的垂线，垂足为，，
设圆与轴切于点，，
则，
，即，则，
与双曲线的右顶点重合，
则，
解得，，
故离心率为：．
故选：．
2．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是双曲线右支上的一点，，直线与轴交于点，的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是
A．B．C．D．2
【解答】解：，的内切圆半径为1，
在直角三角形中，，
可得，
由双曲线的定义可得，
，
，
由图形的对称性知：，
．
，
，
．
故选：．
3．椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，△的重心为．若△的内切圆的直径等于，且，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：因为△的重心为，所以在上且，
是△边上的高，是△的内切圆的半径，
，所以，
，
所以，
所以，所以离心率为，
故选：．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是双曲线右支上两点，且，设△的内切圆圆心为，△的内切圆圆心为，直线与线段交于点，且，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：如右图所示：
由题意知为的角平分线，由角平分线的性质得，
因为，所以，
由双曲线的定义得，因此，，
因为，所以，，由双曲线的定义得，
由勾股定理逆定理可得，
由在△中，，
即，所以，．
故选：．
5．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若△的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：椭圆的焦点为，，，
根据正弦定理可得，
，．
设，，则，
由余弦定理得，，
，
，
又，
，即，故，
解得：或（舍．
故选：．
6．已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若△的内切圆半径的最大值为，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：设△的内切圆的半径为，则，
而，
所以，
所以，
由题意可得，
即，
所以，可得，即，
可得离心率，
故选：．
7．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于、两点在第一象限），若△与△内切圆半径之比为，则双曲线离心率的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，由题意设△与△内切圆圆心分别为，，对应的切点分别是，，，，，
则，，，，
所以，而，
故，所以，，
设直线的倾斜角为，则，，
所以，，
由题意，可得，化弦后整理得，
结合，得，所以，
则要使直线与双曲线右支交于两点，只需渐近线斜率满足，
所以，
故即为所求．
故选：．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若△的内切圆半径为，则双曲线的离心率为
A．B．2C．D．3
【解答】解：设双曲线的左、右焦点，，，
设双曲线的一条渐近线方程为，
可得直线的方程，
联立双曲线，
可得，，
设，，
由三角形的面积的等积法可得，
，
化简可得①，
由双曲线的定义可得②，
在三角形中，，
为直线的倾斜角），
由，，
可得，
可得③，
由①②③化简可得，
，
所以（舍，，
所以离心率，
故选：．
9．已知双曲线，点是该双曲线右支上的一点．点，分别为左、右焦点，直线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为
A．B．3C．D．
【解答】解：由双曲线的方程知，，，
设内切圆与，分别相切于点，，，，
由内切圆的性质知，，，
由对称性知，，
，
由双曲线的定义知，，
，
离心率．
故选：．
10．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若△的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：椭圆的焦点为，，，
根据正弦定理可得，
，．
设，，则，
由余弦定理得，，
，
，
又，
，即，故，
解得：或（舍．
故选：．
11．过双曲线的右焦点的直线在第一、第四象限交两渐近线分别于，两点，且，为坐标原点，若内切圆的半径为，则该双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，设的内切圆圆心为，则在轴上，过点分别作于，于，
由得，四边形为正方形，
焦点到渐近线的距离，
又，，
，，，
离心率．
故选：．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，△的内切圆的圆心为，，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，
设圆与轴切于点，，则，
，即，则，
又，
且，
，得，
又，联立解得，，
双曲线的离心率为．
故选：．
13．已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若△的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，，
所以，即，
在三角形中，
，
解得，则，
又由三角形的内切圆半径为，
由等面积法可得，则，
由已知可得，
所以，整理可得，解得或（舍去），
所以椭圆的离心率，
故选：．
14．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，点是右支上的一点．直线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为
A．B．3C．D．
【解答】解：双曲线的，
设的内切圆在边上的切点为，在边上的切点为，
如图可设，，，，
由双曲线的定义可得，
即有，
所以．
故选：．
15．已知点，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点与△的内切圆圆心的直线交轴于点，且，则该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】：△内切圆的圆心，则是三角形的角平分线的交点，
由角平分线定理可得，
所以离心率，
故选：．
16．点是双曲线右支上的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，点是△的内切圆圆心，记，，△的面积分别为，，，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为
A．，B．，C．，D．
【解答】解：设△的内切圆半径为，则，，，
所以，所以，所以，
故选：．
17．点是双曲线右支上的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，点是△的内切圆圆心，记，，△的面积分别为，，，若恒成立，则双曲线的离心率为
A．B．C．2D．3
【解答】解：设△的内切圆半径为，
则，，，
所以，
所以，所以，
故选：．
18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的一点，若，且△外接圆与内切圆的半径之比为，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．2
【解答】解：设△外接圆半径为，内切圆的半径为，
设，，
则，
，，
又，
即，即，
又，
得，即，
△的面积，
即，
，
，
即，
平方得，
即，
即，
，
即，
得，得，得，
即，
故选：．
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若上存在一点，使得，且△内切圆的半径大于，则的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：设，△内切圆的半径为，
因为，所以在三角形中，
由余弦定理可得：，
则，
由等面积法可得，
整理得，故，
又，则，
从而，
故选：．
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，，△的内切圆与外接圆的半径分别为，，若，则的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：设，则．
因为，
所以，
则，则．
由等面积法可得，
整理得，
因为，所以，故．
故选：．
二．多选题（共2小题）
21．过双曲线的右焦点作直线，直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，在轴同侧）．设为坐标原点，则下列结论正确的有
A．
B．若双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率等于2
C．若，则双曲线的一条渐近线的斜率为
D．若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率等于
【解答】解：由题意如图所示：设，因为，可得，，
所以，所以正确；
中，由双曲线的一条渐近线的斜率为，即，所以离心率，所以不正确；
中，由题意可得，所以可得，则，
可得，
而直线的方程为与渐近线联立可得，，
所以，可得，，整理可得：，解得或，所以不正确；
中，若，在轴同侧，不妨设在第一象限．
如图，设内切圆的圆心为，则在的平分线上，过点分别作于，于，
由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，
又，所以，
所以，从而可得，故正确；
故选：．
22．已知双曲线的左．右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，在第一象限，若为等边三角形，则下列结论一定正确的是
A．双曲线的离心率为B．△的面积为
C．△内切圆半径为D．△的内心在直线上
【解答】解：对于，设△的内心为，过作，，的垂线，垂足分别为，，，如图：
则，所以，则△的内心在直线上，故正确；
因为为等边三角形，当，都在同一支上时，则垂直于轴，可得，
由题意可得，又，，
所以可得，，解得：；
△的面积，
设△内切圆的半径为，
则由等面积法可得，；
当，都在双曲线的左，右两支上时，设，
，由双曲线的定义可知，得，
在△中由余弦定理，，得，
△的面积，
设内切圆的半径为，则，得，故错误；
而不论什么情况下△的面积为，故正确．
故选：．
三．填空题（共16小题）
23．椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于、两点，、两点的坐标分别为，，，，若，且内切圆的面积为，则椭圆的离心率为 ．
【解答】解：（1）由性质可知△的周长为，内切圆半径为1，
则，
又，可得，即．
故答案为：．
24．双曲线的离心率是，点，是该双曲线的两焦点，在双曲线上，且轴，则△的内切圆和外接圆半径之比 ．
【解答】解：由，得，则，
设，，，，
因为轴，所以，所以，
所以△的内切圆半径为，
△的外接圆半径为，
所以△的内切圆和外接圆半径之比．
故答案为：．
25．过双曲线右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点．已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为 或2 ．
【解答】解：（1）若，在轴同侧，不妨设在第一象限．
如图，设内切圆的圆心为，则在的平分线上，过点分别作于，于，
由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，
又，所以，
所以，从而可得；
（2）若，在轴异侧，不妨设在第一象限如图，易知，，，
所以的内切圆半径为，
所以，
又因为，所以，，
所以，，
则，从而可得．
综上，双曲线的离心率为或2．
故答案为：2或．
26．已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若△的内切圆半径的最大值为，则椭圆的离心率为 ．
【解答】解：设△的内切圆半径为，则，
，
，
所以，即的最大值为，
由题意可得，
所以可知，即，
可得
所以椭圆的离心率
故答案为：．
27．已知点、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点与△的内切圆圆心的直线交轴于点，且，，则该椭圆的离心率取值范围为 ， ．
【解答】解：△内切圆的圆心，则是三角形的角平分线的交点，
由角平分线定理可得，即，
因为，所以，
故答案为：，．
28．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上的一点，与椭圆交于．若△的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，则椭圆的离心率为 ．
【解答】解：为的中点，
，
△的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，
由内切圆的性质可得，，
为椭圆上的一点，
，
，，，
设△的内切圆与切于，
结合内切圆的性质可得，，
与椭圆交于，
，
，为切点，
由内切圆的性质可得，，
又，
，
△为等边三角形，
，
．
故答案为：．
29．如图，焦点在轴上的椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为 ．
【解答】解：设的内切圆的圆心为，、与圆的切点分别为、，
连结、、，
由题意得，，
，
，
则，
所以，
故答案为：．
30．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、与轴垂直的直线经过，交于、两点．记．若内切圆的半径为，则的离心率为 ．
【解答】解：不妨设在第一象限，则直线方程为，
把代入可得，故，
．若内切圆的半径为，
可得，，可得
椭圆的离心率．
故答案为：．
31．已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线过点与轴交于点，与双曲线的右支交于点，的内切圆与边切于点，若，则双曲线的离心率为 ．
【解答】解：根据题意画图：
设，分别为内切圆与，的切点，
故，，，
根据双曲线的定义，
又
，
所以，
又因为，
所以，
所以，
故答案为：．
32．椭圆短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形．若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为 ．
【解答】解：由椭圆短轴的一个端点和两个焦点相连构成的三角形面积，
该三角形的周长为，由题意得，即，
所以．
故答案为：．
33．已知点为双曲线的左焦点，为该双曲线渐近线在第一象限内的点，过原点作的垂线交于点，若恰为线段的中点，且的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为 ．
【解答】解：设，，
由题意知，点在渐近线上，点在渐近线上，
，，，，
为线段的中点，且，
，解得，
，，，
的内切圆半径为，
，即，
化简得，，
离心率．
故答案为：．
34．已知抛物线的准线与双曲线的渐近线分别交于，两点，是坐标原点．若的内切圆的周长为，则内切圆的圆心坐标为 ， ，双曲线的离心率为 ．
【解答】解：由抛物线的方程可得抛物线的准线方程为：，
由双曲线的方程可得双曲线的渐近线方程为，
设三角形的内切圆半径为，则，所以，
所以圆心坐标为，，
且圆心到直线的距离为，
解得，所以，
则双曲线的离心率为，
故答案为：，．
35．已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若△的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为 ．
【解答】解：由题意，，
，即，
在△中，
，可得，
得，
又△的内切圆的半径，由等面积法可得：，
则，由已知，可得，
则，结合正弦定理可得，
，整理可得，解得或（舍．
故答案为：．
36．如图，已知为双曲线的右焦点，过点的直线交两渐近线于，两点．若，内切圆的半径，则双曲线的离心率为 ．
【解答】解：过作垂直渐近线于，则，
，，，
在中，由余弦定理知，，
即，
解得，
设的内心为，作于，则，，
，，
，即，
．
故答案为：．
37．点是双曲线右支上的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，点是△的内切圆圆心，记，，△的面积分别为，，，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是 ，． ．
【解答】解：设三角形内切圆的半径为，
则，，，
，
，即，
，又，
．
故答案为：，．
38．如图，中，，为上一点，且，的内切圆与边相切于，且．设以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，以，为焦点且过点的双曲线的离心率为，则的值为 ．
【解答】解：如图，设，分别是，与圆的切点．
由圆的切线的性质可得，，，
又因为，所以，即，
设，由，可得，则，
，
在中，，即
所以以，为焦点且经过点的椭圆的离心率为；
以，为焦点且经过点的双曲线的离心率为，
所以．
故答案为：．